资源描述
C单元三角函数
名目
C1 角的概念及任意角的三角函数 2
C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 2
C3 三角函数的图象与性质 6
C4 函数的图象与性质 11
C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 14
C6 二倍角公式 17
C7 三角函数的求值、化简与证明 18
C8 解三角形 21
C9 单元综合 33
C1 角的概念及任意角的三角函数
【数学(文)卷·2021届安徽省安庆一中等江淮名校高三其次次联考(202211)word版】5.已知角的顶点与原点重合,始边与横轴的正半轴重合,终边在直线上,则cos2=
A.一 B.- C. D.
【学问点】三角函数的定义C1 C6
【答案】【解析】A解析:由题意可找角终边上一点,则
【思路点拨】依据三角函数的定义及二倍角公式可求出正确结果.
C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
【数学理卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(202211)word版】2.已知,则( )
A. B. C. D.
【学问点】同角三角函数关系;二倍角公式. C2 C6
【答案】【解析】C解析
,故选C.
【思路点拨】已知等式两边平方后,利用平方关系和二倍角公式求得结果.
【数学理卷·2021届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考(202212)word版】6.△ABC中,锐角A满足sin4A-cos4A≤sin A-cos A,则
A.0A≤ B.0A≤
C.≤A≤ D.≤A≤
【学问点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2
【答案】B
【解析】由sin4A-cos4A≤sin A-cos A,得sin A-cos A,则1,
所以0A≤。
【思路点拨】化简然后依据挂念角公式确定范围。
【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考(202211)】3.已知,则【】
A. B. C.D.
【学问点】诱导公式的作用.C2
【答案】【解析】B解析:∵,∴,即;
又x∈(π,2π),∴;
故选B.
【思路点拨】由sin2α+cos2α=1及诱导公式可解之.
【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考(202211)】3.已知,则【】
A. B. C.D.
【学问点】诱导公式的作用.C2
【答案】【解析】B解析:∵,∴,即;
又x∈(π,2π),∴;
故选B.
【思路点拨】由sin2α+cos2α=1及诱导公式可解之.
【数学理卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考(202212)】13.已知,,则_____▲____.
【学问点】诱导公式倍角公式C2 C6
【答案】【解析】解析:由于,所以,则.
【思路点拨】遇到给值求值问题,通常从角入手,观看所求角与已知角之间是否具有和差倍角关系,再利用相应的公式计算.
【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(202211)word版】18.(原创)(本题满分13分)已知中,角的对边分别为,且有.⑴求角的大小;
⑵设向量,且,求的值.
【学问点】正弦定理;两角和与差的三角函数;三角形的内角和;诱导公式;向量垂直的性质,三角函数的求值. C8 C5 C2 C7 F2
【答案】【解析】(1);(2)7.解析:⑴由条件可得:
整理得:
所以,又,故
⑵由可得:
整理得:
从而(舍去)
又,为锐角
故,
于是
【思路点拨】(1)利用正弦定理,两角和与差的三角函数,三角形的内角和,诱导公式,将已知等式化为,从而得;(2)由可得
,可得的值.
【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(202211)word版】4.函数的最小正周期是( )
A. B. C. 2π D. 4π
【学问点】诱导公式;二倍角公式;弦函数的周期公式. C2 C6 C4
【答案】【解析】B解析:=,所以其周期
,故选B.
【思路点拨】利用诱导公式,二倍角公式,把已知函数化为,从而得正确.
【数学文卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试(202211)】7.若,则()
A. B. C. D.
【学问点】诱导公式,二倍角公式C2 C6
【答案】【解析】A解析:由于
,所以选A..
【思路点拨】由二倍角公式得,
再由诱导公式得,代入即可求解.
C3 三角函数的图象与性质
【数学理卷·2021届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考(202212)word版】16.(本小题满分12分)
已知函数f (x)=。
(1)求的值;
(2)当时,求g(x)=f(x)+sin 2x的最大值.
【学问点】三角函数的图象与性质C3
【答案】(1)(2)
【解析】∵f(x)===2os2x
(1)f(-)=2os(-)=
(2)g(x)=f(x)+sin2x=sin(2x+)∵x∈[0,],∴(2x+)∈[,],
∴当x=最大为。
【思路点拨】利用二倍角公式及平方差公式对已知函数进行化简可得f(x)=cos2x
(1)直接把x=-代入可求函数值
(2)利用挂念角公式对g(x)化简,由x的范围求出整体角的范围,结合正弦函数的性质可求函数的最大值与最小值
【数学理卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考(202212)】16.设向量,,其中为实数.若,则的取值范围为_____▲____.
【学问点】三角函数的性质向量相等函数的单调性F1 C3 B3
【答案】【解析】[-6,1]解析:由得,得,解得,则,所以函数在区间上单调递增,当时得最小值为-6,当x=2时得最大值为1,所以所求的范围是[-6,1].
【思路点拨】利用向量相等等到变量之间的关系,再利用三角函数的性质求出λ的范围,再利用导数推断单调性,利用单调性求函数的值域.
【数学理卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考(202212)】5.函数的最小正周期为,为了得到的图象,只需将函数的图象()
(A)向左平移个单位长度 (B)向右平移个单位长度
(C)向左平移个单位长度 (D)向右平移个单位长度
【学问点】三角函数的图像C3
【答案】【解析】C解析:由于函数的最小正周期为,所以,则,,则用换x即可得到f(x)的图像,所以向左平移个单位长度,则选C.
【思路点拨】推断两个函数图象的平移状况,关键是抓住解析式中的x的变化规律.
【数学理卷·2021届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中)高三上学期其次次联考(202212)word版】15. 已知,函数在上单调递减,则________.
【学问点】正弦函数的图象.C3
【答案】【解析】2或3.解析:数f(x)=sin(ωx+)的单调递减区间为:
(k∈Z),
解得:,
所以:,
解得:6k+≥,
当k=0时,ω=2或3,
故答案为:2或3.
【思路点拨】首先利用整体思想求出ω的范围,进一步求出整数值.
【数学理卷·2021届云南省部分名校高三12月统一考试(202212)】15.将函数的图象向左平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数,则的最小值为______.
【学问点】三角函数的图象与性质C3
【答案】
【解析】=2cos(2x+)图象向左平移个单位得到
f(x)=2cos(2x+2t+)为奇函数,所以2t最小值,t=。
【思路点拨】先化简式子,再依据诱导公式求出结果。
【数学文卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考(202212)】21.(本题满分14分)设向量,其中为实数.
(Ⅰ)若,且求的取值范围;
(Ⅱ)若求的取值范围.
【学问点】向量的数量积,三角函数的性质C3 F3
【答案】【解析】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)时,,由于,所以,整理得对一切均有解,当时,得,符合题意,当时,,解得,所以的取值范围为;
(Ⅱ)由题意只需,由消元得,解不等式组,解得,所以.
【思路点拨】先把向量关系转化为坐标关系,再转化为方程有实根或函数的值域问题进行解答.
【数学文卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考(202212)】6. 已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象()
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【学问点】三角函数的图象C3
【答案】【解析】D解析:由函数的最小正周期为得,则,明显用换x即可得到函数g(x)=sin2x的解析式,所以图象向右平移个单位长度,则选D.
【思路点拨】推断函数的图象的平移变换关键是推断函数解析式中的x的变化.
【数学文卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试(202211)】17.(本小题满分10分)已知向量,=,函数.
(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间;
(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.
【学问点】三角函数的图像与性质C3
【答案】【解析】(1);(2).
解析:(1)……………………………4分
单调递增区间是…………………………..6分
(2)
………………………………………………………….8分
函数f(x)的值域是………………………………………………..12分
【思路点拨】(1)依据已知向量求得,最终依据正弦函数的特征,求出其单调递增区间即可;(2)依据已知得到,然后求出函数的值域即可.
【数学文卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试(202211)】10.已知,函数在上单调递减.则的取值范围是()
A.B.C.D
【学问点】三角函数的图像与性质C3
【答案】【解析】A解析:接受排解法若不合题意排解,若合题意排解
另:,得:,
【思路点拨】可接受排解法进行排解,另用三角函数的图像,结合整体思想求得.
C4 函数的图象与性质
【数学理卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(202211)word版】18. (本题满分13分)
如图为的图像的一段.()
(1)求其解析式;
(2)若将的图像向左平移个单位长度后得,求的对称轴方程.
【学问点】的图像与性质. C4
【答案】【解析】(1)y=sin;(2)x=π+ (k∈Z).
解析:(1) 由已知图像得A=,,
由,且得 ,
所以,所求解析式为y=sin.
(2)f(x)=sin=sin,
令2x-=+kπ(k∈Z),则x=π+ (k∈Z),
∴f(x)的对称轴方程为x=π+ (k∈Z).
【思路点拨】(1)由已知图像得A=, ,由,
又得,所以y=sin;(2)由(1)得f(x)=sin,
再依据正弦函数的周期求函数f(x)的周期.
【数学理卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试(202211)】6.已知函数(其中),其部分图像如图所示,将的图像纵坐标不变,横坐标变成原来的2倍,再向右平移1个单位得到的图像,则函数的解析式为()
A. B.
C. D.
【学问点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.C4
【答案】【解析】B解析:由函数的图象可得,.
再由五点法作图可得,,函数将的图象纵坐标不变,横坐标变成原来的2倍,可得函数的图象;
再向右平移1个单位得到的图象,
故函数g(x)的解析式为故选:C.
【思路点拨】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得函数的解析式,再依据函数的图象变换规律,得出结论.
【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(202211)word版】4.函数的最小正周期是( )
A. B. C. 2π D. 4π
【学问点】诱导公式;二倍角公式;弦函数的周期公式. C2 C6 C4
【答案】【解析】B解析:=,所以其周期
,故选B.
【思路点拨】利用诱导公式,二倍角公式,把已知函数化为,从而得正确.
【数学文卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考(202211)】5、已知函数y=f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变,将横坐标伸长到原来的2倍,然后将整个图象沿x轴向左平移个单位,得到的图象与y=sin x的图象相同,则y=f(x)的函数表达式为( )
A.B.
C.D.
【学问点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.C4
【答案】【解析】D解析:由题意知,y=sinx的图象向右平移个单位,然后纵坐标保持不变,将横坐标缩短到原来,即可得到y=f(x)图象,由图象的变换方法可知,y=sinx的图象向右平移个单位得到函数y=sin(x﹣)的图象,再将其图象纵坐标保持不变,将横坐标缩短到原来,可得到y=sin(2x﹣)的图象,∴y=f(x)的表达式为:,故选D.
【思路点拨】由题意知,y=sinx的图象向右平移个单位,然后纵坐标保持不变,将横坐标缩短到原来,即可得到y=f(x)图象,由图象的变换可得.
C5 两角和与差的正弦、余弦、正切
【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(202211)word版】18.(原创)(本题满分13分)已知中,角的对边分别为,且有.⑴求角的大小;
⑵设向量,且,求的值.
【学问点】正弦定理;两角和与差的三角函数;三角形的内角和;诱导公式;向量垂直的性质,三角函数的求值. C8 C5 C2 C7 F2
【答案】【解析】(1);(2)7.解析:⑴由条件可得:
整理得:
所以,又,故
⑵由可得:
整理得:
从而(舍去)
又,为锐角
故,
于是
【思路点拨】(1)利用正弦定理,两角和与差的三角函数,三角形的内角和,诱导公式,将已知等式化为,从而得;(2)由可得
,可得的值.
【数学文卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考(202211)】16、(本小题满分12分)
已知向量,=,函数,
(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间;
(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.
【学问点】三角函数中的恒等变换应用;平面对量数量积的运算.C5 F3
【答案】【解析】(1) (2)
解析:(1)……………………………4分
单调递增区间是…………………………..6分
(2)
………………………………………………………….8分
函数f(x)的值域是………………………………………………..12分
【思路点拨】(1)首先依据=(1,sinx),=(cos(2x+),sinx),求出;然后依据函数f(x)=•﹣cos2x,求出函数f(x)的解析式;最终依据正弦函数的特征,求出其单调递增区间即可;(2)当x∈[0,]时,可得2x,然后求出函数f(x)的值域即可.
【数学文卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试(202211)】18.(本小题满分12分)已知函数.
(1)求函数的单调递减区间;
(2)设的最小值是,求的最大值.
A
B
C
D
E
P
【学问点】函数单调性,三角函数化一公式B3 C5
【答案】【解析】(1)(2)解析:(1)
,
令,得,
的单调递减区间……6分
(2),
;,令
所以……12分
【思路点拨】由原式化简得
,变成一个含有一个角的三角函数的形式再进行求解即可.
【数学文卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考(202212)】12. 已知,,则▲.
【学问点】两角和与差的三角函数C5
【答案】【解析】解析:由于,,所以,
则.
【思路点拨】对于给值求值问题,通常从角入手,用已知角表示所求角,再利用相应的公式进行计算.
C6 二倍角公式
【数学理卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(202211)word版】2.已知,则( )
A. B. C. D.
【学问点】同角三角函数关系;二倍角公式. C2 C6
【答案】【解析】C解析
,故选C.
【思路点拨】已知等式两边平方后,利用平方关系和二倍角公式求得结果.
【数学理卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考(202212)】13.已知,,则_____▲____.
【学问点】诱导公式倍角公式C2 C6
【答案】【解析】解析:由于,所以,则.
【思路点拨】遇到给值求值问题,通常从角入手,观看所求角与已知角之间是否具有和差倍角关系,再利用相应的公式计算.
【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(202211)word版】4.函数的最小正周期是( )
A. B. C. 2π D. 4π
【学问点】诱导公式;二倍角公式;弦函数的周期公式. C2 C6 C4
【答案】【解析】B解析:=,所以其周期
,故选B.
【思路点拨】利用诱导公式,二倍角公式,把已知函数化为,从而得正确.
C7 三角函数的求值、化简与证明
【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(202211)word版】18.(原创)(本题满分13分)已知中,角的对边分别为,且有.⑴求角的大小;
⑵设向量,且,求的值.
【学问点】正弦定理;两角和与差的三角函数;三角形的内角和;诱导公式;向量垂直的性质,三角函数的求值. C8 C5 C2 C7 F2
【答案】【解析】(1);(2)7.解析:⑴由条件可得:
整理得:
所以,又,故
⑵由可得:
整理得:
从而(舍去)
又,为锐角
故,
于是
【思路点拨】(1)利用正弦定理,两角和与差的三角函数,三角形的内角和,诱导公式,将已知等式化为,从而得;(2)由可得
,可得的值.
【数学文卷·2021届湖北省八校高三第一次联考(202212)word版】18.(本小题满分12分)已知函数R).
(I)求的单调递增区间;
(II)在△ABC中,三内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知,b, a, c成等差数列,且,求a的值.
【学问点】数列与三角函数的综合;三角函数中的恒等变换应用.C7
【答案】【解析】(Ⅰ) Z);(Ⅱ)
解析:(Ⅰ)………2分
=…………………………3分
由Z)得,Z) ……5分
故的单调递增区间是Z)………………………6分
(Ⅱ),,
于是,故…………………………8分
由成等差数列得:,
由得,………………………………10分
由余弦定理得,,
于是,, …………………………………13分
【思路点拨】(Ⅰ)已知函数R)对其进行化简,依据整体代入法求三角函数的单调区间;(Ⅱ)由于三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,b,a,c成等差数列,依据,求出∠A的值,再由已知条件,求出a的值.
【数学文卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试(202211)】16.函数的图象与过原点的直线有且只有三个交点,设交点中横坐标的最大值为,则= ___ .
【学问点】导数的应用三角恒等变换B12 C7
【答案】【解析】2解析:函数与直线有且只有三个交点,
令切点为,
在上,,
所以,即
故,故答案为2.
【思路点拨】先依据题意画图,然后令切点为,在上,依据切线的斜率等于切点处的导数建立等式关系,即可求出,代入所求化简即可求出所求.
C8 解三角形
【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考(202211)】17.(本题满分12分)
设的内角所对的边分别为且.
(1)求角的大小;
(2)若,求的周长的取值范围.
【学问点】正弦定理的应用.C8
【答案】【解析】(1)(2)
解析:(1)由得
又
又……….6分
(2)由正弦定理得:,
,
故的周长的取值范围为……….12分
【思路点拨】(1)依据正弦定理化简题中等式,得.由三角形的内角和定理与诱导公式,可得sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,代入前面的等式解出cosA=﹣,结合A∈(0,π)可得角A的大小;(2)依据A=且a=1利用正弦定理,算出b=sinB且c=sinC,结合C=﹣B代入△ABC的周长表达式,利用三角恒等变换化简得到△ABC的周长关于角B的三角函数表达式,再依据正弦函数的图象与性质加以计算,可得△ABC的周长的取值范围.
【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考(202211)】10.在△ABC中,已知,P为线段AB上的点,且的最大值为【】
A.3 B.4 C.5 D.6
【学问点】向量在几何中的应用;平面对量的综合题;正弦定理的应用.C8 F3
【答案】【解析】A解析:△ABC中设AB=c,BC=a,AC=b
∵sinB=cosA•sinC,sin(A+C)=sinCcosnA,即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0,∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵•=9,S△ABC=6,∴bccosA=9,bcsinA=6
∴tanA=,依据直角三角形可得sinA=,cosA=,bc=15,∴c=5,b=3,a=4
以AC所在的直线为x轴,以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C(0,0)
A(3,0)B(0,4)
P为线段AB上的一点,则存在实数λ使得=(3λ,4﹣4λ)(0≤λ≤1)
设,则||=||=1,=(1,0),=(0,1),
∴=x+y=(x,0)+(0,y)=(x,y)可得x=3λ,y=4﹣4λ则4x+3y=12,
12=4x+3y≥,xy≤3,故所求的xy最大值为:3.故选C.
【思路点拨】△ABC中设AB=c,BC=a,AC=b,由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 cosC的值,再由•=9,S△ABC=6可得bccosA=9,bcsinA=6可求得c,b,a,建立以AC所在的直线为x轴,以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系,由P为线段AB上的一点,则存在实数λ使得=(3λ,4﹣4λ)(0≤λ≤1),设,则||=||=1,=(1,0),=(0,1),由=x+y推出x与y的关系式,利用基本不等式求解最大值.
【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考(202211)】7. 在200m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为【】
A.m B.m C.m D.m
【学问点】解三角形的实际应用.C8
【答案】【解析】A解析:如图所示:设山高为AB,塔高为CD为 x,且ABEC为矩形,由题意得
tan30°===,∴BE=(200﹣x).
tan60°==,∴BE=,
∴=(200﹣x),x=(m),
故选A.
【思路点拨】由tan30°==得到BE与塔高x间的关系,由tan60°=求出BE值,从而得到塔高x的值.
【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考(202211)】17.(本题满分12分)
设的内角所对的边分别为且.
(1)求角的大小;
(2)若,求的周长的取值范围.
【学问点】正弦定理的应用.C8
【答案】【解析】(1)(2)
解析:(1)由得
又
又……….6分
(2)由正弦定理得:,
,
故的周长的取值范围为……….12分
【思路点拨】(1)依据正弦定理化简题中等式,得.由三角形的内角和定理与诱导公式,可得sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,代入前面的等式解出cosA=﹣,结合A∈(0,π)可得角A的大小;(2)依据A=且a=1利用正弦定理,算出b=sinB且c=sinC,结合C=﹣B代入△ABC的周长表达式,利用三角恒等变换化简得到△ABC的周长关于角B的三角函数表达式,再依据正弦函数的图象与性质加以计算,可得△ABC的周长的取值范围.
【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考(202211)】10.在△ABC中,已知,P为线段AB上的点,且的最大值为【】
A.3 B.4 C.5 D.6
【学问点】向量在几何中的应用;平面对量的综合题;正弦定理的应用.C8 F3
【答案】【解析】A解析:△ABC中设AB=c,BC=a,AC=b
∵sinB=cosA•sinC,sin(A+C)=sinCcosnA,即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0,∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵•=9,S△ABC=6,∴bccosA=9,bcsinA=6
∴tanA=,依据直角三角形可得sinA=,cosA=,bc=15,∴c=5,b=3,a=4
以AC所在的直线为x轴,以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C(0,0)
A(3,0)B(0,4)
P为线段AB上的一点,则存在实数λ使得=(3λ,4﹣4λ)(0≤λ≤1)
设,则||=||=1,=(1,0),=(0,1),
∴=x+y=(x,0)+(0,y)=(x,y)可得x=3λ,y=4﹣4λ则4x+3y=12,
12=4x+3y≥,xy≤3,故所求的xy最大值为:3.故选C.
【思路点拨】△ABC中设AB=c,BC=a,AC=b,由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 cosC的值,再由•=9,S△ABC=6可得bccosA=9,bcsinA=6可求得c,b,a,建立以AC所在的直线为x轴,以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系,由P为线段AB上的一点,则存在实数λ使得=(3λ,4﹣4λ)(0≤λ≤1),设,则||=||=1,=(1,0),=(0,1),由=x+y推出x与y的关系式,利用基本不等式求解最大值.
【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考(202211)】7. 在200m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为【】
A.m B.m C.m D.m
【学问点】解三角形的实际应用.C8
【答案】【解析】A解析:如图所示:设山高为AB,塔高为CD为 x,且ABEC为矩形,由题意得
tan30°===,∴BE=(200﹣x).
tan60°==,∴BE=,
∴=(200﹣x),x=(m),
故选A.
【思路点拨】由tan30°==得到BE与塔高x间的关系,由tan60°=求出BE值,从而得到塔高x的值.
【数学理卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试(202211)】17.(本小题满分12分)
设角是的三个内角,已知向量,
,且.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若向量,试求的取值范围
【学问点】正弦定理余弦定理C8
【答案】【解析】(Ⅰ)(Ⅱ)
解析:(Ⅰ)由题意得,
即,由正弦定理得,
再由余弦定理得,.……………6分
(Ⅱ),
,
所以,故.……………………12分
【思路点拨】:(Ⅰ)由题意得,
即再结合正弦定理余弦定理即可求出角.
(Ⅱ),
,
可求,所以.
【数学理卷·2021届湖北省八校高三第一次联考(202212)】17.(本小题满分12分)已知△ABC的三内角A, B, C所对边的长依次为a,b,c,若,.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,求△ABC的面积.
【学问点】正弦定理;平面对量数量积的运算.C8 F3
【答案】【解析】(Ⅰ);(Ⅱ)
解析:( I )依题设:sinA===,sinC===,
故cosB=cos[π-(A+C)]=-cos (A+C)=-(cosAcosC-sinAsinC)=-(-)=.
则:sinB===
所以4:5:6…………………………………………6分
( II ) 由( I )知:4:5:6,
不妨设:a=4k,b=5k,c=6k,k>0.故知:||=b=5k,||=a=4k.
依题设知:||2+||2+2||||cosC=46 46k2=46,又k>0k=1.
故△ABC的三条边长依次为:a=4,b=5,c=6.
△ABC的面积是…………………………………………12分
【思路点拨】(Ⅰ)A,C为三角形内角,先求出sinA,sinC,由cosB=cos[π-(A+C)]开放即可求出cosB的值,从而可求出sinB,由正弦定理即可求出a:b:c的值;(Ⅱ)由正弦定理和已知可求出a,b,c的值,即可求出△ABC的面积.
【数学理卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考(202212)】18.(本题满分14分)在中,角的对边分别为,已知,的面积为.
(Ⅰ)当成等差数列时,求;
(Ⅱ)求边上的中线的最小值.
【学问点】解三角形C8
【答案】【解析】(Ⅰ);(Ⅱ)
解析:(Ⅰ)由已知得a+c+2b,ac=6,而,得;
(Ⅱ)由于
=,当时等号成立.
【思路点拨】计算中线的长度时,可利用向量奇异的转化为三角形边之间的关系进行解答.
【数学理卷·2021届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中)高三上学期其次次联考(202212)word版】17.(本小题满分12分)已知分别是的三个内角的对边,. (1)求角的大小;
(2)若的面积,求周长的最小值.
【学问点】正弦定理;余弦定理;基本不等式求最值. C8 E6
【答案】【解析】(1);(2)解析:(1)中,∵,由正弦定理,得:,………………………….2分
即,故………………………………4分
…………………………………………….6分
(2),且,…………………8分
由余弦定理,得
,又,………………………………………10分
当且仅当时,的最小值为,的最小值为,
所以周长的最小值为.………………………………….12分
【思路点拨】(1)将正弦定理代入已知等式,用两角和与差的三角函数及诱导公式得结果;
(2)由(1)的结论和的面积得,,在由余弦定理得:
,又,这两个不等式中等号成立的条件都是b=c=2,所以得周长的最小值为.
【数学理卷·2021届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中)高三上学期其次次联考(202212)word版】二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知为单位向量,当向量的夹角为时,在上的投影为.
【学问点】平面对量数量积的运算;平面对量数量积的含义与物理意义.F3 C8
【答案】【解析】解析:依据题意画出图形如下图:
设,依据余弦定理得:,所以,则在上的投影为,故答案为。
【思路点拨】利用数量积运算、投影的意义即可得出.
【数学理卷·2021届云南省部分名校高三12月统一考试(202212)】6.在中,若,则是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定
【学问点】解三角形C8
【答案】A
【解析】由于A和B都为三角形中的内角,由tanAtanB>1,得到1-tanAtanB<0,
且得到tanA>0,tanB>0,即A,B为锐角,所以tan(A+B)=<0,
则A+B∈(,π),即C都为锐角,所以△ABC是锐角三角形.
【思路点拨】利用两角和的正切函数公式表示出tan(A+B),依据A与B的范围以及tanAtanB>1,得到tanA和tanB都大于0,即可得到A与B都为锐角,然后推断出tan(A+B)小于0,得到A+B为钝角即C为锐角,所以得到此三角形为锐角三角形.
【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(202211)word版】18.(原创)(本题满分13分)已知中,角的对边分别为,且有.⑴求角的大小;
⑵设向量,且,求的值.
【学问点】正弦定理;两角和与差的三角函数;三角形的内角和;诱导公式;向量垂直的性质,三角函数的求值. C8 C5 C2 C7 F2
【答案】【解析】(1);(2)7.解析:⑴由条件可得:
整理得:
所以,又,故
⑵由可得:
整理得:
从而(舍去)
又,为锐角
故,
于是
【思路点拨】(1)利用正弦定理,两角和与差的三角函数,三角形的内角和,诱导公式,将已知等式化为,从而得;(2)由可得
,可得的值.
【数学文卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考(202211)】7、已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=()
A.10B.9C.8 D.5
【学问点】余弦定理.C8
【答案】【解析】D解析:∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=,A为锐角,∴cosA=,又a=7,c=6,
依据余弦定理得:a2=b2+c2-2bc•cosA,即49=b2+36-b,
解得:b=5或b=-(舍去),则b=5.故选D
【思路点拨】利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式,求出cosA的值,再由a与c的值,利用余弦定理即可求出b的值.
【数学文卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考(202212)】18.(本题满分14分)锐角的内角的对边分别为,已知
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求的面积.
【学问点】解三角形C8
【答案】【解析】(Ⅰ)(Ⅱ)解析:(Ⅰ)由条件得cos(B-A)=1-cosC=1+cos(B+A),所以cosBcosA+sinBsinA=1+cosBcosA-sinBsinA,即sinAsinB=;
(Ⅱ),又,解得:,
由于是锐角三角形,,
.
【思路点拨】在解三角形时,得到角的关系后留意利用三角形内角和向所要解决的问题进行转化,求三角形面积的关键是利用正弦定理求出角C的正弦值.
【数学文卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试(202211)】13.在中,分别是内角的对边,若,的面积为,则的值为 .
【学问点】余弦定理C8
【答案】【解析】解析:由于,所以可得,由余弦定理可得,代入可得,故答案为.
【思路点拨】由结合已知可求c,然后利用余弦定理可得a的值.
C9 单元综合
【数学理卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(202211)word版】20.(本小题满分12分)
已知函数,在区间内最大值为,
(1)求实数的值;
(2)在中,三内角A、B、C所对边分别为,且,求的取值范围.
【学问点】三角函数单元综合. C9
【答案】【解析】(1)-1;(2),(当为正三角形时,)
解析:(1)
,当时,最大值为,所
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