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几何中的调和分割及应用

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几何中的调和分割及应用
郑皎月
（安康学院数学系 陕西 安康 725000）

摘要: “调和分割”又称“调和共轭”,它是交比研究中的一个重要特例，也是 贯穿大学《高等几何》课程的一个重要概念，应用它解决初等几何中有关平分角、平分线段以及高等几何中有关对合的性质、完全四点型的调和分割、完全四线型调和分割以及拉盖尔定理的推广等性质有着积极的意义。
关键字：调和分割 高等几何 应用 性质

若C点分割线段AB的比值和D点分割AB的比值只差一个符号（因而一个是内分点，另一个是外分点），这时我们说C、D两点调和分割AB,或C与D对于线段AB成调和共轭点偶，用符号表示。在调和分割中，两对点的关系是完全对等的，这意思是说，当C与D调和分AB时， A与B也调和分割CD,因而我们已知道，若,便也有.
一、几何中的调和分割
1.关于平分角中的调和分割
三角形中一个角的内角和外角的平分线，将对边分成两线段的比值，都和两邻边成比例，可见，两条平分角线和对边的交点，调和分割对边。
D

A

C
A
EE
B

E

图1

证明：由三角形中一个角的内角和外角的平分线，将对边分成两线段的比值，都和两临边成比例
有
即

则
因此

2、关于线段的调和分割
一线段被它的中点和这直线上的无穷远点所调和分割,即证明：

A
B
C

图2

证：
因为
所以
即
则
3、关于对合的调和分割
对合有两个二重元素，这两个元素是不重合的，可能是共轭复元素，并且这两个二重元素调和分割任意一对对应元素。
证明：由于对合的表达式是

所以决定二重元素的方程

不能有等根，所以两根和或者是不等式实根（双曲型对合），或者是共轭复根（椭圆型对合）.
由于对合是射影变换，因此保留交比，即,利用交比性质，此式可写作
从而或，但将导致与重合，这与对合不是恒同变换的假设抵触，从而.
4、关于完全四点形和完全四线形的调和分割
完全四点形 完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束，即通过这对角点的两边和对角三角形的两边。
完全四线型 完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列，即这直线上的两个顶点和对角三角形的两个顶点。

S

A

C

Q
R
d

E
a
D
B

c
P

Q

r
b

D

A
C
B
R
P

图3
图4

证明：设AB,SQ,RT是完全四边形的三条对角线，SQ,RT交AB于C、D,则

所以

从而
（AB,CD）=1，或（AB,CD）=-1

因将导致四点A、B、C、D中有某两点重合，因这与现在的情况不合，所以

现在回转来证明完全四点形的调和性质。我们取对角点A为例，只需把图2上点Q、R、S、T理解为完全四点形的顶点，那么三角形ABE是它的对角三角形，要证明的是
A(RT,BE)=A(RT,DE)
=(RT,DE)
=(AB,DC)
(因为 )

证毕.
5、关于拉盖尔定理的推论
两条直线垂直的充要条件是它们和l的交点关于I(1,i,0)和,J（1，-i ,0）两点成调和共轭，亦即该两条直线被通过它们的交点的迷向直线调和分割。

证明：设两条直线的交角是,这两条直线上的无穷远点与I,J两点所成的交比是D,那么，对数函数的主值范围内，由拉盖尔定理公式
㏑=
㏑=

所以
因此，这两条直线上的无穷远点与I,J两点所成的交比为-1，即垂直的两条直线被通过它们交点的两条迷向直线调和分割。
二、调和分割的应用
例1 ABCD是梯形，E是两腰所在直线的交点，过两对角线的交点G引底边的平行线相交于F,则
图5
E
D
C
A
B
I
F
G
H

证明：联结EG,分别与梯形上、下两底交于点H和I,观察到EDGH是一个完全四线形，EI是它的对角线，有完全四线形的调和性质，得到
又，,故
(,平行投影是特殊的射影).
这样，.证毕
例2 给定一条二次曲线，证明在不是切线的每一直线上有无穷多的共轭点偶，它们组成一个对合对应.
P

N

S
S
M

P

图6

证明：设直线交二次曲线于点M、N,过M、N作的二切线交于点S，在上任取一点，过作的两条切线，连两切点的直线和交于，为点关于的极线且过点S（图4），则有 ,所以，在直线上有无穷多的共轭点偶，它们组成以M、N为二重元素的对合对应，若与无实交点为椭圆对合.
参考文献：
[1]朱德祥,朱维宗，高等几何.北京:高等教育出版社，2007.7.
[2]丘维声,北京大学教材.解析几何.北京大学出版社.1996.10.
[3]梅向明.高等几何习题集.北京: 高等教育出版社.1994.53、68-69.

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