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第6 讲 对数与对数函数
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是 ( )
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
解析 logab·logca＝logab·＝＝logcb，故选B.
答案 B
2．(2022·郑州一模)函数y＝lg|x－1|的图像是 ( )
解析 当x＝1时，函数无意义，故排解B，D.又当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意．
答案 A
3．(2022·通州模拟)若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则 ( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
解析 ∵x∈，∴a＝ln x∈(－1,0)，b＝2ln x＝
ln x2.又y＝ln x是增函数，x2＜x，∴b＜a.
∵c－a＝ln3x－ln x＝ln x(ln2x－1)＞0，
∴c＞a，∴b＜a＜c，故选C.
答案 C
4．函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是 ( )
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C．(0，) D．(3，＋∞)
解析 由于a＞0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，因此a＞1.又y＝ax－3在[1,3]上恒为正，∴a－3＞0，即a＞3，故选D.
答案 D
5．(2022·汉中质检)已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则( )
A．f(3)＜f(－2)＜f(1) B．f(1)＜f(－2)＜f(3)
C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(－2)
解析 由于f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a＞1，f(1)＜f(2)＜f(3)．又函数f(x)＝loga|x|为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)＜f(－2)＜f(3)．
答案 B
二、填空题
6．函数y＝log(3x－a)的定义域是，则a＝______.
解析 要使函数有意义，则3x－a＞0，即x＞，
∴＝，∴a＝2.
答案 2
7．(2022·重庆卷)函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．
解析 明显x＞0，∴f(x)＝log2·log(2x)＝log2x·log2(4x2)＝log2x·(log24＋2log2x)＝log2x＋(log2x)2＝2－≥－.当且仅当x＝时，有f(x)min＝－.
答案 －
8．(2022·淄博一模)已知函数f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x，则满足不等式f(x)＞0的x的取值范围是________．
解析 由题意知y＝f(x)的图像如图所示，则f(x)＞0的x的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)．
答案 (－1,0)∪(1，＋∞)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝lg，
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)推断函数f(x)的奇偶性；
(3)推断函数f(x)的单调性．
解 (1)要使f(x)有意义，需满足＞0，
即或解得－1＜x＜1，故函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，又f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(3)由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)．设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝lg－lg＝lg＝lg.
∵－1＜x1＜x2＜1，∴1－x1x2＋x2－x1＞1－x1x2－(x2－x1)＝(1＋x1)(1－x2)＞0，
∴＞1，
∴lg＞0，
即f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x)在(－1,1)上是减函数．
10．设x∈[2,8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值．
解 由题意知f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)
＝＝2－.
当f(x)取最小值－时，logax＝－.
又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．
∵f(x)是关于logax的二次函数，
∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得．
＝2∈[2,8]，符合题意，∴a＝.
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
11．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)＝ ( )
A．1 B.
C．－1 D．－
解析 由f(x－2)＝f(x＋2)，得f(x)＝f(x＋4)，由于4＜log220＜5，所以f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)＝
答案 C
12．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是 ( )
A. B.
C．(1，) D．(，2)
解析 由题意得，当0＜a＜1时，要使得4x＜logax，即当0＜x≤时，函数y＝4x的图像在函数y＝logax图像的下方．又当x＝时，4＝2，即函数y＝4x的图像过点，把点代入函数y＝logax，得a＝，若函数y＝4x的图像在函数y＝logax图像的下方，则需＜a＜1(如图所示)．
当a＞1时，不符合题意，舍去．
所以实数a的取值范围是.
答案 B
13．(2021·湘潭模拟)已知函数f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是________．
解析 由题意可知ln＋ln＝0，
即ln＝0，从而×＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋，
又0＜a＜b＜1，∴0＜a＜，故0＜－2＋＜.
答案
14．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)假如对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
解 (1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
由于x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]，
故函数h(x)的值域为[0,2]．
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，
得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，由于x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0,2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15，由于4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，所以4t＋－15的最小值为－3，
综上，k∈(－∞，－3).
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