辽宁省葫芦岛市2021届高三上学期期末考试-数学(理)-扫描版含答案.docx

2022---2021学年度上学期高三期末考试
数学试题(理科)
参考答案及评分标准
一.选择题:每小题5分,总计60分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
C
D
C
D
A
B
B
D
B
C
二.填空题:每小题5分,总计20分.
13. 0
14.
15.
16. [1-()n]
三.解答题:
17.(本小题满分12分)
解：(1) 由题，
则，化简得， …2分
即，，所以……………4分
从而，故. ……………………………………………6分
(2) 由，可得.
所以或. ………………………………………7分
当时，,则,; ………8分
当时，由正弦定理得.
所以由，可知. ………………10分
所以.
综上可知 ……………12分

18．（本小题满分12分）
(1)∵DE∥AB,ABÌ平面PAB ∴DE∥平面PAB……………………2分
又∵DEÌα且α∩平面PAB=FG ∴DE∥FG ……………………4分
(2) 图建立空间直角坐标系E-xyz，
则E(0,0,0)，D(1,0,0)，C（2，1，0），B(2,2,0),A(0,2,0),P(0,0,2)，F(0,1,1)
P
E
A
B
D
C
F
G
H
x
y
z
=(-1,-1,0), =(1,0,0) , =(0,1,1)
设平面α的法向量为=(x,y,z),
由·=0且·=0得：,取y=-1得： =（0,-1, 1）
设直线BC与平面ABF所成角为q，则
sinq＝|cos〈，〉|＝＝.
因此直线CD与平面α所成角的大小为.…………………………………………8分
设点H的坐标为(u，v，w)．
由于点H在棱PC上，所以可设＝λ(0<λ<1)．
即(u，v，w－2)＝λ(2，1，－2)，所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ.
由于是平面ABF的一个法向量，
所以·＝0，
即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，
解得λ＝，所以点H的坐标为.
所以PH＝＝2. …………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
解： “顾客A第i次闯第一关成功”记作大事Ai,(i=1,2), “顾客A第i次闯其次关成功”记作大事Bi,(i=1,2), “顾客A闯第一关成功”记作大事A, “顾客A闯其次关成功”记作大事B,则P(Ai)=P(Bi)= ，P(A)=1-P()=1-×=, P(B)=1-P()=1-×=…………2分
(1)设大事C=“顾客A只获得512元代金券”，则
P(C)= P(A1)+P(A2)=××+×××=
(或由P(A)=(1-×)××求得，同样赋分）……………………………………………6分
（2）X的可能取值为：0，512，1024
P(X=0)=P()=×=
P(X=512)= P(A)= P(A1)+P(A2)=××+×××=
P(X=1024)=P(AB)= ×=
∴EX=0×+512×+1024×=930(元）……………………………………………10分
∴顾客A所获得的代金券金额X的数学期望为930(元）
（3）由题意，Y～B(4, ) ∴EY=4×=≈3.2(人）…………………………12分
20.(本小题满分12分)
解：（1）∵点P在抛物线C1上，∴（）2=2p· ∴ p= ∴抛物线C1的方程为：x2=y
又∵点P在椭圆C2上 ∴由椭圆定义可知：2a=+=2 ∴a=
又∵c=1 ∴b=1 ∴椭圆C2的方程为：+y2=1……………………………………………6分
(2) (i)由x2=y得：y=x2 ∴y¢=x 设M(x1,y1)、N(x2,y2) 、B(xB,yB)
设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2,则k1=y¢|x=x1=x1, k2=y¢|x=x2=x2
∴直线l1的方程为：y-y1=x1 (x-x1) 3x1x-8y-3x12+8y1=0 又∵M在抛物线上 ∴x12=y1
∴直线l1的方程为：3x1x-8y-8y1=0 同理直线l2的方程为：3x2x-8y-8y2=0
∵直线l1与直线l2交于B点 ∴ ∴直线3xBx-8yB-8y=0过M、N两点
即直线MN的方程为：3xBx-8yB-8y=0 ∵直线MN过点A(,) ∴3xB×-8yB-8× =0
整理得是：3xB-16yB-24=0 即B点在定直线3x-16y-24=0上。………………………8分
(ii)联立方程组： 消元整理得：
（18x12+64)x2-96x1y1x+128y12-128=0……………………①
△=(-96x1y1)2-4×(18x12+64)(128y12-128)=16×64(9x12-32y12+32)>0
∴9x12-32y12+32>0 ……………………………………②
设P(x3,y3)、Q(x4,y4),则x3、x4是方程①的两个解，由韦达定理得：
x3+x4=, x3x4=
∴|PQ|=·=·
=·
将x12=y1代入得：
|PQ|=·=·=··
设E到直线l1的距离为d,则d==·
∴S△EPQ=·|PQ|·d=·····=
=≤×=
∴△EPQ的最大值为，此时y1=,x1=-2……………………………………………10分
将y1=,x1=-2代入②，经检验②式成立。∴直线l1的方程为3x+4y+3=0与3x-16y+24=0联立解得B坐标为（,-) ……………………………………………12分
21. (本小题满分12分)
(1)h¢(x)=f¢(x)-h¢(x)=-e1-x+ h¢(1)=-1+=0 ∴t=2
∴h¢(x)= -e1-x+ 令m(x)= -e1-x+ 则=m¢(x)=e1-x+>0 m
∴m(x)在（-∞，2） 上单调递增 即h¢(x)在（-∞，2） 上单调递增 ∵h¢(1)=0
∴当x∈(-∞,1)时，h¢(x)<h¢(1)=0,h(x)在(-∞,1)上单调递减；当x∈(1,2)时，h¢(x)>h¢(1)=0,h(x)在（1，2）上单调递增；
综上：h(x)的单调减区间为(-∞,1)，h(x)的单调增区间为（1，2）………………………6分
（2）当t≤3，x∈(-∞,t)时，ln(t-x)≤ln(3-x)
∴若要证f(x)>g(x)，只需证：f(x)>ln(3-x)
证法一：令j(x)=f(x)-ln(3-x)=e1-x-ln(3-x)
j¢(x)=-e1-x+ 易证：j¢(x)在（-∞,3)上单调递增且j¢(1)=-1+<0, j¢(2)=-+1>0,∴存在唯一个x0∈(1,2)，使得j¢(x0)=0 ∴-e1-x0+=0 = e1-x0 ln=ln e1-x0 ∴ln(x0-3)=x0-1
当x∈(-∞,x0)时，j¢(x)<0,当x∈(x0,3)时j¢(x)>0
∴j¢(x)在(-∞,x0)单调递减，在(x0,3)单调递增；
∴j(x)≥j(x0)=e1-x0-ln(3-x0)= -(x0-1)== >0
即j(x) >0 ∴f(x)>ln(3-x)
∴f(x)>ln(3-x) ……………………………………………12分
证法二：先证明ln(3-x)≤2-x(由lnx≤x-1代换）
令n(x)= ln(3-x)-2+x 则n¢(x)=-+1=
∴n(x)在（-∞，2)上单调递增，在（2，3）上单调递减；
∴n(x)≤n(2)=0 即ln(3-x)≤2-x（当且仅当x=2时取“=”号）……………………①
再证：f(x)≥2-x 即证：e1-x≥2-x
令p(x)=e1-x+x-2 则p¢(x)=-e1-x+1 易知：p(x)在(-∞,1) 上单调递减,在(1,3) 上单调递增
∴p(x)≥p(1)=0
∴p(x)≥0 即f(x)≥2-x(当且仅当x=1时取“=”号）……………………②
由①②可知：f(x)≥2-x≥ln(3-x)
∴f(x)≥ln(3-x) 又∵①②中不行能同时取“=”号
∴f(x)>ln(3-x)
∴f(x)>g(x) ……………………………………………12分
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解(1) 延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，
又BM=2BE=4，∠EBC=30°，所以BC=2，
又AB=AC，可知AB=BC=.
所以依据切割线定理AF2=AB·AC=×3=9，
即AF=3. ……………………5分
(2) 过E作EH⊥BC于H，则△EDH∽ADF，
从而有==，因此AD=3ED. …………………………10分
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

（1）在以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，
极坐标与直角坐标有关系：或 ，……………1分
所以圆C1的直角坐标方程为，………………………2分
联立曲线C：，得
或,
即不妨令，从而直线的直角坐标方程为：，
(此处如下解法也可：联立曲线C1与C，消去与项，得)
所以，，即， …………………………4分
所以直线AB的极坐标方程为，R）. ……………………5分
（2）（方法一）由(1)可知直线AB的直角坐标方程为：， ……………6分
依题令交点D则有，
又D在直线AB上，所以，，解得，
由直线参数方程的定义知|CD|=||， …………………………………8分
同理令交点E，则有，
又E在直线上，所以，解得，
所以|CE|=||， ………………………………………………………9分
所以|CD|:|CE|=. ……………………………………………………10分
（方法二）将曲线C2:(是参数)化为一般方程:， ……6分
将其联立AB的直线方程:，解得:，从而D，
再将曲线C2与直线联立，解得，从而E，
这样|CD|==， ………………………………………8分
|CE|==， …………………………………………9分
从而|CD|:|CE|=. ………………………………………………10分
24．解：
（Ⅰ） ……3分
不等式等价于：
或或
解得：或
不等式的解集为或. ……6分
（Ⅱ）依据函数的单调性可知函数的最小值在处取得，
此时. …… 10分