《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第七章-第5讲-直线、平面垂直的判定与性质.docx

第5讲直线、平面垂直的判定与性质1直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直性质定理两个平面相互垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面l3.空间角(1)直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，PAO就是斜线AP与平面所成的角线面角的范围：0，(2)二面角定义：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱两个半平面叫做二面角的面如图的二面角，可记作：二面角l或二面角PABQ二面角的平面角如图，过二面角l的棱l上一点O在两个半平面内分别作BOl，AOl，则AOB就叫做二面角l的平面角二面角的范围设二面角的平面角为，则0，当时，二面角叫做直二面角做一做1已知直线a平面，b，则a与b的位置关系是()A平行B垂直C异面 D以上都有可能答案：B2. 如图，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()AA1DBAA1CA1D1DA1C1解析：选D.由题易知，A1C1平面BB1D1D，又OB1平面DD1B1B，A1C1B1O.1辨明三个易误点(1)留意在空间中垂直于同始终线的两条直线不愿定平行，还有可能异面、相交(2)留意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误会为“假如一条直线垂直于平面内的很多条直线，就垂直于这个平面”(3)留意对平面与平面垂直性质的理解2学会三种垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中查找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作挂念线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直做一做3“直线a与平面M内的很多条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B.依据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的很多条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以应当是必要不充分条件4将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四周体ABCD(如图2)，则在空间四周体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A相交且垂直B相交但不垂直C异面且垂直 D异面但不垂直解析：选C.在题图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则ADBC，翻折后如题图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即ADBD，ADCD.又BDCDD，故AD平面BCD，所以ADBC.,同学用书P132P134)_线面垂直的判定与性质(高频考点)_直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下三个命题角度：(1)证明线面垂直；(2)证明线线垂直；(3)求体积问题(2022高考广东卷)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如图(2)折叠，折痕EFDC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积扫一扫进入91导学网()直线与平面垂直的性质解(1)证明：如图，由于PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以 PDAD.又由于ABCD是矩形，CDAD，PD与CD交于点D，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF.又MFCF，MDMFM，所以CF平面DMF.(2)由于PDDC，PC2，CD1，PCD60，所以PD，由(1)知FDCF，在直角三角形DCF中，CFCD.过点F作FGCD，得FGFCsin 60，所以DEFG，故MEPE，所以MD.SCDEDEDC1.故VMCDEMDSCDE.规律方法判定线面垂直的四种方法：(1)利用线面垂直的判定定理(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理1.(1)(2021大庆市其次次质检) 如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PDDCBC1，AB2，ABDC，BCD90.求证：PCBC；求点A到平面PBC的距离(2) 如图所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是DC上的点且DFAB，PH为PAD中AD边上的高证明：PH平面ABCD；证明：EF平面PAB.解：(1)证明：PD平面ABCD，BC平面ABCD，PDBC.由BCD90知，BCDC，PDDCD，BC平面PDC，BCPC.设点A到平面PBC的距离为h，ABDC，BCD90，ABC90，连接AC(图略)，AB2，BC1，SABCABBC1，PD平面ABCD，PD1，VPABCSABCPD，PD平面ABCD，PDDC，PDDC1，PC，PCBC，BC1，SPBCPCBC，VAPBCVPABC，SPBCh，h，点A到平面PBC的距离为.(2)证明：由于AB平面PAD，PH平面PAD，所以PHAB.由于PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD.由于PH平面ABCD，ABADA，AB，AD平面ABCD，所以PH平面ABCD.证明：取PA中点M，连接MD，ME.由于E是PB的中点，所以ME綊AB.又由于DF綊AB，所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EFMD.由于PDAD，所以MDPA.由于AB平面PAD，所以MDAB.由于PAABA，所以MD平面PAB，所以EF平面PAB._面面垂直的判定和性质_(2022高考江苏卷) 如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.证明(1)由于D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又由于PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.(2)由于D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又由于DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.由于ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.规律方法判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义(2)面面垂直的判定定理(a，a)2. 如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱A1A底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点求证： (1)EF平面A1CD；(2)平面A1CD平面A1ABB1.证明：(1) 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，且ACA1C1，连接ED，在ABC中，由于D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，且DEAC.又F为A1C1的中点，所以A1FA1C1AC，且A1FAC，所以A1FDE，且A1FDE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EFDA1. 又EF平面A1CD，DA1平面A1CD，所以EF平面A1CD. (2)由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CDAB，又侧棱A1A底面ABC，CD平面ABC，所以AA1CD，又AA1ABA，因此CD平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD平面A1ABB1._垂直关系的综合应用_(2022高考北京卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别为A1C1，BC的中点 (1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积解(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，所以BB1AB.又由于ABBC，所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE平面B1BCC1. (2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.由于E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FGAC，且FGAC.由于ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形所以C1FEG.又由于EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.(3)由于AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱锥EABC的体积VSABCAA112.规律方法垂直关系综合题的解法(1)三种垂直的综合问题一般通过作挂念线进行线线、线面、面面垂直间的转化(2)垂直与平行综合问题求解时应留意平行、垂直的性质及判定的综合应用(3)垂直与体积结合的问题在求体积时，可依据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积3. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点 (1)设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长等于2，求三棱锥CB1ED的体积；(2)求证：平面EB1D平面B1CD.解：(1)依据已知，点B1到平面CDE的距离等于2，CDE的面积等于2，三棱锥B1CDE的体积等于.VCB1EDVB1CDE，VCB1ED，即三棱锥CB1ED的体积等于.(2)证明：设B1D的中点为M，连接ME，MC.设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2a，则EDa，B1Ea，EDB1E，MEB1D，ME a.由ABCDA1B1C1D1是正方体，得CD平面BCC1B1，CB1平面BCC1B1，CDCB1，MCB1Da.ME2MC25a2EC2，MEMC.又B1D平面B1CD，MC平面B1CD，B1DMCM，ME平面B1CD.ME平面EB1D，平面EB1D平面B1CD._平面图形的翻折问题_如图1，在RtABC中，ABC90，D为AC的中点，AEBD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，得到三棱锥A1BCD，如图2所示(1)若M是FC的中点，求证：直线DM平面A1EF；(2)求证：BDA1F；(3)若平面A1BD平面BCD，试推断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由解(1)证明：由于D，M分别为AC，FC的中点，所以DMEF，又EF平面A1EF，DM平面A1EF，所以DM平面A1EF.(2)证明：由于A1EBD，EFBD且A1EEFE，所以BD平面A1EF.又A1F平面A1EF，所以BDA1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直由于平面A1BD平面BCD，平面A1BD平面BCDBD，EFBD，EF平面BCD，所以EF平面A1BD.由于A1B平面A1BD，所以A1BEF，又由于EFDM，所以A1BDM.假设A1BCD，由于CDDMD，所以A1B平面BCD，所以A1BBD，这与A1BD为锐角冲突，所以直线A1B与直线CD不能垂直规律方法对于翻折问题，应明确：在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质可能会发生变化解决这类问题就是要据此争辩翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法4.(2021湖北武汉市调研)如图，已知正方形ABCD的边长为2，AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥ABCD.(1)求证：平面AOC平面BCD；(2)若三棱锥ABCD的体积为，且AOC是钝角，求AC的长解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，BDAO，BDCO.折起后仍有BDAO，BDCO，AOCOO，BD平面AOC.BD平面BCD，平面AOC平面BCD.(2)由(1)知BD平面AOC，VABCDSAOCBD.又VABCD，OAOCsinAOCBD，即sinAOC 2，sinAOC.AOC是钝角，AOC120.在AOC中，由余弦定理，得AC2OA2OC22OAOCcosAOC()2()22cos 1206，AC.,同学用书P134)考题溯源空间线面垂直关系的证明(2021高考湖南卷)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13. (1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值解(1)证明：由于BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D.而B1D平面BB1D，所以ACB1D.(2)由于B1C1AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为)连接A1D.由于棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90，所以A1B1平面ADD1A1，从而A1B1AD1.又ADAA13，所以四边形ADD1A1是正方形，于是A1DAD1.故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以B1D平面ACD1.故ADB190.在直角梯形ABCD中，由于ACBD，所以BACADB.从而RtABCRtDAB，故，即AB.连接AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BBBD2BBAB2AD221，即B1D.在RtAB1D中，cosADB1，即cos(90).从而sin .即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.考题溯源本考题由教材人教A版必修2 P66探究“如图，直四棱柱ABCDABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中，底面四边形ABCD满足什么条件时，ACBD？”改编而成如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E为CD上一点，DE1，EC3. (1)证明：BE平面BB1C1C；(2)求点B1 到平面EA1C1 的距离解：(1)证明：过点B作CD的垂线交CD于点F，则BFAD，EFABDE1，FC2.在RtBFE中，BE.在RtCFB中，BC.在BEC中，由于BE2BC29EC2，故BEBC.由BB1平面ABCD，得BEBB1，所以BE平面BB1C1C.(2)连接B1E，则三棱锥EA1B1C1的体积VAA1SA1B1C1.在RtA1D1C1中，A1C13.同理，EC13，A1E2，故SA1C1E3.设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1EA1C1的体积VdSEA1C1d，从而d，d.1(2021河南郑州市质量检测)设，分别为两个不同的平面，直线l，则“l”是“”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.依题意，由l，l可以推出；反过来，由，l不能推出l.因此“l”是“”成立的充分不必要条件2(2021黑龙江齐齐哈尔模拟)在如图所示的四个正方体中，能得出ABCD的是()解析：选A.A中，CD平面AMB，CDAB；B中，AB与CD成60角；C中，AB与CD成45角；D中，AB与CD夹角的正切值为.3(2022高考浙江卷)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则mD若mn，n，则m解析：选C.A中，由mn，n可得m或m与相交或m，错误；B中，由m，可得m或m与相交或m，错误；C中，由m，n可得mn，又n，所以m，正确；D中，由mn，n，可得m或m与相交或m，错误4. (2021衡阳联考)如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC的内部解析：选A.连接AC1(图略)，ACAB，ACBC1，ABBC1B，AC平面ABC1.又AC平面ABC，平面ABC1平面ABC，点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.5. 如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列结论正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE解析：选C.要推断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直由于ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.由于AC在平面ABC内，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ADC，所以平面ADC平面BDE.6. 如图，BAC90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_；与AP垂直的直线有_解析：PC平面ABC，PC垂直于直线AB，BC，AC.ABAC，ABPC，ACPCC，AB平面PAC，ABAP，与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，ACAB7设，是空间中两个不同的平面，m，n是平面及外的两条不同直线从“mn；n；m”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_(填序号)解析：由于当n，m时，平面及所成的二面角与直线m，n所成的角相等或互补，所以若mn，则，从而由正确；同理也正确答案：(或)8. 如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正确结论的序号为_解析：由于PA垂直于圆O所在的平面，所以PA平面ABC，即PABC，又由于AB是圆O的直径，所以BCAC，所以BC平面PAC，又AF平面PAC，所以AFBC，又AFPC，所以AF平面PBC，所以AFPB.又由于AEPB，所以PB平面AEF，即PBEF.答案：9(2021忻州市第一次联考) 已知四棱锥SABCD的底面ABCD为正方形，顶点S在底面ABCD上的射影为其中心O，高为，设E、F分别为AB、SC的中点，且SE2，M为CD边上的点 (1)求证：EF平面SAD；(2)试确定点M的位置，使得平面EFM底面ABCD.解：(1)证明：取SB的中点P，连接PF，PE(图略)F为SC的中点，PFBC，又底面ABCD为正方形，BCAD，即PFAD，又PESA，平面PFE平面SAD.EF平面PFE，EF平面SAD.(2)连接AC(图略)，AC的中点即为点O，连接SO(图略)，由题知SO平面ABCD，取OC的中点H，连接FH(图略)，则FHSO，FH平面ABCD，平面EFH平面ABCD，则连接EH并延长EH与DC的交点即为M点连接OE(图略)，由题知SO，SE2，OE1，AB2，AE1，MC，即点M的位置在CD边上靠近C点距离为.)1. (2021唐山市统考)如图，在三棱锥PABC中，PAPBABBC，PBC90，D为AC的中点，ABPD. (1)求证：平面PAB平面ABC；(2)假如三棱锥PBCD的体积为3，求PA.解：(1)证明：取AB中点为O，连接OD，OP.由于PAPB，所以ABOP.又ABPD，OPPDP，所以AB平面POD，由于OD平面POD，所以ABOD.由已知，BCPB，又ODBC，所以ODPB，由于ABPBB，所以OD平面PAB.又OD平面ABC，所以平面PAB平面ABC.(2)由(1)知，OP平面ABC.设PAa，由于D为AC的中点，所以VPBCDVPABCa2aa3，由a33，解得a2，即PA2.2. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点求证： (1)直线BC1平面EFPQ；(2)直线AC1平面PQMN.证明：(1)连接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AD1BC1，由于F，P分别是AD，DD1的中点，所以FPAD1.从而BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，则ACBD.由CC1平面ABCD，BD平面ABCD，可得CC1BD.又ACCC1C，所以BD平面ACC1.而AC1平面ACC1，所以BDAC1.由于M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MNBD，从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNMNN，所以直线AC1平面PQMN.3如图(1)，在平面四边形ABCD中，A90，B135，C60，ABAD，M，N分别是边AD，CD上的点，且2AMMD，2CNND.如图(1)，将ABD沿对角线BD折起，使得平面ABD平面BCD，并连接AC，MN(如图(2)(1)证明：MN平面ABC；(2)证明：ADBC；(3)若BC1，求三棱锥ABCD的体积解：(1)证明：在ACD中，2AMMD，2CNND，MNAC，又MN平面ABC，AC平面ABC，MN平面ABC.(2)证明：在ABD中，ABAD，BAD90，ABD45，在平面四边形ABCD中，ABC135，BCBD.又平面ABD平面BCD，且BC平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面ABD，又AD平面ABD，ADBC.(3)在BCD中，BC1，CBD90，BCD60，BD.又在ABD中，BAD90，ABAD，ABAD.SABDABAD，由(2)知BC平面ABD，VABCDVCABD1.