福建省泉州五校2021届高中毕业班“最后一卷”试卷数学(理)-Word版含答案.docx

2021年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕业班“最终一卷”联考理科数学学科试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设集合, 集合 ，则为( )
A． B． C． D．
2.执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )
A．9 B．16 C．25 D．36
3．等差数列中，，则数列的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.“”是“”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
正视图
侧视图
俯视图
5
3
4
3
（6题图）
5.已知直线与幂函数的图像将于两点，且
则的值为（ ）.
A． B． C． D．
6. 若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的体积等于( 　)
A． B． C． D．
7． 如图，四边形为矩形，，，以为圆心，1为半径画圆，交线段于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点率为（ ）
A． B． C． D．
8.已知半圆的直径 ，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ）
Ａ．- Ｂ. Ｃ． Ｄ.
9．设方程与的根分另为，则（ ）
A． B． C． D．
10.已知函数,,若,使,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.）
11.复数(i为虚数单位)的共轭复数是
12.若变量满足约束条件,则的最大值是
13．开放式中项的系数490,则实数的值为 .

14.已知正项，奇数项成公差为1的等差数列，当n为偶数时点等于
15.平面内两定点M（0，-2）和N(0,2），动点P（x，y）满足，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：
①m，使曲线E过坐标原点；
②对m，曲线E与x轴有三个交点；
③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；
④若P、M、N三点不共线，则△ PMN周长的最小值为2＋4;
⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN的面积不大于m。
其中真命题的序号是 ．（填上全部真命题的序号）

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．在中,角所对的边分别为，，．
(Ⅰ)求角的大小；
（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间

17．4月10日，2021《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。某市为了了解本市高中同学的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名同学参与汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求频率分布直方图中的值,试估量全市同学参与汉字听写考试的平均成果；
（Ⅱ）假如从参与本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成果在80分以上（含80分）的概率；
（Ⅲ）假如从参与本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成果在80分以上（含80分）的人数记为，求的分布列及数学期望．
（注：频率可以视为相应的概率）

18.如图,在四棱锥B-AA1C1C中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A1-BC1-C的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.

19.
19.已知椭圆C：的一个焦点与短轴的两个端为的连线相互垂直，椭圆上的点到焦点的最大距离
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）过轴上一点（的直线交椭圆C于A，B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T?若存在，求出的值及点T的坐标，若不存在，请说明理由.

20.已知函数
（Ⅰ）求函数处的切线方程;
（Ⅱ）若为实数，函数上的有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）试问是否存在，使得恒成立？若存在，请写出的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分14分）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，共14分．假如多做，则按所做的前两题计分．
(1)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A＝，B＝.
（Ⅰ）求满足条件AM＝B的矩阵M；
（Ⅱ）若矩阵M对应的变换将曲线C：x2＋y2＝1变换为曲线C′，求曲线C′的方程
(2)（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求直线一般方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.
(3)（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲
设不等式的解集与关于的不等式的解集相同．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时的值.

2021年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕业班“最终一卷”联考理科数学学科试卷答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合, 集合 , 则为
A． B． C． D．
2.执行如图所示的程序框图，输出的S值为( B )
A．9 B．16 C．25 D．36
3．等差数列中，，则数列的公差为（B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.“”是“”的( B )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
正视图
侧视图
俯视图
5
3
4
3
（6题图）
5.已知直线与幂函数的图像将于两点，且，则的值为（ C ）.
A． B． C． D．
6. 若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的体积等于(　B 　)
A． B． C． D．
7． 如图，四边形为矩形，，，以为圆心，为半径画圆，交线段于，在圆弧上任取一点，则直线与线段有公共点的概率为（ C ）
A． B． C． D．
8.已知半圆的直径 ，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是( D )
Ａ．- Ｂ. Ｃ． Ｄ.
9．设方程与的根分另为，则（ A ）
A． B． C． D．
10.已知函数,,若,使,则实数的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11.复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是－1－i
12.若变量满足约束条件,则的最大值是 5/3
13．开放式中项的系数490,则实数的值为 .
答案：
14.已知正项，奇数项成公差为1的等差数列，当n为偶数时点等于
答案：
15.平面内两定点M（0，-2）和N(0,2），动点P（x，y）满足，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：
①m，使曲线E过坐标原点；
②对m，曲线E与x轴有三个交点；
③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；
④若P、M、N三点不共线，则△ PMN周长的最小值为2＋4;
⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN
的面积不大于m。
其中真命题的序号是 ．（填上全部真命题的序号）1、4、5

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．在中,角所对的边分别为，，．
(1).求角的大小；
(2).若，求函数的单调递增区间
16.解：（Ⅰ）由得
由 得 ,又， 得
（Ⅱ）由余弦定理可得
=

由得所以，函数的对称轴为
由，得
所以所求函数的单调递增区间为

17．4月10日，2021《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。某市为了了解本市高中同学的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名同学参与汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求频率分布直方图中的值,试估量全市同学参与汉字听写考试的平均成果；
（Ⅱ）假如从参与本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成果在80分以上（含80分）的概率；
（Ⅲ）假如从参与本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成果在80分以上（含80分）的人数记为，求的分布列及数学期望．
（注：频率可以视为相应的概率）
解：（Ⅰ）,
,∴, ……………………… 2分
估量全市同学参与汉字听写考试的平均成果为：
……… 4分
（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成果在80分以上为大事A．

答：被抽到的这名同学考试成果在80分以上的概率为0.4． ……………… 6分
（Ⅲ）由（2）知，从参与考试的同学中随机抽取1名同学的成果在80分以上的概率为，
X可能的取值是0，1，2，3．
；
；
；
．
的分布列为：

0
1
2
3

………………11分
所以 ． ……… 13分
（或，所以．）
18.如图,在四棱锥B-AA1C1C中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A1-BC1-C的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.

(I)由于AA1C1C为正方形,所以AA1 ⊥AC.
由于平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.
(II)由(I)知AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC. 如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
设平面A1BC1的法向量为,则,即,
令,则,,所以.
同理可得,平面BCC1的法向量为,所以. 由题知二面角A1-BC1-C为钝角,所以二面角A1-BC1-C的余弦值为.
(III)设D是直线BC1上一点,且. 所以.解得,,.
所以.
由,即.解得.
由于,所以在线段BC1上存在点D,
使得AD⊥A1B. 此时,.

19．（本小题满分13分）
已知椭圆C：的一个焦点与短轴的两个端为的连线相互垂直，椭圆上的点到焦点的最大距离
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）过轴上一点（的直线交椭圆C于A，B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T?若存在，求出的值及点T的坐标，若不存在，请说明理由.

解：（Ⅰ）设椭圆C：的右焦点为
依题目意得：
解得：
所以，椭圆方程为：
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由，得：
此时以为直径的圆的方程为：
当：直线的斜率为0时，直线的方程为
此时以为直径的圆的方程为：
要使定点存在，可知方程联立方程组只有一解，

解得
所以点的坐标为时，可能椭圆上存在定点满足题意.
当过点直线斜率存在时，存在定点满足题意，
设直线的方程为：，
由，得：

此时，

因些，过点直线斜率存在时，以为直径的圆过定点
综上所述：存在定点满足题意。

20.已知函数
（Ⅰ）求函数处的切线方程。
（Ⅱ）若为实数，函数上的有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）试问是否存在，使得恒成立？若存在，请写出的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。
解：（Ⅰ）由于， ……………………………………… 1分
所以函数在处的切线方程为y=1…………………… 3分
（Ⅱ）由于，，由，令，得
当时，；当时，………………………… 4分
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减。
所以函数在处取得极大值。………………………… 5分
由于函数在区间上有极值，
所以，解得。………………………… 7分
（III）由于过点，结合函数的图象可知，当时，直线与函数的图象恒有公共点，不合题意，所以，又，故。
在不等式中，令，得，又，所以。
以下证明，时命题成立，即证恒成立……………… 8分
方法一：由于。（*）
（i）设，则，令，得。
则在区间上单调递减，在区间上单调递增。
所以，即不等式成立。…………………………… 10分
（ii）设，则，
令，得，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减。
所以，即不等式成立。…………………………… 13分
综上可知（*）式成立，即存在，满足题意。……………………… 14分
方法二：，且。（*）
（i）设，。令，得。
则在区间上单调递减，在区间上单调递增。
所以，即恒成立。…………… 10分
（ii）设，则，令，得，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增。
所以，
即恒成立。…………………………… 13分
综上可知（*）式成立，即存在，满足题意。……………………… 14分
21、1、已知矩阵A＝，B＝.
(1)求满足条件AM＝B的矩阵M；
(2)矩阵M对应的变换将曲线C：x2＋y2＝1变换为曲线C′，求曲线C′的方程
解　(1)设M＝，
AM＝＝＝，
得a＝0，b＝2，c＝3，d＝0.∴M＝.
(2)设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P′(x′，y′)，
则M＝＝＝，∴即
代入曲线C：x2＋y2＝1，得()2＋()2＝1.
∴曲线C′的方程是＋＝1.
2、已知在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为.
①求直线一般方程和曲线的直角坐标方程；
②设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.
【答案】①直线的一般方程为：. …………………2分
曲线的直角坐标方程为：【或】.
…………………4分
②曲线的标准方程为，圆心，半径为1；
∴圆心到直线的距离为: …………………6分
所以点到直线的距离的取值范围是 ………………7分
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
设不等式的解集与关于的不等式的解集相同．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时的值.
（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲
解：（Ⅰ）不等式的解集为，
所以，不等式的解集为，．……3分
（Ⅱ）函数的定义域为，明显有，由柯西不等式可得：
，……5分
当且仅当时等号成立,即时,函数取得最大值.…7分

学校 班级 姓名 号数

…………………………密…………封…………线…………内……………不……………要……………答……………题…………………………

2021年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕业班“最终一卷”联考理科数学学科试卷
数学(文)答题卡
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

二、填空题：（本大题共5题，每小题4分，共20分）
11． 12．
13． 14． 15．
三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题13分）

17．（本小题13分）

18．（本小题13分）

19．（本小题13分）

20．（本小题14分）

21．（本小题满分14分）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，共14分．假如多做，则按所做的前两题计分