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第一篇 静力平衡分析

第一章 静力分析基础
1.1 静力分析的基本概念
1.2 静力分析公理
公理一（二力平衡公理）：
作用在刚体上的两个力，使刚体处于平衡的充分必要条件是：两个力大小相等方向相反，且作用在同一直线上。
（只受两个力作用而平衡的构件，称为二力构件。）
公理二（加减平衡力系公理）：
在作用刚体的力系上，加上或减去任一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。
推论1 (力的可传性原理)：
作用于刚体上的力可沿其作用线移至刚体内任一点，而不改变该力对于刚体的作用效应。
公理三（力的平行四边形公理）：
作用在刚体上同一点的两个力可以合成为一个合力，合力也作用于该点，其大小和方向可以由以这两个力为邻边所构成的平行四边形的共点对角线所确定。
推论2(三力平衡汇交原理）
当刚体受三力作用而平衡时，若其中任意两个力的作用线相交于一点，则三力必然共面，且第三力的作用线通过该汇交点。
公理四（作用与反作用定律）：
两个物体间的相互作用力，总是大小相等，方向相反，作用线相同且分别作用在两个物体上。
公理五（刚化公理）：
如果变形体在某力系作用下平衡，若将此物体刚化为刚体，其平衡不受影响。（对于变形体而言，刚体的平衡条件只是必要条件而不是充分条件）

1.3 约束与约束反力
阻碍物体运动的限制条件称为约束。
约束对被约束物体的作用力，称为约束反力，或称约束力。
约束反力作用在被约束物体与约束的接触处，其方向总是与约束所阻碍的运动方向相反。
（1）柔性约束
柔索只能承受拉力，因而只能阻止物体沿柔索伸长方向的运动。柔性约束的约束反力作用于连接点，且方向沿着柔索而背离物体。
（2） 理想光滑面接触构成的约束
光滑接触约束只能阻止物体沿接触面公法线方向的运动。
光滑接触约束反力通过接触点，沿着接触点的公法线指向被约束的物体。
（3） 光滑圆柱铰链约束
约束反力在垂直于构建销孔轴线的横截面内，且通过销孔中心。一般而言，由于接触点的位置无法预先确定，所以铰链约束反力的方向不能预先确定。在受力分析中，将铰链约束反力用通过构建销孔中心的两个大小未知的正交分力来表示。（XA，YA）
固定铰支座约束的性质，与铰链连接中的铰链约束一样。
（4）光滑球形铰链约束
球窝作用于球体的约束反力通过球心。由于球体与球窝的接触点未定，约束反力的空间方位不定，因而常用通过球心的三个正交分力来表示。（XA， YA，ZA）
1.4 受力分析与受力图
受力分析：就是分析被研究物体上的所受全部主动力和约束反力，并把分析结果用受力图清晰地表示出来。
受力图：画有研究对象及其所受的全部力（包括主动力和约束力）的简图。
受力分析步骤：
（1）确定研究对象，并画出简图。研究对象可以是一个物体，也可以是几个物体的组合或整个物体系统。
（2） 画出作用在研究对象上的全部主动力。
（3） 根据约束的类型及约束反力的性质，在研究对象上被解除约束处逐一画出约束反力。若研究对象是整个物体系统，或是几个物体的组合时，则不必画出内力。在涉及多个研究对象的平衡问题中，不同研究对象在连接处的相互作用力要遵守作用与反作用定律。

第二章 汇交力系

各力作用线相交于一点的力系称为汇交力系

2.1 汇交力系合成的几何法
用力多边形求合力失R的几何作图方法，称之为力多边形法则
1) 汇交力系一般合成为一个合力；
2) 合力作用线通过该力系的汇交点；
3) 合力的大小及方向可由力多边形的封闭边表示，即合力失等于力系中各力的矢量和。
R＝F1+F2+……+Fn 或 R＝∑Fi

2.2 汇交力系合成的解析法
将Fi分别向XYZ轴投影得Zi，Yi，Zi 即 Fi＝Xi·i+Yi·j+Zi·k
R＝∑Fi＝Rxi+Ryj+Rzk 　又∵　　 ∑Fi＝(∑Xi)i+(∑Yi)j+(∑Zi)k
可得 : 　Rx＝∑Ｘi Ry＝∑Yi Rz＝∑Zi
合力投影定理：
　　　合力在任一坐标轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。

2.3 汇交力系的平衡条件

汇交力系平衡的充分必要条件是该力系的合力等于零。
即　： 　　Ｒ=∑Ｆi=0
2.3.1 汇交力系平衡的几何条件：
汇交力系平衡的必要与充分几何条件是：力多边形自行封闭。
2.3.2 汇交力系平衡的解析条件：
汇交力系平衡的必要与充分解析条件是：力系中各力在直角坐标系中各轴上的投影的代数和均为零。
∑Xi=0 ∑Yi=0 ∑Zi=0 　　　 (各方向均平衡)
利用汇交力系平衡的条件可求出待求的约束反力。
几何法
　选取比例尺，画已知力并移于首尾相接处。
量出未知力。
　解析法
选取坐标系，列平衡方程，解方程得未知力。
现将汇交力系〔平衡问题求解步骤归纳：
　根据题意选择合适的研究对象；
　进行受力分析，绘制受力图；
　根据平衡条件求解未知量。

第三章 力偶理论
力偶是一种特殊的力系。刚体上作用的一群力偶称为力偶系。
3.1.　力对点之矩　　合力矩定理
3.1.1 　力对点之矩
力学中以乘积Ｆd作为力使刚体绕点Ｏ转动效应的强弱的度量，即Fd表示力Ｆ对点Ｏ的矩的大小。　　　　　　　Ｍo(F)=±Fd
力矩的大小也可以用力失长度ＡＢ为底矩心矩心Ｏ为顶点所构成三角形△ＯＡＢ面积的2倍表示。
　　　　　Ｍo(Ｆ)=2S△AOB
　　　　规定：一个力使刚体绕矩心有逆时针方向转动的趋势时，力矩取正。
矩心：任意指定点
　　　失径的方向：由矩心指向力的作用点（ＯＡ）
力对点之矩可用该力作用点相对矩心的失径与该力的失积来表示
ＭO(Ｆ)＝－Ｆ×r =r×F
3.1.2 汇交力系的合力矩定理
　　　　　MO(R)=r×R=r×(F1+F2+……+Fn)=r×∑Fi=∑[m0(Fi)]
　　　 M0(R)=∑m0(Fi)　
合力对ｏ点之矩等于分力对ｏ点之矩的和（矢量）。
汇交力系的合力矩定理：
汇交力系的合力对任一点的矩，等于力系各力对同一点的之矩的矢量和。
3.2 力偶及其性质

力偶：
　　　有大小相等，方向相反，作用线平行的一对力组成的力系称　力偶。　　（力偶对刚体仅仅产生转动效应。）
性质一：
　　　力偶没有合力，不能与一个力等效，也不能和一个力平衡，是一个基本力学量。
1) 两个大小不等的反向平行力可以合成为一合力；
2) 合力大小等于两力之差；
3) 合力的指向与较大的一力相同；
4) 合力作用线位于较大一力的外侧，按两力的大小成反比，且外分两力作用线之间的距离。
性质二：
　　　力偶的两力对任一点的矩之和等于其力偶矩， 即力偶矩与矩心位置无关（仅与两力之间的距离有关）。　　　　　　　
Ｍｏ（Ｆ，Ｆ′）＝rA×F+rB×F′=rAB×F (∵F=F′)
失积　rAB×F称为力偶矩
记　m= rAB×F rAB×F= Fd
即力偶矩的大小等于力偶的力与力偶臂的乘积，m垂直于力偶的作用面。
　　　力偶无合力，对于刚体没有移动效应；力偶的转动效应与矩心位置无关，完全取决于力偶矩。　　
性质三：
　　　只要保持力偶矩大小不变，可同时改变力偶的力和力偶臂的大小，而不会改变力偶对刚体的效应。
性质四：
　　　只要保持力偶矩的大小和转向不变，力偶可在其作用平面内以及彼此平行的平面内任意平行移动（转），不会改变它对刚体的效应。力偶可以在同一平面内移动，又可移到另一平行平面内。因此力偶矩的作用线就无关紧要了，
力偶是自由矢量。
力偶等效条件：
　　　　　　当作用于刚体上的两个力偶的力偶矩相等，两力偶等效。
3.3 力偶系的合成与平衡
如果力偶系各力偶的作用面并不彼此平行或重合，则该力偶系为空间力偶系。
　Ｆ＝Ｆ1＋Ｆ2 Mo(F, F′)= rAB×F= rAB×F1+ rAB×F2
即　 M=m1+m2
空间力偶系其合成结果得一合力偶，合力偶的力偶矩等于所有分力偶矩的矢量和　即，
　　　Ｍ＝ｍ１＋ｍ２＋＋ｍｎ＝∑ｍｉ
在计算时，常用解析法计算合力矩的大小和方向。
空间力偶系平衡的必要和充分条件是　合力偶矩等于零，即力偶系中各力偶矩的矢量和等于零。
Ｍ＝∑ｍｉ＝∑ｍｘｉｉ＋∑ｍｙｉｊ＋∑ｍｚｉｋ＝０
即得:∑ｍｘｉ＝０ ， ∑ｍｙｉ= ０， ∑ｍｙｉ=０　各方向平衡
若m1,m2……mn位于同一平面内
代数式求和：M=m1+m2+……+mn=∑mi
平面力偶系可合成为同一平面内的一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。
l 平面力偶系平衡方程：∑mi=0
平面力偶系平衡的必要与充分条件是各分力偶矩的代数和为零。
若力偶在其作用平面内为逆时针转向，取正号。

第四章 平面一般力系

平面一般力系是各力作用线在同一平面内且任意分布的力系。
4.1 力的平移定理
力的平移定理：
作用在刚体上的力，可以平行地移动到刚体上任意一指定点，但要附加一个力偶，其力偶矩等于原力对指定点的力矩。

4.2 平面一般力系的简化
简化中心：在力系作用平面内任选一点Ｏ，该力系向Ｏ点简化，点Ｏ称为简化中心。
结论：平面一般力系向其作用平面内任一点简化，可以得到一个力和和力偶，这个力的大小和方向等于平面力系的主失，其作用线通过简化中心；这个力偶的力偶矩等于该平面力系对简化中心的力矩。
l 力系的主失是一个具有大小和方向的矢量，它只代表力系中的矢量和，并不涉及作用点。
l 主矩是力系中各力对简化中心力矩的代数和。与简化中心位置有关。
4.3 简化结果分析

力系向简化中心简化，其主失Ｒ′和主矩Ｍｏ可能有四种情况：

1) Ｒ′＝0, Ｍｏ=0, 主失和主矩都等于零，说明简化后的平面汇交力系和平面力偶系是平衡力系，因而原平面一般力系是一个平衡力系。
2) Ｒ′＝0, Ｍｏ≠0　，主失等于零，主矩不等于零。
3) Ｒ′≠0, Ｍｏ=0　，主失不等于零，主矩等于零，原力系等效于一个作用线通过简化中心的合力Ｒ，合力大小和方向与该力系的主失Ｒ′相同。
4) Ｒ′≠0，Ｍｏ≠0　，主失和主矩都不等于零，这并非是原力系的最简化结果还可以进一步简化。
合力Ｒ等于平面力系的主失，合力的作用线到Ｃ点的垂直距离d为：
d=Mo／Ｒ′
综上所述：平面一般力系简化的最终结果有三种可能：
一个力偶 一个合力 平衡
平面力系合力矩定理：
平面力系的合力对作用平面内任一点之矩，等于该力系中各力对同一点之矩的代数和。
mo(R)= ∑mo(F)
由此求均布载荷的位置
合力大小：Q=∑△Q＝∫q(x)dx
4.4 平面一般力系的平衡分析
平面一般力系平衡的必要与充分条件是：
力系的主失和对作用平面内任一点的主矩都等于零。
即 Ｒ′＝0, Ｍｏ=0
∑Fx＝0 , ∑mo(F)＝0
解析条件是：
力系中各力在作用平面内任意两个相交坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各分力对作用平面内任意一点的矩的代数和也等于零。
（一般情况，矩心应取在未知力的交点上，而坐标轴应当与可能多的未知力相垂直）
二矩式平衡方程：
三个平衡方程中有两个力矩方程和一个投影方程
∑mA(F) ＝0 ∑mB(F) ＝0 ∑x＝0
其中是平面内任意两点，但连线AB不能与投影轴x垂直
三矩式平衡方程：
三个平衡方程全为力矩式的方程
∑mA(F) ＝0 ∑mB(F) ＝0 ∑mC(F) ＝0
其中A、B、C是平面内任意不共线的三点
平面平行力系的平衡方程:：
∑mo(F)＝0 ∑Y＝0

或 ∑mA(F) ＝0 ∑mB(F) ＝0
其中AB连线不能与各力平行
4.5 物体系统的平衡分析
首先考虑是否可选择整体为研究对象；
若以整体研究不能求得任何未知量或者还要求解内力时，应考虑采取系统中的某单个刚体或若干个刚体组成的局部来研究；
解题方案确定后，应能正确画出受力图；
建立与求解有关的平衡方程。

第五章 空间一般力系 重心

5.1 力对轴之矩
l 空间力对轴之矩是使刚体绕此轴转动效应的度量，它等于此力在垂直于轴的任一平面内的投影对轴与平面交点之矩。

空间力F对轴之矩，等于F在L平面内的分力Fxy对O点（Z与L交点）之矩。
mz(F)=mo(Fxy)=±Fxy·d
由知：
当力沿其作用线滑移时，力对轴之矩不变。
当力的作用线与轴相交或平行时，力对轴之矩为0。
力对轴之矩也有合力矩定理：
合力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。
mx(F)=yFz-zFy
my(F)=Zfx-xFz
mz(F)=xFy-yFx

5.2 力对轴之矩与力对点之矩关系

力对点之矩在通过该点任一轴上的投影，等于力对该轴之矩。
[mo（F）]x=Mx(F)
5.3 空间利息的简化

5.3.1 空间一般力系向已知点简化
空间力系向任一点简化，得到一个力和一个力偶，这个力通过简化中心，等于空间力系的主失；这个力偶的力偶矩等于空间力系各力对简化中心的主矩。
5.3.2 简化结果分析
1) Ｒ′＝0, Ｍｏ=0, 原空间力系为一平衡力系。
2) Ｒ′＝0, Ｍｏ≠0，原空间力系合成为一合力偶。
3) Ｒ′≠0, Ｍｏ=0　，原空间力系合成为通过简化中心的合力。
4) Ｒ′≠0，Ｍｏ≠0　，
Ｒ′⊥Ｍｏ ，Ｒ′与Ｍｏ还可以合成为一个合力合力作用线到简化中心距离：
d=Ｍｏ／︳Ｒ′︳
Ｒ′∥Ｍｏ , Ｒ′与Ｍｏ所作用的平面相垂直。不能在合成，又形成一个新的基本量：力螺矩。　
Ｒ′与Ｍｏ，既不垂直也不平行。将Ｒ′分解（与Ｍｏ垂直和平行）.
空间力系合力矩定理：
空间一般力系的合力对任一点（轴）的矩，等于力系各力对同一点（轴）之矩的矢量和（代数和）。
mo(R)=∑mo(F)
mz(R)= ∑mz(F)

5.4 空间一般力系的平衡分析
空间一般力系平衡的充分与必要条件是：
空间力系的主失和对任一点的主矩等于零。
其平衡方程为：
力系中各力在三个坐标轴上的投影代数和分别等于零，以及这些力对三个坐标轴之矩的代数和分别等于零。
∑X=0 ∑Y=0 ∑Z=0
∑mx(F)=0 ∑my(F)=0 ∑mz(F)=0

5.5 平行力系的中心与重心

5.4.1 平行力系的中心：
5.4.2 平行力系的中心是平行力系合力的作用点。
平行力系中心C的位置仅与各平行力的大小和作用点位置有关，而与平行力的方位无关。
5.5.2 重心
认为各质点的重力组成一个空间平行力系，则其中心就是重心。
1) 重心坐标公式：
xc=∑pixi／P yc=∑piyi／P zc=∑pizi／P
2) 组合形体的重心

分割法
负面积法
实验求重心

仅供学习与参考