2020-2021学年新课标B版高中数学必修5-综合测试题.docx

必修5综合测试
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列四个选项中，只有一项是符合题意的)
1．已知集合M＝{x|≥0}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N等于(　　)
A．{x|x>1}
B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x<0}
D．∅
解析　∵M＝(－∞，0]∪(1，＋∞)，N＝[1，＋∞)，
∴M∩N＝(1，＋∞)．
答案　A
2．已知数列{an}中，a1＝1,2nan＋1＝(n＋1)an，则数列{an}的通项公式为(　　)
A. B.
C. D.
解析　2a2＝2a1,2×2a3＝3a2,2×3a4＝4a3，…，
2(n－1)an＝nan－1.上述式子相乘，2n－1an＝na1，
∵a1＝1，∴an＝.
答案　B
3．设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}＝x－[x]，则，，(　　)
A．是等差数列但不是等比数列
B．是等比数列但不是等差数列
C．既是等差数列又是等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
解析　可分别求得＝1，＝，则等比数列性质易得三者构成等比数列．
答案　B
4．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝(　　)
A．33 B．72
C．84 D．189
解析　∵a1＋a2＋a3＝21，a1＝3，∴q＝2，或q＝－3.
∵an>0，∴q＝2，a3＋a4＋a5＝(a1＋a2＋a3)q2＝21×4＝84.
答案　C
5．已知a，b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是(　　)
A．a2<b2 B．a2b<ab2
C．2a－2b<0 D.>
解析　∵y＝2x在R上单调递增，a<b，∴2a<2b.
∴2a－2b<0.
答案　C
6．二次方程x2＋(a2＋1)x＋a－2＝0，有一个根比1大，另一个根比－1小，则a的取值范围是(　　)
A．－3<a<1
B．－2<a<0
C．－1<a<0
D．0<a<2
解析　令f(x)＝x2＋(a2＋1)x＋a－2，由题意，可知f(1)<0，f(－1)<0，∴a∈(－1,0)．
答案　C
7．已知O为直角坐标系原点，P，Q的坐标满足不等式组则cos∠POQ的最小值为(　　)
A. B.
C. D．0
解析　画出可行域如图阴影部分，若P，Q在可行域内，则∠POQ∈，结合余弦函数单调性，可知当P，Q位于可行域的边界点时，cos∠POQ最小，由得P(1,7)；
由得Q(4,3)．
所以(cos∠POQ)min＝＝.

答案　A
8．对每一个正整数n，抛物线y＝(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1与x轴相交于An，Bn两点，|AnBn|表示该两点间的距离，则|A1B1| ＋|A2B2|＋…＋|A2009B2009|＝(　　)
A. B.
C. D.
解析　∵|AnBn|＝－，
∴|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|AnBn|＝－＋－＋…＋－＝，
∴|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2009B2009|＝.
答案　D
9．已知函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(－1,3)和(1,1)两点，若0<c<1，则a的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．[2,3) D．[1,3]
解析　∵∴a＋c＝2，c＝2－a.∵0<c<1，∴0<2－a<1，∴1<a<2.
答案　B

10．在△ABC中，已知∠A<∠B(∠B≠90°)，那么下列结论肯定成立的是(　　)
A．cotA<cotB B．tanA<tanB
C．cosA<cosB D．sinA<sinB
解析　∵∠A<∠B，∴a<b，
∵＝，∴sinA<sinB.
答案　D
11．如图，D，C，B三点在地面同始终线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β，α(α<β)，则A点离地面的高度AB＝(　　)

A. B.
C. D.
解析　在△ADC中，∠DAC＝β－α，∴＝，
∴AC＝，∴AB＝AC·sinβ＝，故选A.
答案　A
12．已知a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0<logm(ab)<1，则m的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(0,8) D．(8，＋∞)
解析　∵a，b，a＋b成等差数列，
∴2b＝2a＋b，b＝2a.
∵a，b，ab成等比数列，
∴a≠0，b≠0，b2＝a2b，∴b＝a2.
∴a2＝2a，a＝2，∴b＝4，∴ab＝8.
∵0<logm(ab)<1，∴m>8.
答案　D
二、填空题(每题5分，共4个小题，共20分)
13．函数y＝(x<0)的值域是________．
解析　y＝，∵x<0，∴x＋≤－2.
∴x＋＋1≤－1，∴y∈[－3,0)．
答案　y∈[－3,0)
14．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围为________．
解析　作出该不等式组表示的可行域，∵a>0，且仅在点(3,0)处取得最大值，∴a>.
答案　a>
15．已知△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC的值为________．
解析　∵2S＝absinC＝(a＋b)2－c2，
c2＝a2＋b2＋2ab－absinC，
∴2ab－absinC＝－2abcosC.
∴sinC－2cosC＝2.
∴sin2C＋4cos2C－4sinCcosC＝4.
∴tan2C＋4－4tanC＝4tan2C＋4.
∴3tan2C＋4tanC＝0.
∴tanC＝0(舍)，或tanC＝－.
答案　－
16．①数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n(n∈N*)，则＋＋…＋≥；
②数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则a11＝1023；
③数列{an}满足an＋1＝1－，bn＝(n∈N*)，则数列{bn}是从其次项开头的等比数列；
④已知a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝2n＋1(n∈N*)，则an＝2n－1.
以上命题正确的有________．
解析　∵Sn＝n2＋2n，∴an＝2n＋1，
＋＋…＋＝＋＋…＋≥＝≥，当且仅当n＝1时等号成立，
故①正确；
∵an＋1＝2an－1，∴an＋1－1＝2(an－1)．∴＝2.
∴{an－1}是等比数列，an－1＝2n－1.∴an＝2n－1＋1，
a11＝210＋1＝1025，故②错误；
bn＋1＝＝＝＋2
＝bn＋2，∴{bn}是公差为2的等差数列，故③错误；
④中当n＝1时，a1＝22＝4，不满足an＝2n－1，∴④错误．
答案　①
三、解答题(本题共6小题，共70分，其中17题10分，18、19、20、21、22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a＝，b2＋c2－bc＝3.
(1)求∠A；
(2)设cosB＝，求边c的大小．
解　(1)∵a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴b2＋c2－2bccosA＝3.
∴bc＝2bccosA，∴cosA＝，∴∠A＝.
(2)∵cosB＝，∴sinB＝，∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.
＝，∴c＝＝＝.
18．(12分)在锐角△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且a＝2csinA.
(1)确定∠C的大小；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求a＋b的值．
解　(1)由a＝2csinA及正弦定理，得＝＝，
∵sinA≠0，∴sinC＝.
∴△ABC是锐角三角形，∴∠C＝.
(2)解法1：∵c＝，∠C＝.由面积公式得
absin＝，即ab＝6.①
由余弦定理，得
a2＋b2－2abcos＝7，即a2＋b2－ab＝7.②
由②变形得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.
解法2：前同解法1，联立①、②得
⇔
消去b并整理，得a4－13a2＋36＝0，解得a2＝4，或a2＝9.
所以或故a＋b＝5.
19．(12分)解关于x的不等式>1(其中|a|≠1)．
解　>0⇔(x＋a)[(a－1)x＋1－a]>0.
当a－1>0时，原不等式变为(x＋a)(x－1)>0，其解集为{x|x>1，或x<－a}．
当－1<a<1时，原不等式变为(x＋a)(x－1)<0，其解集为{x|－a<x<1}．
当a<－1时，原不等式变为(x＋a)(x－1)<0，其解集为{x|1<x<－a}．
20．(12分)已知函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)当x<0时，f(x)＝0；
当x≥0时，f(x)＝2x－.
由条件可知，2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0，
解得2x＝1±.∵2x>0，∴x＝log2(1＋)．
(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)．
∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)．
∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]．
故m的取值范围是[－5，＋∞)．
21．(12分)已知数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an(n＝3ax2)．
(1)证明：数列{}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解　(1)∵an＋1＝an＝an，
∴a2＝2×a1，a3＝2×a2，a4＝2×a3，…，
an＝2×an－1.
上述式子相乘，an＝2n－1·na1，∴an＝n·2n－1.
(2)Sn＝1×20＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，
2Sn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，
两式相减，－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n×2n，
∴－Sn＝－n×2n.
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
22．(12分)已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＋＋＋…＋(n为正整数)，求数列{bn}的前n项和Sn.
解　(1)设等差数列{an}的公差为d，则依题设d>0，
由a2＋a7＝16，得2a1＋7d＝16.①
由a3·a6＝55，得(a1＋2d)(a1＋5d)＝55.②
由①得2a1＝16－7d，将其代入②得(16－3d)(16＋3d)＝220，即256－9d2＝220.
∴d2＝4，又d>0，∴d＝2，代入①得a1＝1.
∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.
(2)令cn＝，则有an＝c1＋c2＋…＋cn，
an＋1＝c1＋c2＋…＋cn＋1.
两式相减，得an＋1－an＝cn＋1.
由(1)得a1＝1，an＋1－an＝2.
∴cn＋1＝2，cn＝2(n≥2)，即当n≥2时，bn＝2n＋1.
又当n＝1时，b1＝2a1＝2，∴bn＝
于是Sn＝b1＋b2＋b3…＋bn＝2＋23＋24＋…＋2n＋1＝2＋22＋23＋24＋…＋2n＋1－4＝－4＝2n＋2－6，即Sn＝2n＋2－6.