资源描述
模块综合检测
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)
1．(2022·烟台高二检测)6个学校的师生轮番去某个电影院观看电影《同桌的你》，每个学校包一场，则不同的包场挨次的种数是( )
A．720 B．480
C．540 D．120
解析：选A.由于是轮番放映，故不同的包场挨次有A＝720(种)．
2．(2022·郑州高二检测)(1－x)4(1－)3的开放式中x2的系数是( )
A．－6 B．－3
C．0 D．3
解析：选A.(1－x)4(1－)3＝(1－4x＋6x2－4x3－x4)(1－3x＋3x－x)，
x2的系数是－12＋6＝－6.
3．从5名同学中选出4名分别参与数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参与物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A．24 B．48
C．72 D．120
解析：选C.A参与时有C·A·A＝48(种)，A不参与时有A＝24(种)，共72种．
4．已知随机变量ξ听从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ＜3)等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由正态分布的图象知，x＝μ＝3为该图象的对称轴，则P(ξ＜3)＝.
5．(2022·福州高二检测)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由题意，取出的3个球必为2个旧球，1个新球，故P(X＝4)＝＝.
6．设A＝37＋C·35＋C·33＋C·3，B＝C·36＋C·34＋C·32＋1，则A－B的值为( )
A．128 B．129
C．47 D．0
解析：选A.A－B＝37－C·36＋C·35－C·34＋C·33－C·32＋C·3－1＝(3－1)7＝27＝128，故选A.
7．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数．
这四种变量中听从超几何分布的是( )
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③④
解析：选B.依超几何分布的数学模型及计数公式，也可以用排解法．
8．若(1－5x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，那么|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值是( )
A．1 B．49
C．59 D．69
解析：选D.由(1＋5x)9与(1－5x)9开放式系数可知|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝(1＋5×1)9＝69.
9．随机变量ξ听从二项分布ξ～B(100,0.2)，那么D(4ξ＋3)的值为( )
A．128 B．256
C．64 D．1 024
解析：选B.由于D(ξ)＝100×0.2×0.8＝16，所以D(η)＝D(4ξ＋3)＝16D(ξ)＝16×16＝256.
10．抛掷两枚骰子，则在已知它们点数不同的状况下，至少有一枚毁灭6点的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.设“至少有一枚毁灭6点”为大事A，“两枚骰子的点数不同”为大事B.
则n(B)＝6×5＝30，n(AB)＝10，
所以P(A|B)＝＝.
11．已知(ax＋1)2n和(x＋a)2n＋1的开放式中含xn的项的系数相同(a≠0为实数，n∈N*)，则a的取值范围是( )
A．a＝1 B．a>1
C．0<a<1 D．a≥1
解析：选C.(ax＋1)2n开放式中含xn的项的系数为Can，(x＋a)2n＋1开放式中含xn的项的系数为C·an＋1，所以Can＋1＝Can，所以a＝＝，所以0<a<1.因此答案选C.
12．从0,2,4中取一数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则全部不同的三位数的个数是( )
A．36 B．48
C．52 D．54
解析：选B.第1类：0,2,4中选0，
第1步：从2个位置中选1个位置放入0，共有C种，
第2步：从1,3,5中选2个数字放入其余两个位置，共有A种，
由分步乘法计数原理知共有C·A＝2×3×2＝12种方法．
第2类：0,2,4中没有选0，
第1步：从2,4中选1个，有C种，
第2步：从1,3,5中选2个，有C种，
第3步：3个数排列有A种，
由分步乘法计数原理知共有CCA＝2×3×6＝36种方法．
由分类加法计数原理知三位数的个数为12＋36＝48(个)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2022·湖州检测)已知离散型随机变量X的分布如表所示，E(X)＝0，D(X)＝1，则a＋b＝________.
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
解析：由已知得
即
答案：
14．抽样调查表明，某校高三同学成果(总分750分)X近似听从正态分布，平均成果为500分．已知P(400＜X＜450)＝0.3，则P(550＜X＜600)＝________.
解析：由图可以看出P(550＜X＜600)＝P(400＜X＜450)＝0.3.
答案：0.3
15．若n的开放式中含有常数项，则最小的正整数n等于__________．
解析：若n的开放式中含有常数项，设Tr＋1＝C(2x3)n－r·r为常数项，即3n－＝0，当n＝7，r＝6时成立，最小的正整数n等于7.
答案：7
16．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程＝x＋必过(，)；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则其两个变量之间有关系的可能性是90%.其中错误的个数是________．
解析：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；②④⑤均错误．
答案：3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)有0,1,2,3,4,5共6个数字．
(1)能组成多少个没有重复数字的四位偶数；
(2)能组成多少个没有重复数字且为5的倍数的五位数．
解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类，0在个位时有A个；
其次类，2在个位时有AA个；
第三类，4在个位时有AA个；
由分类加法计数原理知，共有四位偶数A＋AA＋AA＝156(个)．
(2)五位数中5的倍数可分为两类；第一类，个位上的数字是0的五位数有A个，其次类，个位上的数字是5的五位数有AA个．
故满足条件的五位数有A＋AA＝216(个)．
18．(本小题满分12分)已知(x＋3x2)n的开放式中，各项系数和比它的二项式系数和大992.
(1)求开放式中二项式系数最大的项；
(2)求开放式中系数最大的项．
解：令x＝1，则开放式中各项系数和为(1＋3)n＝22n，又开放式中二项式系数和为2n，
∴22n－2n＝992，n＝5.
(1)∵n＝5，开放式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，
T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.
(2)设开放式中第r＋1项系数最大，则
Tr＋1＝C(x)5－r(3x2)r＝3rCx，
∴⇒≤r≤，
∴r＝4，
即开放式中第5项系数最大，T5＝C(x)(3x2)4＝405x.
19．(本小题满分12分)为了分析某个高三同学的学习状态，对其下一阶段的学习供应指导性建议．现对他前7次考试的数学成果x、物理成果y进行分析．下面是该生7次考试的成果.
数学
88
83
117
92
108
100
112
物理
94
91
108
96
104
101
106
(1)他的数学成果与物理成果哪个更稳定？请给出你的证明；
(2)已知该生的物理成果y与数学成果x是线性相关的，若该生的物理成果达到115分，请你估量他的数学成果大约是多少，并依据物理成果与数学成果的相关性，给出该生学习数学、物理的合理建议．
解：(1)＝100＋＝100，
＝100＋＝100；
∴s＝＝142，
∴s＝.
从而s>s，
∴物理成果更稳定．
(2)由于x与y之间具有线性相关关系，依据回归系数公式得到＝＝＝0.5，
＝－ ＝100－0.5×100＝50.
∴回归方程为＝0.5x＋50.
当y＝115时，x＝130，即该生物理成果达到115分时，他的数学成果大约为130分．
建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成果的稳定性，将有助于物理成果的进一步提高．
20．(2022·高考辽宁卷)一家面包房依据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在将来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在将来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．
解：(1)设A1表示大事“日销售量不低于100个”，A2表示大事“日销售量低于50个”，B表示大事“在将来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6.
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
P(X＝0)＝C(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C·0.63＝0.216，
分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
由于X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
21．(本小题满分12分)已知n的开放式中前三项的系数成等差数列．
(1)求n的值．
(2)设n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.
①求a5的值；
②求a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan的值；
③求ai(i＝0,1,2，…，n)的最大值．
解：(1)由题意，得C＋×C＝2××C，
即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1.
又n≥2，∴n＝8.
(2)①Tr＋1＝Cx8－rr，
令8－r＝5，得r＝3，∴a5＝7.
②取x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝.
③设第r＋1项的系数最大，
则
即解得2≤r≤3.
又r∈N，∴r＝2或r＝3，
∴ai(i＝0,1,2，…，8)的最大值为7.
22．(本小题满分12分)某班50位同学期中考试数学成果的频率分布直方图如图所示，其中成果分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中x的值；
(2)从成果不低于80分的同学中随机选取2人，该2人中成果在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
解：(1)由频率分布直方图知(0.006×3＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得x＝0.018.
(2)由频率分布直方图知成果不低于80分的同学人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成果在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50＝3.
因此ξ可能取0,1,2三个值．
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
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