第一类曲面积分习题.doc

例1计算积分，是球面被平面（）截出的顶部。例2计算积分，是圆柱面与平面，围成的立体的全表面。例3求，其中为（），被积函数。例4计算积分，是球面；是介于平面，之间的圆柱面。例5计算积分，其中：。例6计算积分，是上半球面被旋转抛物面截出的顶部。例7计算曲面积分，为锥面被圆柱面（）所截下的部分。例8计算半径为的均匀半球壳的重心。例1计算积分，是球面被平面（）截出的顶部。解：，在面上的投影区域：， 例2计算积分，是圆柱面与平面，围成的立体的全表面。解：，：； ：， ：，：，：，其中、在面上的投影区域均为，且由，围成。又例3求，其中为（），被积函数。解：，其中：（）；：（）；故；：在面的投影区域为：，则 例4计算积分，是球面；是介于平面，之间的圆柱面。解： 因为：，故； ：，则；，：，：，在面上的投影区域相同均为：，且对于，均有 例5计算积分，其中：。解：，其中：，：； ：或因为积分曲面具有轮换对称性，即，则 例6计算积分，是上半球面被旋转抛物面截出的顶部。解：关于、坐标面对称，故，故：，：，例7计算曲面积分，为锥面被圆柱面（）所截下的部分。解：因为锥面、圆柱面均关于面对称，故曲面关于面对称，而关于恰好是奇函数， 关于是偶函数，从而：，如图所示。例8计算半径为的均匀半球壳的重心。解：设半球壳为上半球壳，即：，：；由球面的均匀性，重心在对称轴轴上，即，且 所以，重心坐标为。