资源描述
习题课
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，假如45°角所对边的长为8，那么30°角所对边的长为( )
A．4 B．4
C．4 D．4
解析：设30°角所对边的长为a，则由正弦定理得＝，解得a＝4.
答案：B
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝120°，则c＝( )
A. B.
C. D.
解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝7，故c＝.
答案：A
3．(2022·上海卷)在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的外形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
解析：由正弦定理及sin2A＋sin2B<sin2C，可得a2＋b2<c2，则cosC＝<0，所以C为钝角，即△ABC为钝角三角形．
答案：C
4．(2022·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝( )
A. B．－
C．± D.
解析：由8b＝5c及正弦定理，得8sinB＝5sinC，又C＝2B，所以8sinB＝5sin2B＝10sinBcosB，即cosB＝，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝.
答案：A
5．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝( )
A．2 B．2
C. D.
解析：由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，则sinB＝sinA，所以＝＝.
答案：D
6．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人能( )
A．不能作出这样的三角形 B．作出一个锐角三角形
C．作出一个直角三角形 D．作出一个钝角三角形
解析：设三角形的三边长分别为a，b，c，则a·＝b·＝c·，于是a∶b∶c＝13∶11∶5，且a为最大边．由余弦定理，得cosA＝－<0，又0<A<π，所以A为钝角．故此人能作出一个钝角三角形．
答案：D
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．(2022·北京卷)在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C的大小为________．
解析：由正弦定理，得＝，则＝，故sinB＝，则B＝或B＝(舍去)，所以C＝π－A－B＝π－－＝.
答案：
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝________.
解析：由sinC＝2sinB及正弦定理，得c＝2b.由a2－b2＝bc，得a2－b2－c2＝bc－c2，即b2＋c2－a2＝c2－bc.由余弦定理，得cosA＝＝＝－＝－＝，所以A＝30°.
答案：30°
9．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．
解析：设AC＝b＝，AB＝c，BC＝a.由正弦定理，得a＝2sinA，c＝2sinC，又A＋C＝120°，所以AB＋2BC＝c＋2a＝2sinC＋4sinA＝2sinC＋4sin(120°－C)＝4sinC＋2cosc＝2sin(C＋θ)，其中tanθ＝，且30°<θ<60°，0°<C<120°，所以30°<C＋θ<180°，当C＋θ＝90°时，AB＋2BC取得最大值2.
答案：2
三、解答题(共46分，写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤．)
10．(本小题15分)在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形．
解：∵＝，∴sinC＝＝＝，
∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
11．(本小题15分)(2022·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．
解：(1)由bsinA＝acosB及正弦定理，得sinBsinA＝sinAcosB，则tanB＝，故B＝.
(2)由sinC＝2sinA及正弦定理，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋4a2－2a·2acos，则a＝，c＝2a＝2.
12．(本小题16分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－.
(1)求sinC的值；
(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．
解：(1)由cos2C＝1－2sin2C＝－及0<C<π，得sinC＝.
(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理＝，得c＝2a＝4，又由cos2C＝2cos2C－1＝－及0<C<π，得cosC＝±.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，则b2±b－12＝0，解得b＝或b＝2.所以b＝，c＝4或b＝2，c＝4.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
