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南师附中物理竞赛讲义 11.4静电场的能量

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11.4静电场的能量

一、电容器的静电能
研究电容器的充电过程。
一开始电容器的电势差很小，搬运电荷需要做的功也很小，充电后两板间电势差增加，搬运电荷越来越困难，需要做的功变多。可以看成是一个变力（变电势差）做功问题。
图像法用面积表示做功。
画Q-U图像还是U-Q图像？

电容器充电过程中，电荷和能量均由电源提供。
在电源内部，可以看成是正电荷从负极移动到正极。由于电源电动势（即电压）不变，克服电场力做功为：

在电容器充电过程中电源消耗的能量和电容器增加的静电能不相等！
思考：两者是否一定是两倍的关系？
多余的电能消耗在电路中（定性解释）

例1、极板相同的两个平行板电容器充以相同的电量，第一个电容器两极板间的距离是第二个电容器的两倍。如果将第二个电容器插在第一个电容器的两极板间，并使所有极板都相互平行，问系统的静电能如何改变。

例2、平行板电容器C接在如图所示电路中，接通电源充电，当电压达到稳定值U0时，就下列两种情况回答，将电容C的两极板的距离从d拉到2d，电容器的能量变化为多少?外力做功各是多少?并说明做功的正负
(1)断开电源开关．
(2)闭合电源开关．

例3、图中所示ad为一平行板电容器的两个极板，bc是一块长宽都与a板相同的厚导体板，平行地插在a、d之间，导体板的厚度bc=ab=cd.极板a、d与内阻可忽略电动势为E的蓄电池以及电阻R相连如图．已知在没有导体板bc时电容器a、d的电容为C0 ,现将导体板bc抽走，设已知抽走导体板bc的过程中所做的功为A，求该过程中电阻R上消耗的电能．

例4、如图所示，电容器C可用两种不同的方法使其充电到电压U=NE。（1）开关倒向B位置，依次由1至2至3∙∙∙∙∙∙至N。（2）开关倒向A位置一次充电使电容C的电压达到NE。试求两种方式充电的电容器最后储能和电路上损失的总能量。（电源内阻不计）

例5、在图所示电路中，三个电容器C1、C2、C3，的电容值均为C，电源的电动势为E,R1、R2为电阻，S为双掷开关．开始时，三个电容器都不带电，先接通Sa．再接通Sb．再接通Sa，再接通Sb……如此多次换向，并使每次接通前都已达到静电平衡．试求：
(1)当S第n次接通b并达到平衡后，每个电容器两端的电压各是多少?
(2)当反复换向的次数无限增多时，在所有电阻上消耗的总电能是多少?

二、能量与能量密度
注意：电能是分布在空间中的电场所具有的，而不是带电体具有的。
平行板电容器（空气介质）的能量为：

上式也可以写为：

其中w为能量密度：

此公式是普适的，对任何电场适用。（证明略）
对于非匀强电场，w不是定值

例6、半径为R的球面均匀带电，总电量为Q，求整个空间内的静电能。

例7、已知球面均匀带电量Q，半径为R，试计算带电球面上的表面张力系数。

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