【全程复习方略】2021高考数学(文理通用)一轮课时作业22-平面向量的基本定理及向量坐标运算.docx

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课时提升作业(二十二)
平面对量的基本定理及向量坐标运算
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2022·台州模拟)已知AB→=(-1,-2),BC→=(-3,-4),则AC→=(　　)
A.(-4,-6) B.(4,6)
C.(-2,-2) D.(2,2)
【解析】选A.AC→=AB→+BC→=(-1,-2)+(-3,-4)=(-4,-6).
2.(2022·哈尔滨模拟)设向量a=(2,x-1),b=(x+1,4),则“x=3”是“a∥b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由a∥b,得8-(x-1)(x+1)=0,即x2-9=0.解得x=±3.所以x=3时,a∥b,而a∥b时,x还可以等于-3.故x=3是a∥b的充分不必要条件.
【加固训练】
(2022·合肥模拟)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),当a∥b时x的值是(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选C.由于向量a=(x-1,2),b=(2,1),且a∥b,所以(x-1)×1-2×2=0,x=5.
3.在正方形ABCD中,已知A(0,1),B(1,1),D(0,2),则AC→=(　　)
A.(0,1) B.(-1,0)
C.(-1,-1) D.(1,1)
【解析】选D.由于AB→=(1,0),AD→=(0,1).
所以AC→=AB→+AD→=(1,0)+(0,1)=(1,1).
4.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分I,II,III,Ⅳ(不包含边界).设OP→=mOP1→+nOP2→,且点P落在第III部分,则实数m,n满
足(　　)

A.m>0,n>0 B.m>0,n<0
C.m<0,n>0 D.m<0,n<0
【解析】选B.由题意及平面对量基本定理易得在OP→=mOP1→+nOP2→中m>0,n<0.
5.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是(　　)
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)
【解析】选D.由题意知向量a与b不共线,所以3m-2-2m≠0.即m≠2.
6.(2022·嘉兴模拟)已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于(　　)
A.-12a+32b B.12a-32b
C.-32a-12b D.-32a+12b
【解析】选B.设c=λa+μb,则(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1),所以-1=λ+μ,2=λ-μ,解得λ=12,μ=-32,
因此c=12a-32b.
7.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为(　　)
A.(2,0) B.(0,-2)
C.(-2,0) D.(0,2)
【解析】选D.由已知a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4),
设a=λm+μn=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),
则由-λ+μ=2,λ+2μ=4,解得λ=0,μ=2.所以a=0m+2n,
所以a在基底m,n下的坐标为(0,2).
8.已知△ABC的三个内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,向量m=(a+c,a-b),n=(b,a-c),若m∥n,则∠C=(　　)
A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3
【思路点拨】由向量共线的坐标表示得△ABC的边的关系,由余弦定理求得
∠C的余弦值,进而求得角C.
【解析】选B.由于向量m=(a+c,a-b),n=(b,a-c),且m∥n,
所以(a+c)(a-c)-b(a-b)=0,
即a2+b2-c2-ab=0.
由余弦定理,得cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12.
故∠C=π3.
【方法技巧】解决向量与三角函数的综合题的方法
向量与三角函数的结合是近几年高考中毁灭较多的题目,解答此类题目的关键是依据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再依据三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2022·吉林模拟)假如向量a=(k,1)与b=(4,k)共线且方向相反,则k=　　　　　.
【解析】由a与b共线,得
k2-4=0,解得k=±2,
当k=2时,a=(2,1),b=(4,2),
此时b=2a,b与a同向;
当k=-2时,a=(-2,1),b=(4,-2),
此时,b=-2a,b与a反向.故k=-2.
答案:-2
【误区警示】解答本题易误填-2或2,出错的缘由是忽视了向量a与b反向.
【加固训练】
(2022·揭阳模拟)已知向量c=(2x+1,4),d=(2-x,3),若c∥d,则实数x的值等于　　　　.
【解析】由于向量c=(2x+1,4),d=(2-x,3),且c∥d,
所以3(2x+1)-4(2-x)=0,解得,x=12.
答案:12
10.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为　　　　.
【解析】设D点的坐标为(x,y),由题意知BC→=AD→,
即(2,-2)=(x+2,y),所以x=0,y=-2,
所以D(0,-2).
答案:(0,-2)
11.(2022·杭州模拟)在△OAB中,C为OA上的一点,且OC→=23OA→,D是BC的中点,过点A的直线l∥OD,P是直线l上的动点,OP→=l1OB→+l2OC→,则l1-l2=　　　　.
【解析】由于l∥OD→,所以AP→=tOD→,又OC→=23OA→,D是BC的中点,所以OP→=OA→+AP→=OA→+tOD→=OA→+t2(OB→+OC→)=
32OC→+t2(OB→+OC→)=t2OB→+32+t2OC→,又OP→=l1OB→+l2OC→,由平面对量基本定理得
因此l1-l2=-32.
答案:-32
12.(力气挑战题)已知非零向量e1,e2,a,b满足a=2e1-e2,b=ke1+e2.给出以下结论:
①若e1与e2不共线,a与b共线,则k=-2;
②若e1与e2不共线,a与b共线,则k=2;
③存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线;
④不存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线.
其中正确的是　　　　　(只填序号).
【思路点拨】分状况争辩,按a与b共线,e1与e2共线分状况反推,另外由命题的特点可知③④是相对的,必有一个正确;①②可能有一个正确,也可能都不正确.
【解析】若a与b共线,即a=λb,即2e1-e2=λke1+λe2,而e1与e2不共线,
所以λk=2,λ=-1,解得k=-2.故①正确,②不正确.
若e1与e2共线,则e2=λe1,有
由于e1,e2,a,b为非零向量,所以λ≠2且λ≠-k,
所以12-λa=1k+λb,即a=2-λk+λb,这时a与b共线,
所以不存在实数k满足题意.故③不正确,④正确.
综上,正确的结论为①④.
答案:①④
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.(2022·湛江模拟)已知向量a=(1,2),b=(-3,2).
(1)求a+b及a-b的坐标.
(2)当k为何值时,(ka+b)∥(a-3b).
【解析】(1)由于a=(1,2),b=(-3,2),
所以a+b=(-2,4),a-b=(4,0).
(2)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
若(ka+b)∥(a-3b),
则-4(k-3)-10(2k+2)=0,解得k=-13.
14.如图,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC与OB的交点P的坐标.
【解析】由O,P,B三点共线,
可设OP→=λOB→=(4λ,4λ),
则AP→=OP→-OA→=(4λ-4,4λ).
又AC→=OC→-OA→=(-2,6),
由AP→与AC→共线得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,
解得λ=34,所以OP→=34OB→=(3,3),
所以P点的坐标为(3,3).
【一题多解】本题还可用以下方法求解:
设P(x,y),则OP→=(x,y),
由于OB→=(4,4),且OP→与OB→共线,
所以x4=y4,即x=y.
又AP→=(x-4,y),AC→=(-2,6),且AP→与AC→共线,
所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,
所以P点的坐标为(3,3).
15.(力气挑战题)已知三点A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a>0,b>0.
(1)若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值.
(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.
【思路点拨】(1)由向量相等列方程组求a,b的值.
(2)把A,B,C三点共线转化为向量共线,由向量共线列关于a,b的等量关系式,再依据基本不等式求a+b的取值范围.
【解析】(1)由于四边形OACB是平行四边形,
所以OA→=BC→,即(a,0)=(2,2-b),
a=2,2-b=0,解得a=2,b=2.
故a=2,b=2.
(2)由于AB→=(-a,b),BC→=(2,2-b),
由A,B,C三点共线,得AB→∥BC→,
所以-a(2-b)-2b=0,即2(a+b)=ab,
由于a>0,b>0,
所以2(a+b)=ab≤a+b22,
即(a+b)2-8(a+b)≥0,
解得a+b≥8或a+b≤0.
由于a>0,b>0,
所以a+b≥8,即a+b的最小值是8.
当且仅当a=b=4时,“=”成立.

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