资源描述
[基础达标]
一、选择题
1．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝( )
A．4×n B．4×n
C．4×n－1 D．4×n－1
解析：选C.(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)⇒a＝5，a1＝4，q＝，故an＝4·n－1.
2．(2022·黄冈市中学高三适应性考试)在等比数列{an}中，若a3a5a7＝8，则a2a8＝( )
A．2 B．－4
C．－2 D．4
解析：选D.由a3a5a7＝a＝2，所以a5＝2，a2·a8＝a＝4，故选D.
3．(2022·四川广元调研)等比数列{an}的公比q>0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝( )
A．－20 B．15
C. D.
解析：选C.由于an＋2＋an＋1＝6an，
所以q2＋q－6＝0，
即q＝2或q＝－3(舍)，所以a1＝.
则S4＝＝.
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为( )
A．12 B．14
C．15 D．16
解析：选D.＝q4＝2，
由a1＋a2＋a3＋a4＝1，
得a1(1＋q＋q2＋q3)＝1，
即a1·＝1，∴a1＝q－1.
又Sn＝15，即＝15，
∴qn＝16.
又∵q4＝2，
∴n＝16.故选D.
5．(2022·山西太原调研)若数列{an}满足an＝qn(q>0，n∈N*)，则以下命题正确的是( )
①{a2n}是等比数列；②{}是等比数列；③{lg an}是等差数列；④{lg a}是等差数列．
A．①③ B．③④
C．①②③④ D．②③④
解析：选C.∵an＝qn(q>0，n∈N*)，
∴{an}是等比数列，
因此{a2n}，{}是等比数列，{lg an}，{lg a}是等差数列．
二、填空题
6．(2021·高考辽宁卷)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.
解析：由于a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且数列{an}是递增的等比数列，所以a1＝1，a3＝4，q＝2，所以S6＝＝63.
答案：63
7．(2022·江苏扬州中学期中测试)设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝4，Sk＝63，则k＝________.
解析：设等比数列{an}公比为q，由已知a1＝1，a3＝4，得q2＝＝4.又{an}的各项均为正数，∴q＝2.而Sk＝＝63，∴2k－1＝63，解得k＝6.
答案：6
8．(2021·高考课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.
解析：当n＝1时，S1＝a1＋，∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋－(an－1＋)
＝(an－an－1)，
∴an＝－2an－1，即＝－2，
∴{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2，
∴an＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.
答案：(－2)n－1
三、解答题
9．已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则由已知得，
∴a1＝0，d＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.
(2)设等比数列{bn}的公比为q，则由已知得q＋q2＝a4.
∵a4＝6，∴q＝2或q＝－3.
∵等比数列{bn}的各项均为正数，
∴q＝2.
∴{bn}的前n项和Tn＝＝＝2n－1.
10．(2022·襄阳市调研)已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn＞kan－2对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
由于an＋1＋an＝9·2n－1，an＋2＋an＋1＝9·2(n＋1)－1，且an＋2＋an＋1＝q(an＋1＋an)，
所以q＝＝2.
在an＋1＋an＝9·2n－1中，取n＝1，得a2＋a1＝9，
即2a1＋a1＝9，解得a1＝3.
则数列{an}的通项公式为an＝3·2n－1，n∈N*.
(2)Sn＝＝＝3(2n－1)．
由Sn＞kan－2，得3(2n－1)＞k·3·2n－1－2，
则k＜＝＝2－.
令f(n)＝2－，f(n)在[1，＋∞)上单调递增，
所以当n＝1时，f(n)有最小值，最小值为f(n)min
＝f(1)＝2－＝，
所以k＜，即实数k的取值范围为.
[力气提升]
一、选择题
1．(2022·山东莱芜模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N*，若数列{cn}满足cn＝ban，则c2 014＝( )
A．92 013 B．272 013
C．92 014 D．272 014
解析：选D.由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，∴an＝3n，bn＝3n.又cn＝ban＝33n，∴c2 014＝33×2 014＝272 014，故选D.
2．若数列{an}满足＝p(p为正常数，n∈N*)，则称{an}为“等方比数列”．甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的充要条件
C．甲是乙的必要条件但不是充分条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析：选C.乙⇒甲，但甲乙，如数列2,2，－2，－2，－2，是等方比数列，但不是等比数列．
二、填空题
3．(2022·北京市海淀区高三上学期期末测试)数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N*，都有＝an，则a3＝________；{an}的前n项和Sn＝________.
解析：∵＝an，
∴an＋m＝an·am，
∴a3＝a1＋2＝a1·a2＝a1·a1·a1＝23＝8；
令m＝1，
则有an＋1＝an·a1＝2an，
∴数列{an}是首项为a1＝2，公比q＝2的等比数列，
∴Sn＝＝2n＋1－2.
答案：8 2n＋1－2
4．(2022·皖南八校联考)已知数列{an}是等比数列，a1，a2，a3依次位于下表中第一行，其次行，第三行中的某一格内，又a1，a2，a3中任何两个都不在同一列，则an＝________(n∈N*).
第一列
其次列
第三列
第一行
1
10
2
其次行
6
14
4
第三行
9
18
8
解析：观看题中的表格可知a1，a2，a3分别为2,6,18，即{an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＝2·3n－1.
答案：2·3n－1
三、解答题
5．(2022·东北三校联考)已知等比数列{an}的全部项均为正数，首项a1＝1，且a4,3a3，a5成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an＋1－λan}的前n项和为Sn，若Sn＝2n－1(n∈N*)，求实数λ的值．
解：(1)设数列{an}的公比为q，由条件可知q3,3q2，q4成等差数列，∴6q2＝q3＋q4，
解得q＝－3或q＝2，∵q>0，∴q＝2，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．
(2)记bn＝an＋1－λan，则bn＝2n－λ·2n－1＝(2－λ)2n－1，
若λ＝2，则bn＝0，Sn＝0，不符合条件；
若λ≠2，则＝2，数列{bn}为等比数列，首项为2－λ，公比为2，
此时Sn＝(1－2n)＝(2－λ)(2n－1)，
∵Sn＝2n－1(n∈N*)，∴λ＝1.
6．(选做题)(2022·武汉市高三供题)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn；
(3)证明不等式：Sn＋1≤4Sn(n∈N*)．
解：(1)证明：由题设an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.
又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，
于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n，
所以数列{an}的前n项和Sn＝＋.
(3)证明：对任意的n∈N*，
∵Sn＋1－4Sn＝＋－4＝－(3n2＋n－4)≤0.
∴Sn＋1≤4Sn，
所以不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*都成立．
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