轴对称最值问题专项提升附答案教学提纲.doc

轴对称最值问题专项提升附答案

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授课教案
学员姓名：________________ 学员年级：________________ 授课教师：_________________
所授科目：_________ 上课时间：______年____月____日 （ ～ ）； 共_____课时
（以上信息请老师用正楷字手写）
轴对称最值问题专项提升
【知识点】最短路径
两点之间，线段最短
例：四边形ABCD中，BAD=，B=D=,在BC，CD上分别找一点M，N，使AMN周长最小，则AMN+ANM的度数是（ ）
A. B. C. D.
例：如图，P，Q分别为ABC的边AB，AC上的定点,在BC上求作一点M，使PQM周长最小。

一．解答题（共6小题）
1．已知：如图所示，M（3，2），N（1，﹣1）．点P在y轴上使PM+PN最短，求P点坐标．

2．如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN的周长最短． 保留作图痕迹）

3．如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．

4．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，OA上有一点Q，OB上有一定点R．若△PQR周长最小，求它的最小值．

5．如图，已知A、B是锐角α的OM边上的两个定点，P在ON边上运动．问P点在什么位置时，PA2+PB2的值最小？

6．如图，两个生物制药厂A与B座落于运河河岸的同一侧．工厂A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，两个工厂的距离为6千米．现要在运河的工厂一侧造一点C，在C处拟设立一个货物运输中转站，并建设直线输送带分别到两个工厂和河岸，使直线运送带总长最小．如图建立直角坐标系．

（1）如果要求货物运动中转站C距离河岸l为a千米（a为一个给定的数，0≤a≤2），求C点设在何处时，直线输送带总长S最小，并给出S关于a的表达式．
（2）在0≤a≤2范围内，a取何值时直线输送带总长最小，并求其最小值．

2014年09月09日752444625的初中数学组卷
参考答案与试题解析

一．解答题（共6小题）
1．已知：如图所示，M（3，2），N（1，﹣1）．点P在y轴上使PM+PN最短，求P点坐标．

考点：
轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．
专题：
数形结合．
分析：
找出点N关于y轴的对称点，连接M与对称点，与y轴的交点为P点，根据两点之间，线段最短得到此时点P在y轴上，且能使PM+PN最短．根据关于y轴对称点的特点，找出N对称点的坐标，设出直线MP的方程，把N的对称点的坐标和M的坐标代入即可确定出直线MP的方程，然后令x=0求出直线与y轴的交点，写出交点坐标即为点P的坐标．
解答：
解：根据题意画出图形，找出点N关于y轴的对称点N′，连接MN′，与y轴交点为所求的点P，
∵N（1，﹣1），
∴N′（﹣1，﹣1），
设直线MN′的解析式为y=kx+b，把M（3，2），N′（﹣1，﹣1）代入得：
，
解得，
所以y=x﹣，
令x=0，求得y=﹣，
则点P坐标为（0，）．

点评：
此题考查了对称的性质，以及利用待定系数法求一次函数的解析式．
利用对称的方法找出线段之和的最小值的步骤为：
1、找出其中一个定点关于已知直线的对应点；
2、连接对应点与另一个定点，求出与已知直线交点的坐标；
3、根据两点之间，线段最短可知求出的交点坐标即为满足题意的点的坐标．

2．如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN的周长最短． （写出作法，保留作图痕迹）

考点：
轴对称-最短路线问题．菁优网版权所有
专题：
作图题．
分析：
作点N关于BC的对称点N′，连接MN′交BC于点P，由两点之间线段最短可知P点即为所求点．
解答：
解：①作点N关于BC的对称点N′，连接MN′交BC于点P，
②由对称的性质可知PN=PN′，故PN+PM=MN′，
③由两点之间线段最短可知，△PMN的最短周长即为MN′+MN．

点评：
本题考查的是最短线路问题，根据两点之间线段最短的知识作出N的对称点是解答此题的关键．

3．如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．

考点：
轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
作出D关于BC、AC的对称点D'、D''，连接D'D''，DQ，DP，根据轴对称的性质将三角形的周长最值问题转化为两点之间线段最短的问题，利用等边三角形的性质和三角函数即可解答．
解答：
解：作D关于BC、AC的对称点D'、D''，连接D'D''，DQ，DP．
∵DQ=D''Q，DP=D'P，
∴△DPQ的周长为PQ+DQ+DP=PQ+D''Q+D'P=D'D''，
根据两点之间线段最短，D'D''的长即为三角形周长的最小值．
∵∠A=∠B=60°，∠BED=∠AFD=90°，
∴∠α=∠β=90°﹣60°=30°，
∠D'DD''=180°﹣30°﹣30°=120°，
∵D为AB的中点，
∴DF=AD•cos30°=1×=，AF=，
易得△ADF≌△QD''F，
∴QF=AF=，
∴AQ=1，BP=1，
Q、P为AC、BC的中点．
∴DD''=×2=，
同理，DD'=×2=，
∴△DD'D''为直角三角形，
∴∠D'=∠D''==30°，
∴D''D'=2DD'•cos30°=2××=3．

点评：
此题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，涉及正三角形的性质、三角函数、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质和判定等知识，有一定难度．

4．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，OA上有一点Q，OB上有一定点R．若△PQR周长最小，求它的最小值．

考点：
轴对称-最短路线问题．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．
解答：
解：设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．
作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．
连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．
∵OA是PE的垂直平分线，
∴EQ=QP；
同理，OB是PF的垂直平分线，
∴FR=RP，
∴△PQR的周长=EF．
∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°，
∴△EOF是正三角形，
∴EF=10，即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10．
故答案为：10．

点评：
本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．

5．如图，已知A、B是锐角α的OM边上的两个定点，P在ON边上运动．问P点在什么位置时，PA2+PB2的值最小？

考点：
轴对称-最短路线问题．菁优网版权所有
专题：
动点型；探究型；存在型．
分析：
由余弦定理，可得二次函数，然后可求最值．
解答：
解：设OA=a，OB=b，OP=x，
∵PA2=a2+x2﹣2axcosα，PB2=b2+x2﹣2bxcosα，
∴PA2+PB2=a2+x2﹣2axcosα+b2+x2﹣2bxcosα=2x2﹣2（a+b）cosαx+a2+b2，
∴当x=cosα时，PA2+PB2的值最小．

点评：
本题考查的是最短路线问题，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．

6．如图，两个生物制药厂A与B座落于运河河岸的同一侧．工厂A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，两个工厂的距离为6千米．现要在运河的工厂一侧造一点C，在C处拟设立一个货物运输中转站，并建设直线输送带分别到两个工厂和河岸，使直线运送带总长最小．如图建立直角坐标系．

（1）如果要求货物运动中转站C距离河岸l为a千米（a为一个给定的数，0≤a≤2），求C点设在何处时，直线输送带总长S最小，并给出S关于a的表达式．
（2）在0≤a≤2范围内，a取何值时直线输送带总长最小，并求其最小值．

考点：
轴对称-最短路线问题；直角梯形．菁优网版权所有
专题：
探究型．
分析：
（1）过B作直线BE⊥y轴于E点，再根据所建直角坐标系及A和B距离河岸l分别为4千米和2千米求出A、B两点的坐标，再用a表示出B′点的坐标，再用两点间的距离公式即可求解；
（2）根据（1）中S的表达式及a的取值范围进行解答即可．
解答：
解：（1）如图所示：
过B作直线BE⊥y轴于E点，
∵A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，AB=6千米，
∴AE=4﹣2=2千米，
∴BE===，
∴A（0，4）、B（，2），
过点B作关于直线l1的对称点B′，则BF=B′F=2﹣a，
∴B′点的坐标为（，﹣2+2a），
∴S=AB′==2；

（2）由（1）可知，S=2，
∵0≤a≤2，
∴当a=2时S有最小值，则S=2=6（千米）．
故答案为：，6千米．

点评：
本题考查的是最短线路问题及两点间的距离公式，分别求出A、B、B′三点的坐标是解答此题的关键．

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