(北师大版)数学必修1同步测试：第三章指数函数和对数函数3.3.3.docx

第三章　§3　3.3

一、选择题
1．若指数函数y＝(1－a)x在R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)　　　　 B．(0,1)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
[答案]　B
[解析]　∵函数y＝(1－a)x在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴0<1－a<1，∴0<a<1.
2．假如函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像与函数y＝()x的图像关于y轴对称，则a的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
[答案]　C
[解析]　由题意知a·＝1，即a＝.
3．已知函数f(x)＝ax－1＋2(a＞0，a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,2) D．(2,0)
[答案]　A
[解析]　令x－1＝0，x＝1，f(x)＝3，
∴点P的坐标是(1,3)．
4．函数y＝ax在[0,1]上最大值与最小值的和为3，则a等于(　　)
A.　 B．2
C．4　　　D.
[答案]　B
[解析]　当0<a<1时，明显不合题意，故由已知得a>1，当x＝0时，ymin＝a0＝1，
当x＝1时，ymax＝a1＝a，
又∵1＋a＝3，∴a＝2.故正确答案为B.
5．(2022·重庆高考)下列函数为偶函数的是(　　)
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
[答案]　D
[解析]　此题考查函数奇偶性的推断．
A、B非奇非偶，C为奇函数，D，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)．
6．若0<x<1，则2x，()x,0.2x之间的大小关系是(　　)
A．2x<0.2x<()x B．2x<()x<0.2x
C．()x<0.2x<2x D．0.2x<()x<2x
[答案]　D
[解析]　由指数函数性质可知，当0<x<1时，2x>20＝1，()x<()0＝1，而y＝0.2x与y＝()x在0<x<1时，y＝0.2x在y＝()x图像的下方，故0.2x<()x<2x.故选D.
二、填空题
7．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
[答案]　m<n
[解析]　∵a＝，∴0<a<1，
函数f(x)＝ax在x∈R上是单调递减的且f(m)>f(n)，∴m<n.
8．函数y＝的定义域是__________，值域为__________．
[答案]　[－1,2]　[，1]
[解析]　由－x2＋x＋2≥0得－1≤x≤2，
此时－x2＋x＋2∈[0，]
∴u＝∈[0，]，
∴y＝u∈[，1]．
三、解答题
9．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
[解析]　当a>1时，函数f(x)＝ax－1在[0,2)上是增函数，
由题意可知，解得a＝.
当0<a<1时，函数f(x)＝ax－1在[0,2]上是减函数，
由题意可知，此时a无解．
综上所述，a＝.
10．比较下列两组数的大小：
(a－1)1.3与(a－1)2.4(a>1且a≠2)．
[解析]　由于a>1且a≠2，所以a－1>0且a－1≠1，
若a－1>1即a>2，则y＝(a－1)x是增函数，
∴(a－1)1.3<(a－1)2.4；
若0<a－1<1，即1<a<2，则y＝(a－1)x是减函数，
∴(a－1)1.3>(a－1)2.4.

一、选择题
1．定义运算a*b＝，如1*2=1，则函数f(x)=2x*2-x的值域是(　　)
A．(0,1) B．(0，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(0,1]
[答案]　D
[解析]　由题意知函数f(x)的图像如图，

∴函数的值域为(0,1]，故选D.
2．函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图像可能是(　　)

[答案]　D
[解析]　当a>1时，函数y＝ax单调递增，0<<1，函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图像由y＝ax的图像向下平移个单位得到，故A不正确；由于y＝ax－恒不过点(1,1)，所以B不正确；当0<a<1时，y＝ax单调递减，>1，函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图像由y＝ax的图像向下平移个单位得到，故C不正确，故选D.
二、填空题
3．指数函数f(x)＝(2a－1)x满足f(π)<f(3)，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(，1)
[解析]　∵π>3，又f(π)<f(3)且f(x)＝(2a－1)x是指数函数，
∴0<2a－1<1，∴<a<1.
4．(2021·福建高考)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．
[答案]　1
[解析]　由于f(x)＝2|x－a|，所以f(x)的图像关于直线x＝a对称．又由f(1＋x)＝f(1－x)，知f(x)的图像关于直线x＝1对称，故a＝1.且f(x)的增区间是[1，＋∞)，由函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，知[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，所以m≥1，故m的最小值为1.
三、解答题
5．已知函数y＝9x－2·3x＋2，x∈[1,2]，求函数的值域．
[解析]　y＝9x－2·3x＋2＝(3x)2－2·3x＋2，
设t＝3x，
∵x∈[1,2]，∴t∈[3,9]，
则函数化为y＝t2－2t＋2，t∈[3,9]．
∵f(t)＝(t－1)2＋1，f(t)在[3,9]上递增，
∴f(3)≤f(t)≤f(9)．
∴5≤f(t)≤65，即值域为[5,65]．
6．已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y＝()x－1－4·()x＋2的最大值和最小值．
[解析]　由已知得(3x)2－10·3x＋9≤0，
得(3x－9)(3x－1)≤0.
∴1≤3x≤9，故0≤x≤2.
而y＝()x－1－4·()x＋2＝4·()2x－4·()x＋2，
令t＝()x(≤t≤1)．
则y＝f(t)＝4t2－4t＋2
＝4(t－)2＋1.
当t＝即x＝1时，ymin＝1；
当t＝1即x＝0时，ymax＝2.
7．已知f(x)＝.
(1)推断函数f(x)的奇偶性；
(2)证明：f(x)是定义域内的增函数；
(3)求f(x)的值域．
[分析]　本题是一道综合题，需利用函数的有关性质，如单调性、奇偶性等学问解决．
[解析]　(1)∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)证法1：f(x)＝＝＝1－.
令x2>x1，则Δx＝x2－x1>0，
∴Δy＝f(x2)－f(x1)＝(1－)－(1－)＝2·.
∵g(x)＝10x为增函数，
∴当x2>x1时，102x2－102x1>0，
又∵102x1＋1>0,102x2＋1>0，
故当Δx>0时，Δy＝f(x2)－f(x1)>0，
即f(x2)>f(x1)，∴f(x)是增函数．
证法2：考虑复合函数的增减性．
由f(x)＝＝1－，
∵y＝10x为增函数，∴y＝102x＋1为增函数，
y＝为减函数，y＝－为增函数，
∴f(x)＝1－在定义域内是增函数．
(3)令y＝f(x)，由y＝，解得102x＝.
∵102x>0，∴－1<y<1，即f(x)的值域为(－1,1)．