资源描述
C单元三角函数
名目
C1 角的概念及任意角的三角函数 2
C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 2
C3 三角函数的图象与性质 6
C4 函数的图象与性质 11
C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 14
C6 二倍角公式 17
C7 三角函数的求值、化简与证明 18
C8 解三角形 21
C9 单元综合 33
C1 角的概念及任意角的三角函数
【数学（文）卷·2021届安徽省安庆一中等江淮名校高三其次次联考（202211）word版】5．已知角的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线上，则cos2=
A．一 B．－ C． D．
【学问点】三角函数的定义C1 C6
【答案】【解析】A解析：由题意可找角终边上一点，则
【思路点拨】依据三角函数的定义及二倍角公式可求出正确结果.
C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
【数学理卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【学问点】同角三角函数关系；二倍角公式. C2 C6
【答案】【解析】C解析
，故选C.
【思路点拨】已知等式两边平方后，利用平方关系和二倍角公式求得结果.
【数学理卷·2021届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考（202212）word版】6．△ABC中，锐角A满足sin4A－cos4A≤sin A－cos A，则
A．0A≤ B．0A≤
C．≤A≤ D．≤A≤
【学问点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2
【答案】B
【解析】由sin4A－cos4A≤sin A－cos A，得sin A－cos A,则1，
所以0A≤。
【思路点拨】化简然后依据挂念角公式确定范围。
【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】3．已知,则【】
A． B． C．D．
【学问点】诱导公式的作用．C2
【答案】【解析】B解析：∵，∴，即；
又x∈（π，2π），∴；
故选B．
【思路点拨】由sin2α+cos2α=1及诱导公式可解之．
【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】3．已知,则【】
A． B． C．D．
【学问点】诱导公式的作用．C2
【答案】【解析】B解析：∵，∴，即；
又x∈（π，2π），∴；
故选B．
【思路点拨】由sin2α+cos2α=1及诱导公式可解之．
【数学理卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考（202212）】13．已知，，则_____▲____．
【学问点】诱导公式倍角公式C2 C6
【答案】【解析】解析：由于，所以，则.
【思路点拨】遇到给值求值问题，通常从角入手，观看所求角与已知角之间是否具有和差倍角关系，再利用相应的公式计算.
【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】18.（原创）（本题满分13分）已知中，角的对边分别为，且有.⑴求角的大小；
⑵设向量,且，求的值.
【学问点】正弦定理；两角和与差的三角函数；三角形的内角和；诱导公式；向量垂直的性质，三角函数的求值. C8 C5 C2 C7 F2
【答案】【解析】(1)；(2)7.解析：⑴由条件可得：
整理得：
所以，又，故
⑵由可得：
整理得：
从而（舍去）
又，为锐角
故，
于是
【思路点拨】(1)利用正弦定理，两角和与差的三角函数，三角形的内角和，诱导公式，将已知等式化为，从而得；（2）由可得
,可得的值.
【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】4.函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. 2π D. 4π
【学问点】诱导公式；二倍角公式；弦函数的周期公式. C2 C6 C4
【答案】【解析】B解析：=，所以其周期
，故选B.
【思路点拨】利用诱导公式，二倍角公式，把已知函数化为，从而得正确.
【数学文卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试（202211）】7．若，则（）
A． B． C． D．
【学问点】诱导公式，二倍角公式C2 C6
【答案】【解析】A解析：由于
，所以选A..
【思路点拨】由二倍角公式得，
再由诱导公式得,代入即可求解.
C3 三角函数的图象与性质
【数学理卷·2021届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考（202212）word版】16．（本小题满分12分）
已知函数f (x)=。
(1)求的值；
(2)当时，求g(x)=f(x)+sin 2x的最大值．
【学问点】三角函数的图象与性质C3
【答案】（1）（2）
【解析】∵f(x)===2os2x
（1）f(-)=2os(-)=
（2）g(x)=f(x)+sin2x=sin(2x+)∵x∈[0，]，∴(2x+)∈[，]，
∴当x=最大为。
【思路点拨】利用二倍角公式及平方差公式对已知函数进行化简可得f（x）=cos2x
（1）直接把x=-代入可求函数值
（2）利用挂念角公式对g（x）化简，由x的范围求出整体角的范围，结合正弦函数的性质可求函数的最大值与最小值
【数学理卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考（202212）】16．设向量，，其中为实数．若，则的取值范围为_____▲____．
【学问点】三角函数的性质向量相等函数的单调性F1 C3 B3
【答案】【解析】[－6,1]解析：由得，得,解得，则，所以函数在区间上单调递增，当时得最小值为－6,当x=2时得最大值为1,所以所求的范围是[－6,1].
【思路点拨】利用向量相等等到变量之间的关系，再利用三角函数的性质求出λ的范围，再利用导数推断单调性，利用单调性求函数的值域.
【数学理卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考（202212）】5．函数的最小正周期为，为了得到的图象，只需将函数的图象（）
（A）向左平移个单位长度 （B）向右平移个单位长度
（C）向左平移个单位长度 （D）向右平移个单位长度
【学问点】三角函数的图像C3
【答案】【解析】C解析：由于函数的最小正周期为，所以，则，，则用换x即可得到f(x)的图像，所以向左平移个单位长度，则选C.
【思路点拨】推断两个函数图象的平移状况，关键是抓住解析式中的x的变化规律.
【数学理卷·2021届江西省五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）高三上学期其次次联考（202212）word版】15. 已知,函数在上单调递减，则________．
【学问点】正弦函数的图象．C3
【答案】【解析】2或3．解析：数f（x）=sin（ωx+）的单调递减区间为：
（k∈Z），
解得：，
所以：，
解得：6k+≥，
当k=0时，ω=2或3，
故答案为：2或3．
【思路点拨】首先利用整体思想求出ω的范围，进一步求出整数值．
【数学理卷·2021届云南省部分名校高三12月统一考试（202212）】15．将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为______．
【学问点】三角函数的图象与性质C3
【答案】
【解析】=2cos(2x+)图象向左平移个单位得到
f(x)=2cos(2x+2t+)为奇函数，所以2t最小值,t=。
【思路点拨】先化简式子，再依据诱导公式求出结果。
【数学文卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考（202212）】21.（本题满分14分）设向量，其中为实数．
（Ⅰ）若，且求的取值范围；
（Ⅱ）若求的取值范围．
【学问点】向量的数量积，三角函数的性质C3 F3
【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）时，，由于，所以,整理得对一切均有解，当时，得，符合题意，当时，，解得，所以的取值范围为；
（Ⅱ）由题意只需，由消元得，解不等式组，解得，所以.
【思路点拨】先把向量关系转化为坐标关系，再转化为方程有实根或函数的值域问题进行解答.
【数学文卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考（202212）】6. 已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【学问点】三角函数的图象C3
【答案】【解析】D解析：由函数的最小正周期为得，则，明显用换x即可得到函数g(x)=sin2x的解析式，所以图象向右平移个单位长度，则选D.
【思路点拨】推断函数的图象的平移变换关键是推断函数解析式中的x的变化.
【数学文卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试（202211）】17.(本小题满分10分)已知向量，＝，函数.
(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．
【学问点】三角函数的图像与性质C3
【答案】【解析】(1);(2).
解析：（１）……………………………4分
单调递增区间是…………………………..6分
（２）
………………………………………………………….8分
函数f(x)的值域是………………………………………………..12分
【思路点拨】(1)依据已知向量求得，最终依据正弦函数的特征，求出其单调递增区间即可；(2)依据已知得到，然后求出函数的值域即可．
【数学文卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试（202211）】10.已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（）
A.B.C.D
【学问点】三角函数的图像与性质C3
【答案】【解析】A解析：接受排解法若不合题意排解，若合题意排解
另：，得：，
【思路点拨】可接受排解法进行排解，另用三角函数的图像，结合整体思想求得.
C4 函数的图象与性质
【数学理卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】18. （本题满分13分）
如图为的图像的一段．（）
(1)求其解析式；
(2)若将的图像向左平移个单位长度后得，求的对称轴方程．
【学问点】的图像与性质. C4
【答案】【解析】（1）y＝sin；（2）x＝π＋ (k∈Z).
解析：(1) 由已知图像得A=,,
由,且得 ，
所以，所求解析式为y＝sin.
(2)f(x)＝sin＝sin，
令2x－＝＋kπ(k∈Z)，则x＝π＋ (k∈Z)，
∴f(x)的对称轴方程为x＝π＋ (k∈Z)．
【思路点拨】（1）由已知图像得A=, ，由,
又得，所以y＝sin；（2）由（1）得f(x)=sin，
再依据正弦函数的周期求函数f(x)的周期.
【数学理卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试（202211）】6．已知函数（其中），其部分图像如图所示，将的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到的图像，则函数的解析式为（）
A. B.
C. D.
【学问点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．C4
【答案】【解析】B解析：由函数的图象可得，．
再由五点法作图可得，，函数将的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，可得函数的图象；
再向右平移1个单位得到的图象，
故函数g（x）的解析式为故选：C．
【思路点拨】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再依据函数的图象变换规律，得出结论．
【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】4.函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. 2π D. 4π
【学问点】诱导公式；二倍角公式；弦函数的周期公式. C2 C6 C4
【答案】【解析】B解析：=，所以其周期
，故选B.
【思路点拨】利用诱导公式，二倍角公式，把已知函数化为，从而得正确.
【数学文卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】５、已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到的图象与y＝sin x的图象相同，则y＝f(x)的函数表达式为( )
A．B．
C．D．
【学问点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．C4
【答案】【解析】D解析：由题意知，y=sinx的图象向右平移个单位，然后纵坐标保持不变，将横坐标缩短到原来，即可得到y=f（x）图象，由图象的变换方法可知，y=sinx的图象向右平移个单位得到函数y=sin（x﹣）的图象，再将其图象纵坐标保持不变，将横坐标缩短到原来，可得到y=sin（2x﹣）的图象，∴y=f（x）的表达式为：，故选D.
【思路点拨】由题意知，y=sinx的图象向右平移个单位，然后纵坐标保持不变，将横坐标缩短到原来，即可得到y=f（x）图象，由图象的变换可得．
C5 两角和与差的正弦、余弦、正切
【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】18.（原创）（本题满分13分）已知中，角的对边分别为，且有.⑴求角的大小；
⑵设向量,且，求的值.
【学问点】正弦定理；两角和与差的三角函数；三角形的内角和；诱导公式；向量垂直的性质，三角函数的求值. C8 C5 C2 C7 F2
【答案】【解析】(1)；(2)7.解析：⑴由条件可得：
整理得：
所以，又，故
⑵由可得：
整理得：
从而（舍去）
又，为锐角
故，
于是
【思路点拨】(1)利用正弦定理，两角和与差的三角函数，三角形的内角和，诱导公式，将已知等式化为，从而得；（2）由可得
,可得的值.
【数学文卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】16、(本小题满分12分)
已知向量，＝，函数，
(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．
【学问点】三角函数中的恒等变换应用；平面对量数量积的运算．C5 F3
【答案】【解析】(1) (2)
解析：（１）……………………………4分
单调递增区间是…………………………..6分
（２）
………………………………………………………….8分
函数f(x)的值域是………………………………………………..12分
【思路点拨】（1）首先依据=（1，sinx），=（cos（2x+），sinx），求出；然后依据函数f（x）=•﹣cos2x，求出函数f（x）的解析式；最终依据正弦函数的特征，求出其单调递增区间即可；（2）当x∈[0，]时，可得2x，然后求出函数f（x）的值域即可．
【数学文卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试（202211）】18．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）设的最小值是，求的最大值．
A
B
C
D
E
P
【学问点】函数单调性，三角函数化一公式B3 C5
【答案】【解析】(1)(2)解析：（1）
，
令，得，
的单调递减区间……6分
（2），
；，令
所以……12分
【思路点拨】由原式化简得
，变成一个含有一个角的三角函数的形式再进行求解即可.
【数学文卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考（202212）】12. 已知，，则▲．
【学问点】两角和与差的三角函数C5
【答案】【解析】解析：由于，，所以，
则.
【思路点拨】对于给值求值问题，通常从角入手，用已知角表示所求角，再利用相应的公式进行计算.
C6 二倍角公式
【数学理卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【学问点】同角三角函数关系；二倍角公式. C2 C6
【答案】【解析】C解析
，故选C.
【思路点拨】已知等式两边平方后，利用平方关系和二倍角公式求得结果.
【数学理卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考（202212）】13．已知，，则_____▲____．
【学问点】诱导公式倍角公式C2 C6
【答案】【解析】解析：由于，所以，则.
【思路点拨】遇到给值求值问题，通常从角入手，观看所求角与已知角之间是否具有和差倍角关系，再利用相应的公式计算.
【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】4.函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. 2π D. 4π
【学问点】诱导公式；二倍角公式；弦函数的周期公式. C2 C6 C4
【答案】【解析】B解析：=，所以其周期
，故选B.
【思路点拨】利用诱导公式，二倍角公式，把已知函数化为，从而得正确.
C7 三角函数的求值、化简与证明
【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】18.（原创）（本题满分13分）已知中，角的对边分别为，且有.⑴求角的大小；
⑵设向量,且，求的值.
【学问点】正弦定理；两角和与差的三角函数；三角形的内角和；诱导公式；向量垂直的性质，三角函数的求值. C8 C5 C2 C7 F2
【答案】【解析】(1)；(2)7.解析：⑴由条件可得：
整理得：
所以，又，故
⑵由可得：
整理得：
从而（舍去）
又，为锐角
故，
于是
【思路点拨】(1)利用正弦定理，两角和与差的三角函数，三角形的内角和，诱导公式，将已知等式化为，从而得；（2）由可得
,可得的值.
【数学文卷·2021届湖北省八校高三第一次联考（202212）word版】18．（本小题满分12分）已知函数R)．
（I）求的单调递增区间；
（II）在△ABC中，三内角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知，b, a, c成等差数列，且，求a的值．
【学问点】数列与三角函数的综合；三角函数中的恒等变换应用．C7
【答案】【解析】（Ⅰ） Z);（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）………2分
=…………………………3分
由Z)得，Z) ……5分
故的单调递增区间是Z)………………………6分
（Ⅱ），，
于是，故…………………………8分
由成等差数列得：，
由得，………………………………10分
由余弦定理得，，
于是，， …………………………………13分
【思路点拨】（Ⅰ）已知函数R)对其进行化简，依据整体代入法求三角函数的单调区间；（Ⅱ）由于三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b，a，c成等差数列，依据，求出∠A的值，再由已知条件，求出a的值．
【数学文卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试（202211）】16.函数的图象与过原点的直线有且只有三个交点,设交点中横坐标的最大值为,则= ___ .
【学问点】导数的应用三角恒等变换B12 C7
【答案】【解析】2解析：函数与直线有且只有三个交点，
令切点为，
在上，，
所以，即
故，故答案为2.
【思路点拨】先依据题意画图，然后令切点为，在上，依据切线的斜率等于切点处的导数建立等式关系，即可求出，代入所求化简即可求出所求．
C8 解三角形
【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】17.（本题满分12分）
设的内角所对的边分别为且.
(1)求角的大小;
(2)若,求的周长的取值范围.
【学问点】正弦定理的应用．C8
【答案】【解析】（1）（2）
解析：(1)由得
又
又……….6分
(2)由正弦定理得:,
,
故的周长的取值范围为……….12分
【思路点拨】（1）依据正弦定理化简题中等式，得．由三角形的内角和定理与诱导公式，可得sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，代入前面的等式解出cosA=﹣，结合A∈（0，π）可得角A的大小；（2）依据A=且a=1利用正弦定理，算出b=sinB且c=sinC，结合C=﹣B代入△ABC的周长表达式，利用三角恒等变换化简得到△ABC的周长关于角B的三角函数表达式，再依据正弦函数的图象与性质加以计算，可得△ABC的周长的取值范围．
【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】10．在△ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为【】
A．3 B．4 C．5 D．6
【学问点】向量在几何中的应用；平面对量的综合题；正弦定理的应用．C8 F3
【答案】【解析】A解析：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b
∵sinB=cosA•sinC，sin（A+C）=sinCcosnA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0，∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵•=9，S△ABC=6，∴bccosA=9，bcsinA=6
∴tanA=，依据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15，∴c=5，b=3，a=4
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）
A（3，0）B（0，4）
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）
设，则||=||=1，=（1，0），=（0，1），
∴=x+y=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12，
12=4x+3y≥，xy≤3，故所求的xy最大值为：3．故选C．
【思路点拨】△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 cosC的值，再由•=9，S△ABC=6可得bccosA=9，bcsinA=6可求得c，b，a，建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设，则||=||=1，=（1，0），=（0，1），由=x+y推出x与y的关系式，利用基本不等式求解最大值．
【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】7. 在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为【】
A．m B．m C．m D．m
【学问点】解三角形的实际应用．C8
【答案】【解析】A解析：如图所示：设山高为AB，塔高为CD为 x，且ABEC为矩形，由题意得
tan30°===，∴BE=（200﹣x）．
tan60°==，∴BE=，
∴=（200﹣x），x=（m），
故选A．
【思路点拨】由tan30°==得到BE与塔高x间的关系，由tan60°=求出BE值，从而得到塔高x的值．
【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】17.（本题满分12分）
设的内角所对的边分别为且.
(1)求角的大小;
(2)若,求的周长的取值范围.
【学问点】正弦定理的应用．C8
【答案】【解析】（1）（2）
解析：(1)由得
又
又……….6分
(2)由正弦定理得:,
,
故的周长的取值范围为……….12分
【思路点拨】（1）依据正弦定理化简题中等式，得．由三角形的内角和定理与诱导公式，可得sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，代入前面的等式解出cosA=﹣，结合A∈（0，π）可得角A的大小；（2）依据A=且a=1利用正弦定理，算出b=sinB且c=sinC，结合C=﹣B代入△ABC的周长表达式，利用三角恒等变换化简得到△ABC的周长关于角B的三角函数表达式，再依据正弦函数的图象与性质加以计算，可得△ABC的周长的取值范围．
【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】10．在△ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为【】
A．3 B．4 C．5 D．6
【学问点】向量在几何中的应用；平面对量的综合题；正弦定理的应用．C8 F3
【答案】【解析】A解析：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b
∵sinB=cosA•sinC，sin（A+C）=sinCcosnA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0，∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵•=9，S△ABC=6，∴bccosA=9，bcsinA=6
∴tanA=，依据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15，∴c=5，b=3，a=4
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）
A（3，0）B（0，4）
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）
设，则||=||=1，=（1，0），=（0，1），
∴=x+y=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12，
12=4x+3y≥，xy≤3，故所求的xy最大值为：3．故选C．
【思路点拨】△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 cosC的值，再由•=9，S△ABC=6可得bccosA=9，bcsinA=6可求得c，b，a，建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设，则||=||=1，=（1，0），=（0，1），由=x+y推出x与y的关系式，利用基本不等式求解最大值．
【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】7. 在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为【】
A．m B．m C．m D．m
【学问点】解三角形的实际应用．C8
【答案】【解析】A解析：如图所示：设山高为AB，塔高为CD为 x，且ABEC为矩形，由题意得
tan30°===，∴BE=（200﹣x）．
tan60°==，∴BE=，
∴=（200﹣x），x=（m），
故选A．
【思路点拨】由tan30°==得到BE与塔高x间的关系，由tan60°=求出BE值，从而得到塔高x的值．
【数学理卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试（202211）】17．（本小题满分12分）
设角是的三个内角,已知向量，
,且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若向量,试求的取值范围
【学问点】正弦定理余弦定理C8
【答案】【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）
解析：(Ⅰ)由题意得，
即，由正弦定理得，
再由余弦定理得，.……………6分
(Ⅱ)，
，
所以，故.……………………12分
【思路点拨】：(Ⅰ)由题意得，
即再结合正弦定理余弦定理即可求出角.
(Ⅱ)，
，
可求，所以.
【数学理卷·2021届湖北省八校高三第一次联考（202212）】17．（本小题满分12分）已知△ABC的三内角A, B, C所对边的长依次为a,b,c，若，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．
【学问点】正弦定理；平面对量数量积的运算．C8 F3
【答案】【解析】（Ⅰ）;（Ⅱ）
解析：( I )依题设：sinA＝＝＝，sinC＝＝＝，
故cosB＝cos[π－(A＋C)]＝－cos (A＋C)＝－(cosAcosC-sinAsinC)＝－(－)＝.
则:sinB＝＝＝
所以4:5:6…………………………………………6分
( II ) 由( I )知：4:5:6，
不妨设：a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0.故知：||＝b＝5k，||＝a＝4k.
依题设知：||2＋||2＋2||||cosC＝46 46k2＝46，又k＞0k＝1.
故△ABC的三条边长依次为：a＝4，b＝5，c＝6.
△ABC的面积是…………………………………………12分
【思路点拨】（Ⅰ）A，C为三角形内角，先求出sinA，sinC，由cosB=cos[π-（A+C）]开放即可求出cosB的值，从而可求出sinB，由正弦定理即可求出a：b：c的值；（Ⅱ）由正弦定理和已知可求出a，b，c的值，即可求出△ABC的面积．
【数学理卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考（202212）】18．（本题满分14分）在中，角的对边分别为，已知,的面积为．
（Ⅰ）当成等差数列时，求；
（Ⅱ）求边上的中线的最小值．
【学问点】解三角形C8
【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）由已知得a+c+2b,ac=6,而，得；
（Ⅱ）由于
=，当时等号成立.
【思路点拨】计算中线的长度时，可利用向量奇异的转化为三角形边之间的关系进行解答.
【数学理卷·2021届江西省五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）高三上学期其次次联考（202212）word版】17.（本小题满分12分）已知分别是的三个内角的对边，. (1)求角的大小；
(2)若的面积，求周长的最小值.
【学问点】正弦定理；余弦定理；基本不等式求最值. C8 E6
【答案】【解析】（1）；（2）解析：（1）中，∵，由正弦定理，得：，………………………….2分
即，故………………………………4分
…………………………………………….6分
（2），且，…………………8分
由余弦定理，得
，又，………………………………………10分
当且仅当时，的最小值为，的最小值为，
所以周长的最小值为.………………………………….12分
【思路点拨】（1）将正弦定理代入已知等式，用两角和与差的三角函数及诱导公式得结果；
(2)由（1）的结论和的面积得，，在由余弦定理得：
，又，这两个不等式中等号成立的条件都是b=c=2,所以得周长的最小值为.
【数学理卷·2021届江西省五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）高三上学期其次次联考（202212）word版】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知为单位向量，当向量的夹角为时，在上的投影为.
【学问点】平面对量数量积的运算；平面对量数量积的含义与物理意义．F3 C8
【答案】【解析】解析：依据题意画出图形如下图：
设，依据余弦定理得：，所以,则在上的投影为，故答案为。
【思路点拨】利用数量积运算、投影的意义即可得出．
【数学理卷·2021届云南省部分名校高三12月统一考试（202212）】6．在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
【学问点】解三角形C8
【答案】A
【解析】由于A和B都为三角形中的内角，由tanAtanB＞1，得到1-tanAtanB＜0，
且得到tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，所以tan（A+B）=＜0，
则A+B∈（，π），即C都为锐角，所以△ABC是锐角三角形．
【思路点拨】利用两角和的正切函数公式表示出tan（A+B），依据A与B的范围以及tanAtanB＞1，得到tanA和tanB都大于0，即可得到A与B都为锐角，然后推断出tan（A+B）小于0，得到A+B为钝角即C为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形．
【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】18.（原创）（本题满分13分）已知中，角的对边分别为，且有.⑴求角的大小；
⑵设向量,且，求的值.
【学问点】正弦定理；两角和与差的三角函数；三角形的内角和；诱导公式；向量垂直的性质，三角函数的求值. C8 C5 C2 C7 F2
【答案】【解析】(1)；(2)7.解析：⑴由条件可得：
整理得：
所以，又，故
⑵由可得：
整理得：
从而（舍去）
又，为锐角
故，
于是
【思路点拨】(1)利用正弦定理，两角和与差的三角函数，三角形的内角和，诱导公式，将已知等式化为，从而得；（2）由可得
,可得的值.
【数学文卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】７、已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()
A．10B．9C．8 D．5
【学问点】余弦定理．C8
【答案】【解析】D解析：∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A-1=0，即cos2A=，A为锐角，∴cosA=，又a=7，c=6，
依据余弦定理得：a2=b2+c2-2bc•cosA，即49=b2+36-b，
解得：b=5或b=-（舍去），则b=5．故选D
【思路点拨】利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出cosA的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．
【数学文卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考（202212）】18.（本题满分14分）锐角的内角的对边分别为，已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积.
【学问点】解三角形C8
【答案】【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）解析：（Ⅰ）由条件得cos(B－A)=1－cosC=1+cos(B+A),所以cosBcosA+sinBsinA=1+cosBcosA－sinBsinA,即sinAsinB=;
（Ⅱ），又，解得：，
由于是锐角三角形，，
.
【思路点拨】在解三角形时，得到角的关系后留意利用三角形内角和向所要解决的问题进行转化，求三角形面积的关键是利用正弦定理求出角C的正弦值.
【数学文卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试（202211）】13.在中，分别是内角的对边，若，的面积为，则的值为 .
【学问点】余弦定理C8
【答案】【解析】解析：由于，所以可得，由余弦定理可得，代入可得，故答案为.
【思路点拨】由结合已知可求c，然后利用余弦定理可得a的值.
C9 单元综合
【数学理卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】20．（本小题满分12分）
已知函数，在区间内最大值为，
（1）求实数的值；
（2）在中，三内角A、B、C所对边分别为，且，求的取值范围．
【学问点】三角函数单元综合. C9
【答案】【解析】（1）-1；（2），（当为正三角形时，）
解析：（1）
,当时，最大值为，所
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