天津版2022届高三上学期第一次月考-数学理-Word版含答案.docx

第一次月考数学理试题【天津版】

一、选择题：
1．已知是实数，是纯虚数，则等于
A.；B. ；C. ；D.
2．已知的开放式中的系数为,则
A． B． C． D．
3．若实数满足 且的最小值为，则实数的值为
A. ；B．；C.；D.
4．执行如图所示的程序框图，输出的值是

A．3 B．—6
C．10 D．—15

5．如图所示,圆的直径，为圆周上一点，,过点作圆的切线，过点作的垂线，垂足为,则∠
A. B. C. D.
6．已知，，则使成立的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．

7．已知实数，的等差中项为，设，则的最小值为
A．3 B．4 C．5 D．6

8．对于函数，若，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
二、选择题：
9．已知有若干辆汽车通过某一段大路，从中抽取辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间上的汽车大约有 辆.80
时速（km/h）
001
002
003
004
组距
40
50
60
70
80
频率
O
3
3
3
6
正视图
侧视图
俯视图

10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 18

11．在各项均为正数的等比数列中，若，则= ．
12．已知平面上的三个向量，满足，
则的最大值是 3

13．在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为 12

14．设函数若，则函数 的零点个数有 个.4

三、解答题：
15．已知函数，其中，.
（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设的内角的对边分别是，且，，
若，求的面积。
解：（I）……………2分
=……………………4分
的最大值为0；最小正周期为.………………………………………………………6分
（Ⅱ），又，解得…………………8分
又，由正弦定理---------------①，…………9分
由余弦定理，即-------------②…………10分
由①②解得：，.…………………………………………………12分
16．盒中装有个零件，其中个是使用过的，另外个未经使用.
（Ⅰ）从盒中每次随机抽取个零件，每次观看后都将零件放回盒中，求次抽取中恰有次
抽到使用过的零件的概率；
（Ⅱ）从盒中随机抽取个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为，求的分布列和数学期望.
（Ⅰ）解：记“从盒中随机抽取个零件，抽到的是使用过的零件”为大事，
则. ………………2分
所以次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率. ……5分
（Ⅱ）解：随机变量的全部取值为. ………………7分
　　　； ；
. ………………10分
所以，随机变量的分布列为:

………………11分
. ………………13分

16．已知数列中，，前项的和是满足：都有：
其中数列是公差为1的等差数列；
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求 .
都有：，令得：
从而 ，又由于数列是公差为1，所以，
得：，当时，，
检验：时，不满足题设；故通项公式是：
（Ⅱ）当时,，当时,，所以
，符合，故.

18．在四棱锥中，底面是直角梯形，∥，，
，平面平面.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面和平面所成二面角（小于）的大小；
（Ⅲ）在棱上是否存在点使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

（Ⅰ）证明：由于 ，
所以 . ………………………………………1分
由于 平面平面，平面平面，
平面，
所以 平面. ………………………………………3分
（Ⅱ）解：取的中点，连接.
由于，
所以 .
由于 平面平面，平面平面，平面，
所以 平面. ………………………………………4分
如图，以为原点，所在的直线为轴，在平面内过垂直于的直
线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系．不妨设.由
直角梯形中可得，，
.
所以 ，.
设平面的法向量.
由于
所以
即
令，则.
所以 . ………………………………………7分
取平面的一个法向量n.
所以 .
所以 平面和平面所成的二面角（小于）的大小为.
………………………………………9分
（Ⅲ）解：在棱上存在点使得∥平面，此时. 理由如
下： ………………………………………10分
取的中点，连接，，.
则 ∥，.
由于 ，
所以 .
由于 ∥，
所以 四边形是平行四边形.
所以 ∥.
由于 ，
所以 平面∥平面. ………………………………………13分
由于 平面，
所以 ∥平面. ………………………………………14分

19．（本小题满分14分）已知函数
（1）当时，比较与1的大小；
（2）当时，假如函数仅有一个零点，求实数的取值范围；
（3）求证：对于一切正整数，都有
解：（1）当时，，其定义域为…………………1分
由于，所以在上是增函数…………3分
故当时，；当时，；
当时，…………………4分
（2）当时，，其定义域为
，令得，…………6分
由于当或时，；当时，
所以函数在上递增，在上递减，在上递增
且的极大值为，微小值为…………………7分
又当时，；当时，
由于函数仅有一个零点，所以函数的图象与直线仅
有一个交点。所以或…………………9分
（3）方法一：依据（1）的结论知当时，
即当时，，即…………………12分
令，则有
从而得，， …………………13分
故得
即
所以…………………14分

20．已知数列.假如数列满足，，
其中，则称为的“衍生数列”.
（Ⅰ）若数列的“衍生数列”是，求；
（Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；
（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数列，，，…的第项取出，构成数列.
证明：是等差数列.
（Ⅰ）解：. ………………3分
（Ⅱ）证法一：
证明：由已知，，.
因此，猜想. ………………4分
① 当时，，猜想成立；
② 假设时，.
当时，

故当时猜想也成立.
由 ①、② 可知，对于任意正整数，有. ………………7分
设数列的“衍生数列”为，则由以上结论可知
，其中.
由于为偶数，所以，
所以 ，其中.
因此，数列即是数列. ………………9分
证法二：
由于 ，
，
，
……
，
由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得
即，. ………………7分
由于，，
依据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”. ………………9分
（Ⅲ）证法一：
证明：设数列,,中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明即可. ……10分
由（Ⅱ）中结论可知 ，

，
所以，，即成等差数列，
所以是等差数列. ………………13分
证法二：
由于 ，
所以 .
所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可. ………………10分
对于数列及其“衍生数列”，
由于 ，
，
，
……
，
由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，
相加得
即.
设数列的“衍生数列”为，
由于 ，，
所以 ， 即成等差数列.
同理可证，也成等差数列.
即 是等差数列.
所以 成等差数列. ………………13分