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题组层级快练(六)
1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是( )
A．递减函数 B．递增函数
C．先减后增 D．先增后减
答案 C
解析 对称轴为x＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数．
2．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( )
A．y＝1－x2 B．y＝x2＋x
C．y＝－ D．y＝
答案 D
3．(2022·陕西)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A．f(x)＝x B．f(x)＝x3
C．f(x)＝x D．f(x)＝3x
答案 D
解析 依据各选项知，选项C，D中的指数函数满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)．又f(x)＝3x是增函数，所以D正确．
4．函数f(x)＝1－( )
A．在(－1，＋∞)上单调递增
B．在(1，＋∞)上单调递增
C．在(－1，＋∞)上单调递减
D．在(1，＋∞)上单调递减
答案 B
解析 f(x)可由－沿x轴向右平移一个单位，再向上平移一个单位得，如图所示．
5．函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是( )
A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
答案 A
解析 由已知易得即x>3，又0<0.5<1，
∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．
6．若函数y＝loga(x2＋2x－3)，当x＝2时，y>0，则此函数的单调递减区间是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
答案 A
解析 当x＝2时，y＝loga(22＋2·2－3)＝loga5，
∴y＝loga5>0，∴a>1.
由复合函数单调性知，
单减区间需满足解之得x<－3.
7．若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．a<－3 B．a≤－3
C．a>－3 D．a≥－3
答案 B
解析 对称轴x＝1－a≥4，∴a≤－3.
8．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有<0”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
答案 A
解析 满足<0其实就是f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选A.
9．设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若函数f(x)＝ax在R上为减函数，则有0<a<1.若函数g(x)＝(2－a)x3在R上为增函数，则有2－a>0，即a<2，所以“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件，选A.
10．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(0，＋∞)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(0，＋∞)上确定( )
A．有最小值 B．有最大值
C．是减函数 D．是增函数
答案 A
解析 ∵f(x)＝x2－2ax＋a在(0，＋∞)上有最小值，
∴a>0.
∴g(x)＝＝x＋－2a在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．
∴g(x)在(0，＋∞)上确定有最小值．
11．若奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则不等式f(lgx)＋f(1)>0的解集是________．
答案 (0，)
解析 由于f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．又由于f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f(x)在R上为单调递减函数．
不等式f(lgx)＋f(1)>0可化为f(lgx)>－f(1)＝f(－1)，所以lgx<－1，解得0<x<.
12．若函数y＝－|x|在[a，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．
答案 a≥0
解析 y＝－|x|在[0，＋∞)上单调递减，∴a≥0.
13．函数f(x)＝|logax|(0<a<1)的单调递增区间是________．
答案 [1，＋∞)
解析 函数图像如图. 14．在给出的下列4个条件中，
① ②
③ ④
能使函数y＝loga为单调递减函数的是________．
(把你认为正确的条件编号都填上)．
答案 ①④
解析 利用复合函数的性质，①④正确．
15．函数f(x)＝的最大值为________．
答案
解析 当x＝0时，y＝0.
当x≠0时，f(x)＝，
∵＋≥2，当且仅当＝，即x＝1时成立，故0<f(x)≤，∴0≤f(x)≤.
16．给出下列命题
①y＝在定义域内为减函数；
②y＝(x－1)2在(0，＋∞)上是增函数；
③y＝－在(－∞，0)上为增函数；
④y＝kx不是增函数就是减函数．
其中错误命题的个数有________．
答案 3
解析 ①②④错误，其中④中若k＝0，则命题不成立．
17．已知函数f(x)的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．若g(x)＝－x＋m＋ex的保值区间为[0，＋∞)，则m的值为________．
答案 －1
解析 由定义知，g(x)＝－x＋m＋ex保值区间[0，＋∞)，又∵g′(x)＝－1＋ex≥0，∴g(x)为在[0，＋∞)上的增函数．∴当x＝0时，g(0)＝0，即m＋1＝0，∴m＝－1.
18．试推断函数f(x)＝x2－在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．
答案 单调递增，证明略
解析 方法一：函数f(x)＝x2－在(0，＋∞)上是单调增函数．设0<x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝x－x－(－)
＝(x1－x2).
∵x2>x1>0，∴x1－x2<0，x1＋x2＋>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
方法二：f′(x)＝2x＋.
当x>0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
19．已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
答案 (1)a>1时，(0，＋∞)；a＝1时，{x|x>0且x≠1}；0<a<1时，{x|0<x<1－或x>1＋}
(2)lg (3)(2，＋∞)
解析 (1)由x＋－2>0，得>0.
①当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)；
②当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；
③当0<a<1时，定义域为{x|0<x<1－或x>1＋}．
(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，
g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数．
∴f(x)＝lg(x＋－2)在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg.
(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．
∴a>3x－x2.
而h(x)＝3x－x2＝－(x－)2＋在x∈[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x)max＝h(2)＝2.
∴a>2.
1．若函数f(x)在区间(－2,3)上是增函数，则y＝f(x＋5)的一个单调递增区间是( )
A．(3,8) B．(－7，－2)
C．(－3，－2) D．(0,5)
答案 B
解析 令－2<x＋5<3，得－7<x<－2.
2．若函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(m2＋1)>f(－m＋1)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
答案 D
解析 由题意得m2＋1>－m＋1，故m2＋m>0，故m<－1或m>0.
3．函数f(x)＝log(3－2x)的单调递增区间是________．
答案 (－∞，)
4．函数y＝＋的最小值是________．
答案 2
解析 由得x≥0.
又函数y＝＋在[0，＋∞)上是增函数，
所以函数的最小值为＋＝2.
5．函数f(x)＝()x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
答案 3
解析 由于y＝()x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减．故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.
6．写出下列函数的单调区间：
(1)y＝|x2－3x＋2|； (2)y＝.
解析 (1)y＝|x2－3x＋2|
＝
依据图像，可知，
单调递增区间是和[2，＋∞)；
单调递减区间是(－∞，1]和.
(2)y＝＝－＝－1＋.
方法一：图像法：作出函数的图像，
得函数的单调递减区间是(－∞，－3)和(－3，＋∞)．
方法二：利用已知函数的单调性：f(x)的图像是由y＝的图像先向左平移3个单位，再向下平移一个单位得到的，
∵y＝在(－∞，0)，及(0，＋∞)上是减函数，
∴f(x)＝在(－∞，－3)，及(－3，＋∞)上也是减函数．
方法三：定义法(略)
7．写出下列函数的单调区间：
(1)y＝|x－|； (2)y＝； (3)y＝|x|(1－x)．
答案 (1)减区间(－∞，)，增区间(，＋∞)
(2)减区间(－∞，2)，(2，＋∞)
(3)增区间，减区间(－∞，0]，
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