资源描述
1．(2022·河南郑州质检)已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．
(1)把C1，C2的方程化为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|.
解：(1)C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，
C2：＋＝1.
曲线C1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．
曲线C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．
(2)曲线C2的左顶点为(－4,0)，则直线l的参数方程为(s为参数)，
将其代入曲线C1整理可得：s2－3s＋4＝0，设A，B对应参数分别为s1，s2，则s1＋s2＝3，s1s2＝4.
所以|AB|＝|s1－s2|＝＝.
2．(2022·石家庄质检二)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ.
(1)求曲线C的参数方程；
(2)当α＝时，求直线l与曲线C交点的极坐标．
解：(1)由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x，
标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.
曲线C的参数方程为(φ为参数)．
(2)当α＝时，直线l的方程为
化成一般方程为y＝x＋2，
由
解得或
所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为(k∈Z)，(2，π＋2kπ)(k∈Z)．
3．(2022·云南统检)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，当t＝1时，曲线C1上的点为A，当t＝－1时，曲线C1上的点为B.以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝.
(1)求A，B的极坐标；
(2)设M是曲线C2上的动点，求|MA|2＋|MB|2的最大值．
解：(1)当t＝1时，即A的直角坐标为A(－1，)；
当t＝－1时，即B的直角坐标为B(1，－)．
∴A的极坐标为A，B的坐标为B.
(2)由ρ＝，得
ρ2·(4＋5sin2θ)＝36，
∴曲线C2的直角坐标方程为＋＝1.
设曲线C2上的动点M的坐标为M(3cos α，2sin α)，则|MA|2＋|MB|2＝10cos2α＋16≤26，
∴|MA|2＋|MB|2的最大值为26.
4．(2022·福建质检)已知在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P(0,1)，倾斜角为.在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ2－4ρsin θ＝1.
(1)写出直线l的参数方程和圆C的标准方程；
(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长．
解：(1)依题意知，直线l的参数方程为(t为参数)，
由ρ2－4ρsin θ＝1，得x2＋y2－4y＝1，
所以圆C的标准方程为x2＋(y－2)2＝5.
(2)由(1)易知，l：x－y＋＝0，圆C：x2＋(y－2)2＝5，
所以圆心C(0,2)到直线l的距离d＝＝，
又圆C的半径r＝，
所以|AB|＝2＝.
5．(2022·贵阳检测)以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ＞0)，曲线C的参数方程为(α为参数)，点M是曲线C上的一动点．
(1)求线段OM的中点P的轨迹方程；
(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最小值．
解：(1)设中点P的坐标为(x，y)，依据中点公式有(α为参数)，
这是点P轨迹的参数方程．
消参得点P的一般方程为x2＋(y－1)2＝1.
(2)直线l的直角坐标方程为x－y－1＝0，曲线C的一般方程为x2＋(y－2)2＝4，表示(0,2)为圆心，以2为半径的圆，
故所求最小值为圆心(0,2)到直线l的距离减去半径，
设所求最小距离为d，则d＝－2＝－2.
因此曲线C上的点到直线l的距离的最小值为－2.
6．(2022·东北四市高三联考)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．曲线C的坐标方程为ρsin2θ＝4cos θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设过点P(2,0)，倾斜角为的直线l与曲线C交于A，B两点，求＋的值．
解：(1)由ρsin2 θ＝4cos θ，得
(ρsin θ)2＝4ρcos θ，
所以曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.
(2)将直线l的参数方程代入y2＝4x，
得t2－8t－32＝0.
设t1＋t2＝8，t1t2＝－32.
∴|PA|＋|PB|＝|t1－t2|＝＝8，
∴＋＝＝.
7．(2022·内蒙古包头水平测试)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．M是C1上的动点，N点满足＝2，N点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C3的极坐标方程是ρ＝2，正三角形ABC的顶点都在C3上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为，设P是C2上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的取值范围．
解：(1)设N(x，y)，则由已知条件知M，由于M点在C1上，
所以即
从而C2的参数方程为(α为参数)．
(2)由已知可得A，
B，
C，
即A(，1)，B(－，1)，C(0，－2)．
设P(4cos α，6sin α)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2，
则S＝60＋60sin2α.
由于0≤sin2α≤1，
所以S的取值范围是[60,120]．
8．(2022·太原模拟)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)，且曲线C1上的点M(2，)对应的参数φ＝.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D.
(1)求曲线C1的一般方程，C2的极坐标方程；
(2)若A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋)是曲线C1上的两点，求＋的值．
解：(1)将M(2，)及对应的参数φ＝代入得解得
∴曲线C1的一般方程为＋＝1，
设圆C2的半径为R，则圆C2的方程为ρ＝2Rcos θ，
将点D代入得＝2R·，解得R＝1，
∴圆C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(2)曲线C1的极坐标方程为＋＝1，将A(ρ1，θ)，B代入得
＋＝1，＋＝1，
∴＋＝＋＝.
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