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开卷速查(二十八) 数列的概念与简洁表示法
A级 基础巩固练
1．数列0，，，，…的一个通项公式为( )
A．an＝(n∈N*) B．an＝(n∈N*)
C．an＝(n∈N*) D.an＝(n∈N*)
解析：将0写成，观看数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为2(n－1)，n∈N*；分母为奇数列，可表示为2n－1，n∈N*，故选C.
答案：C
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－1，则a3＝( )
A．－10 B.6
C．10 D.14
解析：a3＝S3－S2＝2×32－1－(2×22－1)＝10.
答案：C
3．数列{an}满足：a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则a5＝( )
A. B.
C．5 D.6
解析：由于a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，
则＝.
所以a5＝····a1＝××××1＝，故选A.
答案：A
4．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是( )
A．2n－1 B.n－1
C．n2 D.n
解析：方法一：由已知整理，得(n＋1)an＝nan＋1，
∴＝.∴数列是常数列，且＝＝1.
∴an＝n.
方法二(累乘法)：n≥2时，＝，
＝，
⋮
＝，
＝，
以上各式两边分别相乘，得＝n.
又∵a1＝1，∴an＝n，故选D.
答案：D
5．若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝(n≥3，n∈N*)，则a17＝( )
A．1 B.2
C. D.2－987
解析：由已知，得a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，a9＝2，a10＝1，a11＝，a12＝，即an的值以6为周期重复毁灭，故a17＝.
答案：C
6．数列{an}中，Sn为{an}的前n项和，n(an＋1－an)＝an(n∈N*)，且a3＝π，则tanS4等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：方法一：由n(an＋1－an)＝an得
nan＋1＝(n＋1)an，
可得3a4＝4a3，已知a3＝π，则a4＝π.
又由2a3＝3a2，得a2＝π.
由a2＝2a1，得a1＝，故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝π，tanS4＝tanπ＝.
方法二：∵由n(an＋1－an)＝an，
得nan＋1＝(n＋1)an即＝.
∴＝＝＝…＝＝.
∴an＝n，∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋2＋3＋4)＝π，tanS4＝tanπ＝.
答案：B
7．数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前__________项的和最大．
解析：易知a1＝20＞0，明显要想使和最大，则应把全部的非负项求和即可，令an≥0，则－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可见，当n＝11时，a11＝0，故a10是最终一个正项，a11＝0，故前10项或11项和最大．
答案：10或11
8．数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝__________.
解析：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3，把n换成n－1得，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2)·3n＋3，两式相减得an＝3n.
答案：3n
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足≤2的正整数n的集合为__________．
解析：由于Sn＝2an－1，
所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，
两式相减得an＝2an－2an－1，
整理得an＝2an－1 ，
所以{an}是公比为2的等比数列，
又由于a1＝2a1－1，解得a1＝1，
故{an}的通项公式为an＝2n－1.
而≤2，即2n－1≤2n.∴n＝1,2,3,4.
∴正整数n的集合为{1,2,3,4}．
答案：{1,2,3,4}
10．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6恒成立，求a的取值范围．
解析：(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，
又∵a＝－7，∴an＝1＋.
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，
a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋.
∵对任意的n∈N*，都有an≤a6恒成立，
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
知5＜＜6，∴－10＜a＜－8.
故a的取值范围为(－10，－8)．
B级 力气提升练
11．已知数列{an}的通项公式为an＝n－1－n－1，则数列{an}( )
A．有最大项，没有最小项
B．有最小项，没有最大项
C．既有最大项又有最小项
D．既没有最大项也没有最小项
解析：∵数列{an}的通项公式为an＝n－1－n－1，
令t＝n－1，t∈(0,1]，t是减函数，
则an＝t2－t＝2－，
由复合函数单调性知an先递增后递减．
故有最大项和最小项，选C.
答案：C
12．已知数列{an}满足：a1＝，对于任意的n∈N*，an＋1＝an(1－an)，则a1 413－a1 314＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：a1＝，a2＝××＝，a3＝××＝，a4＝××＝，….
归纳可知当n为大于1的奇数时，an＝；当n为正偶数时，an＝.故a1 413－a1 314＝.
答案：D
13．[2021·白山模拟]已知数列{an}．
(1)若an＝n2－5n＋4，
①数列中有多少项是负数？
②n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1＞an，求实数k的取值范围．
解析：(1)①由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.
由于n∈N*，所以n＝2,3.
所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.
②由于an＝n2－5n＋4＝2－的对称轴方程为n＝.
又n∈N*，所以当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.
(2)由an＋1＞an知该数列是一个递增数列，又由于通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－＜，即得k＞－3.
14．已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋n2－1，数列{bn}满足3n·bn＋1＝(n＋1)an＋1－nan，且b1＝3.
(1)求an，bn；
(2)设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn，并求满足Tn＜7时n的最大值．
解析：(1)当n≥2时，Sn＝an＋n2－1，Sn－1＝an－1＋(n－1)2－1，
两式相减，得an＝an－an－1＋2n－1，
∴an－1＝2n－1(n≥2)．
∴an＝2n＋1(n≥1)．
∴3n·bn＋1＝(n＋1)(2n＋3)－n(2n＋1)＝4n＋3.
∴bn＋1＝.
当n≥2时，bn＝，又b1＝3适合上式，
∴bn＝.
(2)由(1)知bn＝，
∴Tn＝＋＋＋…＋＋，①
Tn＝＋＋＋…＋＋，②
①－②，得Tn＝3＋＋＋＋…＋－＝3＋4×－＝5－.
∴Tn＝－.
Tn－Tn＋1＝－＝－＜0，
∴Tn＜Tn＋1，即{Tn}为递增数列，又T3＝＜7，T4＝＞7，∴当Tn＜7时，n的最大值为3.
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