【北京特级教师-二轮复习精讲辅导】2021届高考理科数学-三角函数与函数综合问题新题赏析-课后练习.docx

三角函数与函数综合问题新题赏析课后练习
主讲老师：王老师 北京市重点中学数学特级老师
题一： 将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位，得到函数y＝f (x)·sin x的图象，则f (x)的表达式可以是(　　).
A．f (x)＝－2cos x　　　 B．f (x)＝2cos x
C．f (x)＝ sin 2x D．f (x)＝ (sin 2x＋cos 2x)

题二： 将函数f (x)＝ sin 2x＋ cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，则g的值为(　　).
A. B.－1 C. D.2

题三： 函数f (x)＝sin(x＋φ)－2sinφcos x的最大值为________．

题四： 已知sin＋cos α＝ ，则sin的值为(　　).
A. B. C. D.

题五： 已知曲线y＝2sin·cos与直线y＝相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，…，则等于(　　).
A．π B．2π C．3π D．4π

题六： 已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0 < θ < π)，其图象与直线y＝2的交点的横坐标为x1，x2，若|x1－x2|的最小值为π，则(　　).
A．ω＝2，θ＝ B．ω＝，θ＝
C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝

题七： 已知α，β∈，且tan α，tan β是方程x 2＋6x＋7＝0的两个根，则α＋β＝________.

题八： 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝2，
1＋ ＝ ，则C＝(　　).
A．30° B．45°
C．45°或135° D．60°

题九： 设△ABC的内角A， B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.

题十： △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin A＋csin C－asin C＝
bsin B.
(1)求B；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.

题十一： 已知函数f (x)＝sin2x＋sin xcos x，x∈
(1)求f (x)的零点；
(2)求f (x)的最大值和最小值．

题十二： 已知函数f (x)＝sin＋cos，x∈R.
(1)求f (x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝ ，cos(β＋α)＝－，0 < α < β ≤ ，求证：[f (β)]2－2＝0.

题十三： 已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且a⊥b.
(1)求tan α的值；
(2)求cos的值．

题十四： 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f (x)＝a·b，且y＝f (x)的图象过点和点.
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f (x)的图象向左平移φ(0 < φ < π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．

三角函数与函数综合问题新题赏析
课后练习参考答案
题一： B.
详解：平移后的函数解析式是y＝cos 2＝sin 2x＝2sin xcos x，故f (x)的表达式可以是f (x)＝2cos x.
题二： A.
详解：f (x)＝ sin 2x＋ cos 2x＝＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin，所以g＝.
题三： 1.
详解：f (x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx＝sinxcosφ＋cosxsinφ－2sinφcosx＝sinxcosφ－cos xsinφ＝sin(x－φ)，其最大值为1.
题四： A.
详解：由条件得sin α＋cos α＝，即sin α＋cos α＝，所以sin＝.
题五： B.
详解：留意到y＝2sincos＝2sin2＝1－cos2(x＋)＝1＋sin 2x，函数y＝1＋sin 2x的最小正周期是 ＝π，结合函数y＝1＋sin 2x的图象(如图所示)可知，＝2π，选B.

题六： A.
详解：y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数且0 < θ < π，则y＝2cos ωx，θ＝ ，所以y＝2cos ωx，y∈[－2,2]．故y＝2与y＝2cos ωx的交点为最高点，于是最小正周期为π.所以 ＝π，所以ω＝2，故选A.
题七： － .
详解：由根与系数的关系知所以因此α，β∈，α＋β∈(－π，0)，且tan(α＋β)＝ ＝1，故α＋β＝－ .
题八： B.
详解：由1＋ ＝ 和正弦定理得cos Asin B＋sin Acos B＝2sin Ccos A，即sin C＝2sin Ccos A，所以cos A＝ ，则A＝60°.
由正弦定理得 ＝ ，则sin C＝，又c < a，则C < 60°，故C＝45°.
题九： .
详解：由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得a 2＋b2－c2＝－ab，则cos C＝ ＝－ .
又由于角C为△ABC的内角，所以C＝ .
题十： (1) B＝45°.(2) a＝1＋， c＝.
详解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－ac＝b2.
又由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B，
故cos B＝ ，因此B＝45°.
(2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝ .
故a＝b× ＝ ＝1＋，
c＝b× ＝2× ＝.
题十一： (1) 或π.(2) 最大值为； 最小值为－1＋ .
详解：(1)令f (x)＝0，得sin x·(sin x＋cos x)＝0，
所以sin x＝0或tan x＝ － .
由sin x＝0，x∈，得x＝π；由tan x＝ － ，x∈，得x＝.
综上，函数f (x)的零点为或π.
(2)f (x)＝ (1－cos 2x)＋sin 2x＝sin＋.
由于x∈，所以2x－ ∈.
所以当2x－＝ ，即x＝ 时，f (x)的最大值为；
当2x－ ＝ ，即x＝ 时，f (x)的最小值为－1＋.
题十二： (1) T＝2π，f (x)的最小值为－2.(2) 见详解.
详解：(1)由于f (x)＝sin ＋cos
＝sin＋sin＝2sin，
所以T＝2π，f (x)的最小值为－2.
(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝ ，cos βcos α－sin βsin α＝－.
两式相加，得2cos βcos α＝0.
由于0 < α < β ≤ ，所以β＝ ，
所以[f (β)]2－2＝4sin2 －2＝0.
题十三： (1) －.(2) － .
详解：(1)由于a⊥b，所以a·b＝0.
故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，即 ＝0.
由于cos α≠0，所以6tan2 α＋5tan α－4＝0.
解得tan α＝－ 或tan α＝ .
由于α∈，所以tan α < 0，
所以tan α＝－ .
(2)由于α∈，所以∈.
由tan α＝－ ，求得tan ＝－ 或tan ＝2(舍去)．
所以sin ＝ ，cos ＝ － ，
所以cos＝coscos －sin sin ＝－ × － × ＝－ .
题十四： (1) m＝，n＝1. (2) (k∈Z).
详解：(1)由题意知，f (x)＝msin 2x＋ncos 2x.
由于y＝f (x)的图象过点和点，
所以 即
解得m＝，n＝1.
(2)由(1)知f (x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
由题意知，g(x)＝f (x＋φ)＝2sin.
设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)，
由题意知，x＋1＝1，所以x0＝0，
即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．
将其代入y＝g(x)得，sin＝1.
由于0 < φ < π，所以φ＝ .
因此g(x)＝2sin＝2cos 2x.
由2kπ－π ≤ 2x ≤ 2kπ，k∈Z，得kπ－ ≤ x ≤ kπ，k∈Z，
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为(k∈Z).