资源描述
长春市一般高中2021届高三质量监测（四）
数学(理科)参考答案及评分参考
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，可依据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对解答题，当考生的解答在某一步毁灭错误时，假如后继部分的解答未转变该题的内容和难度，可视影响的程度打算后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)
1. A 2. A 3. C 4. B 5. A 6. A
7. C 8. D 9. C 10. D 11. C 12. C
简答与提示：
1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.
【试题解析】A ，则．故选A.
2. 【命题意图】本小题主要考查复数的几何意义.
【试题解析】A 依据复数的几何意义，由题意，可将看作夹角为的单位向量，从而，故选A.
3. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查同学的规律推理力气，同时考查同学对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使同学更加深刻地生疏中国优秀的传统文化.
【试题解析】C 由秦九韶算法，，故选C.
4. 【命题意图】本小题主要考查排列组合在古典概型中的应用，既对抽象概念进行提问，又贴近生活实际，是数学与生活相联系.
【试题解析】B ，故选B.
5. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，对同学的推理论证力气和数形结合思想提出确定要求.
【试题解析】A 由正弦定理得，，再由余弦定理可得，故选A.
6. 【命题意图】本小题主要考查函数的性质对函数图像的影响，并通过对函数的性质来推断函数的图像等问题.
【试题解析】A 推断函数为奇函数，排解；又由于当时，的增加速度快，故选A.
7. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象力气及利用三视图还原几何体的力气进行考查，同时考查简洁几何体的体积公式.
【试题解析】C 该几何体可看成以正视图为底面，4为高的棱柱与半圆柱的组合体，从而其体积为，故选C.
8. 【命题意图】本小题主要考查利用三角函数以及解三角形的学问解决实际问题，对同学的数形结合思想提出确定要求.
【试题解析】D 在中，由正弦定理得，在中，，故选D.
9. 【命题意图】本小题主要考查对等差数列通项以及变化规律的理解，还包括前项和的理解，理解了等差数列性质以及特点的同学解决此类问题会比较简洁.
【试题解析】C 由等差数列的前项和有最大值，可知，再由，知，从而有，即，从而使得数列的前项和取最大值的，故选C.
10. 【命题意图】本小题主要考查定积分的几何意义以及定积分的基本运算，对同学的运算求解力气和数形结合思想提出确定要求.
【试题解析】D 所求封闭图形面积等价于，故选D.
11. 【命题意图】本小题主要考查双曲线的定义，双曲线离心率的运算，对考生的运算求解力气和数形结合力气提出较高要求.
【试题解析】C 不妨设点在双曲线右支，分别为左，右焦点，有，由，可得，由知，的最小内角为，从而为直角三角形，，此时双曲线离心率，故选C.
12. 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质和运算，并对基本不等式的考查也提出很高要求，本题作为选择的压轴题，属于较难题，对同学的运算求解力气和推理论证力气提出确定要求.
【试题解析】C 由可得，，而=
，当且仅当 时取“=”，从而， ，故选C.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)
13. 14. 15. ②④⑤ 16.
简答与提示：
13. 【命题意图】本小题主要考查三角函数的对称，图像的平移以及三角函数最值的求取，属于基本试题.
【试题解析】函数的解析式为，其图象向右平移个单位后对应解析式为，从而，即，所以.
14. 【命题意图】本小题是线性规划的简洁应用，对可行域的求取、对目标函数的理解都是考生必需把握的基本技能.
【试题解析】令，由可行域可知其在第一象限，
故可看成从点向轴，轴引垂线段，所围成矩形的面积，
故其可能取最大值的位置应在线段上，
，当时取最大值，此时
15. 【命题意图】本小题通过统计学基本定义问题考查同学的统计学的思想，是一道中档难度的综合试题.
【试题解析】由统计学的相关定义可知，②④⑤的说法正确.
16. 【命题意图】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象力气与运算求解力气以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题.
【试题解析】取中点分别为，连接，由题意知，，易知三棱锥的外接球球心在线段上，连接，有，求得，所以其表面积为.
三、解答题
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查利用数学归纳法解决有关于数列的问题，虽存在着确定的难度，但是是考试大纲规定考查内容，属于一道中档题，对考生的运算求解力气，化归与转化力气提出确定要求.
【试题解析】解：(1) 由于，所以，由此整理得，于是有：，
猜想：
证明：① 当时，，猜想成立.
② 假设时猜想成立，即，
那么
所以当时猜想成立，由①②可知，猜想对任何都成立. (6分)
(2) 由(1)，于是：
又由于，所以. (12分)
18. 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关学问，其中包括概率的求法、离散型随机变量的数学期望以及方差. 本题主要考查同学的数据处理力气和运算求解力气.
【试题解析】解：(1) 依据统计数据毁灭好天的概率为0.4，
则连续两天毁灭“好天”的概率为. (4分)
(2) 的全部可能取值为45,70,95,120.
45
70
95
120
0.216
0.432
0.288
0.064
(12分)
19. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关学问，具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象力气与运算求解力气有较高要求.
【试题解析】解：(1) 证明：
，则，即.
(6分)
(2) 取中点，可知，.
以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系.
，，，
平面中，，，
平面中，，，
.
即二面角的余弦值为. (12分)
20. 【命题意图】本小题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合应用力气，具体涉及到抛物线标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关学问以及圆锥曲线中定值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解力气都有很高要求.
【试题解析】解：(1) 由可得：，
即，可知点为线段中垂线上的点，即，故动点的轨迹为以为焦点的抛物线，其方程为.
(4分)
(2) 设直线的斜率为，易得，可求得切线的方程为，化简整理得 ①
由于，所以，故直线的方程为.
联立直线和抛物线方程解得，
所以切线的方程为，化简整理得 ②
①-②得，所以(定值).
故点的轨迹为是垂直轴的一条定直线. (8分)
(3) 由(1)有，所以，.
故(定值). (12分)
21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用力气，具体涉及到用导数来描述函数的极值等状况. 本小题主要考查考生分类争辩思想的应用，对考生的规律推理力气与运算求解有较高要求.
【试题解析】解：(1)函数的定义域为，.
令，得；当时，，单调递增；
当时，，单调递减. 所以，为极大值点，
所以，故，即实数的取值范围为. (4分)
(2)当时，，令，
则.再令，
则，所以，所以，
所以为单调增函数，所以，故. (8分)
(3) 由(2)知，当时，，.
令，则，所以，，所以
，
所以
所以. (12分)
22. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，切割线定理等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理力气.
【试题解析】解： (1) 取中点为，连结，由题意知，，
为圆的切线，为割线
，由，
在中，由勾股定理得，. (5分)
(2) 由(1)知，
所以四边形为平行四边形，又由于为的中点，
所以与交于点，所以三点共线. (5分)
23. 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关学问，具体涉及到参数方程与一般方程的转化、极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系、利用三角函数相关学问解决点线距离问题等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解力气有确定要求.
【试题解析】解：(1) 由题意知，的一般方程为
的直角坐标方程为. (5分)
(2) 设，则到的距离，当，即时，取最小值，
此时点坐标为. (10分)
24. 【命题意图】本小题主要考查含确定值不等式求解的相关学问以及不等式证明的相关学问. 本小题重点考查考生的规律思维力气与推理论证力气.
【试题解析】解：(1) 由，得，即其解集为，由题意知的解集为，所以. (5分)
(2) 原不等式等价于，存在实数，使得恒成立，即，而由确定值三角不等式，，
从而实数. (10分)
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