2022届高三理科数学一轮复习题组层级快练62-Word版含答案.docx

题组层级快练(六十二)
1．若椭圆＋＝1过点(－2，)，则其焦距为(　　)
A．2　　　　　　　　 B．2
C．4 D．4
答案　D
解析　∵椭圆过(－2，)，则有＋＝1，b2＝4，c2＝16－4＝12，c＝2，2c＝4.故选D.
2．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝16.
知其半径r＝4，∴长轴长2a＝4，∴a＝2.
又e＝＝，∴c＝1，b2＝a2－c2＝4－1＝3.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
3．已知曲线C上的动点M(x，y)，向量a＝(x＋2，y)和b＝(x－2，y)满足|a|＋|b|＝6，则曲线C的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由于|a|＋|b|＝6表示动点M(x，y)到两点(－2,0)和(2,0)距离的和为6，所以曲线C是椭圆且长轴长2a＝6，即a＝3.又c＝2，∴e＝.
4．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为(　　)
A．3 B．3或
C. D.或
答案　B
解析　若焦点在x轴上，则有∴m＝3.
若焦点在y轴上，则有∴m＝.
5．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
答案　B
解析　点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．
6．(2021·广东韶关调研)已知椭圆与双曲线－＝1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由于双曲线的焦点在x轴上，所以设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由于椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以依据椭圆的定义可得2a＝10⇒a＝5，则c＝＝4，e＝＝，故选B.
7．(2021·广东广州二模)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设PF1的中点为M，连接PF2，由于O为F1F2的中点，则OM为△PF1F2的中位线，所以OM∥PF2.

所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.
由于∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|.
由勾股定理，得|F1F2|＝
＝|PF2|.
由椭圆定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|⇒a＝，2c＝|F1F2|＝|PF2|⇒c＝.
所以椭圆的离心率为e＝＝·＝.故选D.
8．(2021·河北邯郸一模)已知P是椭圆＋＝1(0<b<5)上除顶点外一点，F1是椭圆的左焦点，若|＋|＝8，则点P到该椭圆左焦点的距离为(　　)
A．6 B．4
C．2 D.
答案　C
解析　取PF1的中点M，连接OM，＋＝2，∴|OM|＝4.在△F1PF2中，OM是中位线，∴|PF2|＝8.∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，解得|PF1|＝2，故选C.
9．(2021·北京海淀期末练习)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由椭圆方程知c＝＝1，所以F1(－1,0)，F2(1,0)．由于椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y＝，所以y0＝±.
设P(x1，y1)，则＝(x1＋1，y1)，＝(0，y0)，
所以·＝y1y0.
由于点P是椭圆C上的动点，所以－≤y1≤，·的最大值为.故B正确．
10．(2021·河北唐山二模)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线相互垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是(　　)
A．[，1) B．[，]
C．[，1) D．[，1)
答案　C
解析　在椭圆长轴端点向圆引两条切线P′A，P′B，则两切线形成的角∠AP′B最小，若椭圆C1上存在点P令切线相互垂直，则只需∠AP′B≤90°，即α＝∠AP′O≤45°.
∴sinα＝≤sin45°＝，解得a2≤2c2，∴e2≥.
即e≥.而0<e<1，∴≤e<1，即e∈[，1)．
11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
答案　＋＝1
解析　依据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
∵e＝，∴＝.依据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝2，所以椭圆方程为＋＝1.
12．椭圆＋＝1上一点P到左焦点F的距离为6，若点M满足＝(＋)，则||＝________.
答案　2
解析　设右焦点为F′，由＝(＋)知M为线段PF中点，∴||＝||＝(10－6)＝2.
13．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若点A坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
答案　
解析　∵·＝0，∴⊥.
∴||2＝||2－||2＝||2－1.
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，
故||min＝2，∴||min＝.
14．已知点A(4,0)和B(2,2)，M是椭圆＋＝1上一动点，则|MA|＋|MB|的最大值为________．
答案　10＋2
解析　明显A是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A1(－4,0)，连接BA1并延长交椭圆于M1，则M1是使|MA|＋|MB|取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点M有：

|MA|＋|MB|＝2a－|MA1|＋|MB|≤2a＋|A1B|(当M1与M重合时取等号)，∴|MA|＋|MB|的最大值为
2a＋|A1B|＝2×5＋＝10＋2.
15.如右图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.

(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．
答案　(1)　(2)＋＝1
解析　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，
由＝2，解得x＝，y＝－.
代入＋＝1，得＋＝1.
即＋＝1，解得a2＝3.
所以椭圆方程为＋＝1.
16．(2022·新课标全国Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
答案　(1)　(2)a＝7，b＝2
思路　本题主要考查椭圆的方程与基本量，考查椭圆的几何性质与离心率的计算，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查考生的分析转化力气与运算求解力气．
(1)将M，F1的坐标都用椭圆的基本量a，b，c表示，由斜率条件可得到a，b，c的关系式，然后由b2＝a2－c2消去b2，再“两边同除以a2”，即得到离心率e的二次方程，由此解出离心率．若能抓住△MF1F2是“焦点三角形”，则可利用△MF1F2的三边比值快速求解，有：|F1F2|＝2c，|MF2|＝2c×＝c，则|MF1|＝c，由此可得离心率e＝＝.(2)利用“MF2∥y轴”及“截距为2”，可得yM＝＝4，此为一个方程；再转化条件“|MN|＝5|F1N|”为向量形式，可得到N的坐标，代入椭圆得到其次个方程．两方程联立可解得a，b的值．
解析　(1)依据c＝及题设知M，＝，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．
故C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点．
故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28.
故a＝7，b＝2.

1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，b＝4，离心率为.过F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为(　　)
A．10 B．12
C．16 D．20
答案　D
解析　如图，由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a，又

e＝＝，即c＝a，
∴a2－c2＝a2＝b2＝16.
∴a＝5，△ABF2的周长为20.
2．椭圆＋＝1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c.若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由d1＋d2＝2a＝4c，∴e＝＝.
3．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈(，1)，则实数k的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．(3，)
C．(0,3)∪(，＋∞) D．(0,2)
答案　C
解析　当k>4时，c＝，由条件知<<1，解得k>；当0<k<4时，c＝，
由条件知<<1，解得0<k<3，综上知选C.
4．已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A，B，则△ABM的周长为______________．
答案　8
解析　直线y＝k(x＋)过定点N(－，0)，而M，N恰为椭圆＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8.
5．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．
答案　(1)＋＝1　(2)1≤m≤4
解析　(1)由题意知　解之得
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)设P(x0，y0)，且＋＝1，
∴||2＝(x0－m)2＋y
＝x－2mx0＋m2＋12(1－)
＝x－2mx0＋m2＋12
＝(x0－4m)2－3m2＋12(－4≤x0≤4)．
∴||2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为4m.
由题意知，当x0＝4时，||2最小，∴4m≥4，∴m≥1.
又点M(m,0)在椭圆长轴上，∴1≤m≤4.