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第一类曲线积分习题

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例1．计算积分。其中是曲线上
介于、之间的一段弧。
例2．计算，是由、
与围成的三角形区域的边界曲线。
例3．计算积分，为连接与的直线段。
例4．计算积分，为圆周：（）。
例5．求积分，其中：。
例6．计算积分，：。
例7．求半径为，中心角为的均匀圆弧的重心坐标。
例8．设螺旋形弹簧一圈的方程为，，，
其中，其线密度为，
求相对于轴的转动惯量。

例1．计算积分。其中是曲线上介于、之间的一段弧。
解：：，；

例2．计算，是由、与围成的三角形区域的边界曲线。
解：
：或，：
：，：
：，：

例3．计算积分，为连接与的直线段。
解：首先必须写出直线段的方程，故
：，， （）

例4．计算积分，为圆周：（）。
解：
如果选择参数为图中的，则：，；

但此题直接用直角坐标计算的比较麻烦。
例5．求积分，其中：。
解：因为曲线在球面上，故曲线上的点总满足
，从而：。
例6．计算积分，：。
解：因为关于轴对称，而被积函数是的奇函数，故：；
：。，则

又因为关于变量、具有轮换对称性，即，从而

例7．求半径为，中心角为的均匀圆弧的重心坐标。
解：建立坐标系如图所示，因曲线弧是均匀的，则重心坐标在轴上，即，；
重心坐标：
例8．设螺旋形弹簧一圈的方程为，，，其中，其线密度为，求相对于轴的转动惯量。
解：，，，则

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