2020年人教A版数学文(广东用)课时作业：8.6双曲线.docx

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课时提升作业(五十二)
一、选择题
1.（2021·长沙模拟）已知双曲线（a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
2.双曲线 (n＞1)的左、右两个焦点为F1,F2,P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=，则△PF1F2的面积为( )
(A) (B)1 (C)2 (D)4
3.（2021·佛山模拟）已知双曲线mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
4.（2021·东莞模拟）已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为( )
(A) (B)
(C) (D)

5.（2021·中山模拟）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，假如直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
（A） （B） （C） （D）
6.（2022·浙江高考）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M,N是双曲线的两顶点，若M,O,N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )

(A)3 (B)2 (C) (D)
7.已知双曲线 (a>0,b>0)的一个顶点与抛物线y2=20x的焦点重合，该双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线斜率为( )
(A)±2 (B)± (C)± (D)±
8.（力气挑战题）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，的值为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
二、填空题
9.（2021·湛江模拟）若抛物线y=x2在点（1，1）处的切线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率等于_________.
10.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A，B为两个定点，k为非零常数，若|PA|-|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上确定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线与椭圆有相同的焦点．
其中真命题的序号为_________(写出全部真命题的序号)．
11.（力气挑战题）过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点为M,若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为___________.
三、解答题
12.（2021·肇庆模拟）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2,且过点P(4,-).
（1）求双曲线的方程.
（2）若点M(3，m)在双曲线上，求证：=0.
（3）求△F1MF2的面积.
13.（力气挑战题）已知椭圆的左、右两个顶点分别为A，B，曲线C是以A，B两点为顶点，离心率为的双曲线.设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T.
（1）求曲线C的方程.
（2）设点P，T的横坐标分别为x1,x2,
证明：x1·x2=1.
（3）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且≤15，求S12-S22的取值范围.
14.设圆C与两圆(x+)2+y2=4,(x-)2+y2=4中的一个内切，另外一个外切.
（1）求圆C的圆心轨迹L的方程.
（2）已知点M(，），F(,0)，且P为L上动点，求||MP|-|FP||的最大值及此时点P的坐标.

答案解析
1.【解析】选A.由已知得即3b=4a,
∴9b2=16a2⇒9(c2-a2)=16a2⇒,
∴
2.【解析】选B.不妨设点P在双曲线的右支上，则
|PF1|-|PF2|=2，又|PF1|+|PF2|=2,
∴|PF1|=+,|PF2|=-，
又c=,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
∴∠F1PF2=90°,
∴=|PF1||PF2|=1.
3.【解析】选B.由已知双曲线的离心率为2,得：
解得：m=3n,又m>0,n>0,
∴m>n,即,
故由椭圆mx2+ny2=1得
∴所求椭圆的离心率为：
【误区警示】本题极易造成误选而失分，根本缘由是由于将椭圆mx2+ny2=1焦点所在位置弄错，从而把a求错而造成.
4.【解析】选B.由题意可知
解得
所以双曲线的方程为
5.【解析】选D.由于焦点在x轴上与焦点在y轴上的离心率一样，所以不妨设双曲线方程为（a>0,b>0），则双曲线的渐近线的斜率k=±，一个焦点坐标为F(c,0)，一个虚轴的端点为B(0,b)，所以kFB=-，又由于直线FB与双曲线的一条渐近线垂直，所以（k=-明显不符合）,
即b2=ac,c2-a2=ac,所以,c2-a2-ac=0,
即e2-e-1=0，解得e=（负值舍去）.
【变式备选】双曲线 (a＞0,b＞0)的离心率为2,则的最小值
为( )
（A） （B） （C）2 （D）1
【解析】选A.由于双曲线的离心率为2，所以=2，
即c=2a，c2=4a2；
又由于c2=a2+b2，
所以a2+b2=4a2，即b=a，
因此当且仅当a=,即a=时等号成立.
故的最小值为.
6.【解析】选B.设双曲线的方程为 (a1＞0,b1＞0),椭圆的方程为 (a2＞0,b2＞0),
由于M,O,N将椭圆长轴四等分，
所以a2=2a1,又e1=,e2=，
所以
7.【解析】选C.由抛物线y2=20x的焦点坐标为(5,0)，可得双曲线的一个顶点坐标为（5,0），
即得a=5,又由 解得c=.
则b2=c2-a2=,即b=，由此可得双曲线的渐近线的斜率为
8.【解析】选B.设点P(x0,y0)，依题意得，
|F1F2|==4,
,∴|y0|=1,
又∴x02=3(y02+1)=6,
∴=(-2-x0,-y0)·(2-x0,-y0)
=x02+y02-4=3.
9.【解析】由于y′=2x，所以在点（1，1）处的切线斜率为k=2×1=2，
又双曲线的一条渐近线y=-x与其垂直.
所以，（-）×2=-1，得a=2b，
∴离心率
答案：
10.【解析】①错误，当k＞0且k＜|AB|时，表示以A，B为焦点的双曲线的一支；当k＞0且k=|AB|时，表示一条射线；当k＞0且k＞|AB|时，不表示任何图形；当k＜0时，同上．②错误，P是AB中点，且P到圆心与A的距离的平方和为定值．故P的轨迹应为圆．③方程两根为和2,可以作为椭圆和双曲线的离心率，故正确.④由标准方程易求双曲线和椭圆的焦点坐标都为(±，0)，故正确.
答案：③④
11.【思路点拨】设出双曲线方程，表示出点F,A,B的坐标，由点M在圆内部列不等式求解.
【解析】设双曲线的方程为 (a>0,b>0)，右焦点F坐标为F(c,0)，设A（c,）,B(c,- )，
所以以AB为直径的圆的方程为
又点M（-a,0)在圆的内部， 所以有(-a-c)2+0<,
即⇒e2-e-2>0(e=),解得:e>2或e<-1.
又e>1,∴e>2.
答案：(2,+∞)
12.【解析】（1）∵e=,
∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).
∵过点P（4,-）,∴16-10=λ,即λ=6.
∴双曲线方程为x2-y2=6.
（2）方法一：由（1）可知，双曲线中a=b=,
∴c=,∴F1(-,0),F2(,0).
∴
∵点M(3,m)在双曲线上，
∴9-m2=6,m2=3.
故∴MF1⊥MF2.
∴=0.
方法二：∵
∴=-3+m2.
∵M(3,m)在双曲线上，
∴9-m2=6，即m2-3=0.
∴=0.
（3）△F1MF2的底|F1F2|=,
△F1MF2的边F1F2上的高h=|m|=,
∴=6.
13.【解析】（1）依题意可得A（-1，0），B（1，0）.
设双曲线C的方程为（b＞0），
由于双曲线的离心率为5，
所以，即b=2.
所以双曲线C的方程为
（2）设点P（x1,y1）,T(x2,y2)(xi＞0,yi＞0,i=1,2)，直线AP的斜率为k（k＞0），
则直线AP的方程为y=k(x+1)，
联立方程组
整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2-4=0，
解得x=-1或x=，所以x2=
同理可得，x1=，
所以x1·x2=1.
（3）设点P（x1,y1）,T(x2,y2)(xi＞0,yi＞0,i=1,2),
则=（-1-x1,-y1），=（1-x1,-y1），
由于≤15，所以（-1-x1）（1-x1）+y12≤15，即x12+y12≤16，
由于点P在双曲线上，则
所以x12+4x12-4≤16，即x12≤4.
由于点P是双曲线在第一象限内的一点，
所以1＜x1≤2.
由于，
,
所以
=5-x12-4x22.
由（2）知，x1·x2=1，即x2=.
设t=x12，则1＜t≤4，
设f(t)=5-t-,
则
当1＜t＜2时，f′(t)＞0，当2＜t≤4时，f′(t)＜0,
所以函数f(t)在（1，2）上单调递增，在（2，4］上单调递减.
由于f(2)=1,f(1)=f(4)=0，
所以当t=4,即x1=2时，(S12-S22)min=f(4)=0，
当t=2，即时，(S12-S22)max=f(2)=1.
所以S12-S22的取值范围为［0，1］.
14.【解析】（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，由已知得两圆心分别为F1(-,0)，F2(,0).
由题意得R=|CF1|-2=|CF2|+2或R=|CF2|-2=|CF1|+2,
∴||CF1|-|CF2||=4<2=|F1F2|，可知圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线，
设方程为 (a>0,b>0)，
则2a=4,a=2,c=,b2=c2-a2=1,b=1,
所以轨迹L的方程为
（2）∵||MP|-|FP||≤|MF|=2,
当且仅当 (λ>0)时取“=”,
由kMF=-2知直线lMF：y=-2(x-),
联立并整理得15x2-32x+84=0,
解得x=或x=（舍去），
此时P(,-).
所以||MP|-|FP||的最大值为2，此时点P的坐标为(,-).
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