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德化一中2022年秋季第三次质检
高三数学（文）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1x1}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{－1,0} C．{0,1} D．{－1,0,1}
2.复数 (i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
3.命题“∃x0∈R，x＋2x0＋20”的否定是( )
A．∃x0∈R，x＋2x0＋2>0 B．∃x0∈R，x＋2x0＋20
C．∀x∈R，x2＋2x＋2>0 D．∀x∈R，x2＋2x＋20
4. 对于平面、和直线、,若，则直线、不行能是( )
相交 平行 异面 垂直
5.下列函数中，在区间(0,＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－ C．y＝ D．y＝x＋
6. 函数是 ( )
A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为π的偶函数
侧视图
4
2
1
俯视图
2
正视图
第8题图
7.函数y＝log5(1－x)的大致图像是( )
8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是( )
A． B． C． D．
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，c＝4，B＝45°，则sinC等于( )
A. B. C. D.
10.设＝(1,2)，＝(a,3)，＝(－b,4)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是( )
A．2 B．4 C．4 D．8
11.函数f(x)＝的图像上关于y轴对称的点共有( )
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
12．若，定义运算“”和“”如下：
，若正数满足：
，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13.直线x＋y＋1＝0的倾斜角是 .
14. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 .
15.已知数列的前项和为，且，则= .
16.如图，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则·＋·的最小值是 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分12分）
已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.
（Ⅰ）若1，a1，a3成等比数列，求a1；
（Ⅱ）若S5a1a9，求a1的取值范围．
18.（本小题满分12分）
已知直线与直线垂直，且过点.
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）若圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，
求圆的标准方程.
19．（本小题满分12分）
如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若·＝0，求sin(α＋β)．
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，平面，底面为正方形，， 为的中点，
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求三棱锥的体积；
（Ⅲ）边上是否存在一点，使得平面.若存在，求的长；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分12分）
某玩具厂生产一种儿童智力玩具，每个玩具的材料成本为20元，加工费为t元(t为常数，且2t5)，出厂价为x元(25x40)，依据市场调查知，日销售量q(单位：个)与ex成反比，且当每个玩具的出厂价为30元时，日销售量为100个．
（Ⅰ）求该玩具厂的日利润y元与每个玩具的出厂价x元之间的函数关系式；
（Ⅱ）若t＝5，则每个玩具的出厂价x为多少元时，该工厂的日利润y最大？并求最大值．
22. （本小题满分14分）
已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ex.
（Ⅰ）若函数φ(x)＝f(x)－，求函数φ(x)的单调区间；
（Ⅱ）设直线l为函数f(x)的图像上一点A(x0，f(x0))处的切线．证明：在区间(1，＋∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y＝g(x)相切．
德化一中2022年秋季第三次质检
高三数学（文）参考答案
1—12: BDCAA,CCDBD,DC 13. 14.7 15.4 16.-2
17． (1)由于数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a＝1×(a1＋2)，
即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2. ……………………………6分
(2)由于数列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9，所以5a1＋10>a＋8a1，
即a＋3a1－10<0，解得－5<a1<2. ……………………………12分
18.解：（Ⅰ）∵与垂直 ∴
∵过点 ∴的方程 即 …………4分
（Ⅱ）设圆的标准方程为
解得： ……………………10分
∴圆的标准方程为 …………………………12分
19．解：(1)由三角函数定义得cos α＝－，sin α＝.
∴原式＝＝＝2cos2α＝2·2＝. …………6分
(2)∵·＝0，∴α－β＝.∴β＝α－，∴sin β＝sin＝－cos α＝，
cos β＝cos＝sin α＝.
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝. ……………………………12分
20.(Ⅰ)证明：平面，
又∵是正方形 ∴∵
∴平面 ……………………………3分
又∵面∴ ……………………………4分
(Ⅱ)解：∵平面，
∴是三棱锥的高 ……………………………5分
∵是的中点
……………………………6分
……………………………8分
(Ⅲ)连结，取中点，连结，延长交于点，
则//平面 ……………………………9分
下面证明之
∵为的中点，是的中点，∴//， ……………10分
又∴//平面…………………………11分
在正方形中， ∵是的中点，
≌
∴所求的长为 ……………………………12分
21．解：(1)设日销量q＝(k≠0)，则由题意得q＝＝100，解得k＝100e30.
∴日销量q＝.∴该玩具厂的日利润y元与每个玩具的出厂价x元之间的函数关系式为y＝(25≤x≤40)．……………………………6分
(2)当t＝5时，y＝(25≤x≤40)，∴y′＝(25≤x≤40)．
由y′>0，得25≤x<26，由y′<0，得26<x≤40.
∴函数在区间[25,26)上单调递增，在区间(26,40]上单调递减．
∴当x＝26时，函数取得最大值，ymax＝100e4. ……………………………12分
22.解：(1)∵φ(x)＝f(x)－＝ln x－，
∴φ′(x)＝＋＝.∵x>0且x≠1，
∴φ′(x)>0，
∴函数φ(x)的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)．……………………………4分
(2)证明：∵f′(x)＝，∴f′(x0)＝.∴切线l的方程为y－ln x0＝(x－x0)．
即y＝x＋ln x0－1.①……………………………6分
设直线l与曲线y＝g(x)相切于点(x1，ex1)，
∵g′(x)＝ex，∴ex1＝，∴x1＝－ln x0.
∴直线l的方程为y－＝(x＋ln x0)．
即y＝x＋＋.②……………………………8分
①－②，得ln x0－1＝＋，∴ln x0＝. ……………………………10分
下证：在区间(1，＋∞)上x0存在且唯一．
由(1)可知，φ(x)＝ln x－在区间(1，＋∞)上递增．
又φ(e)＝ln e－＝<0，
φ(e2)＝ln e2－＝>0，
结合零点存在性定理，说明方程φ(x)＝0必在区间(e，e2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一的x0，故结论成立. ……………………………14分
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