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课时提升作业(二十七)
一、选择题
1.(2021·咸阳模拟)已知△ABC的顶点坐标为A(3,4),B(-2,-1),C(4,5),D在边BC上,且S△ABC=3S△ABD,则AD的长为 ( )
(A) (B)2
(C)3 (D)
2.(2021·吉安模拟)已知a,b,c为非零的平面对量,甲:a·b=a·c,乙:b=c,则甲是乙的 ( )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
3.设P是曲线y=上一点,点P关于直线y=x的对称点为Q,点O为坐标原点,则·= ( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
4.(2021•榆林模拟)在△ABC中，且a•b=b•c=c•a，则△ABC的外形是 ( )
(A)锐角三角形
(B)直角三角形
(C)钝角三角形
(D)等边三角形
5.在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n(m,n∈R),则的值为 ( )
(A) (B)-
(C)2 (D)-2
6.圆C:x2+y2=1,直线l:y=kx+2,直线l与圆C交于A,B,若|+|<|-|(其中O为坐标原点),则k的取值范围是 ( )
(A)(0,) (B)(-,)
(C)(,+∞) (D)(-∞,-)∪(,+∞)
7.设E,F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点,已知AB=3,AC=6,则·的值为 ( )
(A)6 (B)8 (C)10 (D)4
8.(2022·三亚模拟)已知偶函数f(x)满足:f(x)=f(x+2),且当x∈[0,1]时,f(x)=sinx,其图像与直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1,P2,…,则·等于 ( )
(A)2 (B)4 (C)8 (D)16
9.在△ABC中,若向量m=(2,0)与n=(sinB,1-cosB)的夹角为,则角B的大小
为 ( )
(A) (B) (C) (D)
10.(力气挑战题)已知圆O(O为坐标原点)的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,那么·的最小值为 ( )
(A)-4+ (B)-3+
(C)-4+2 (D)-3+2
二、填空题
11.设向量a与b的夹角为θ,a=(3,3),2b-a=(-1,1),则cosθ= .
12.(2021·许昌模拟)在平面直角坐标系xOy中,点P(0,-1),点A在x轴上,点B在y轴非负半轴上,点M满足:=2,·=0,当点A在x轴上移动时,则动点M的轨迹C的方程为 .
13.(力气挑战题)已知开口向上的二次函数f(x)的图象的对称轴为x=2,设向量a=(|x+2|+|2x-1|,1),b=(1,2).则不等式f(a·b)<f(5)的解集为 .
14.在长江南岸渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为 .
三、解答题
15.(2021·淮南模拟)已知A,B,C三点的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cosα,
sinα),其中α∈(,).
(1)若||=||,求角α的值.
(2)若·=-1,求tan(α+)的值.
答案解析
1.【解析】选C.由题意知,=,
设D(x,y),则(x+2,y+1)=(6,6)=(2,2),
∴
∴点D的坐标为(0,1),
∴=(-3,-3),
∴||=3.
2.【解析】选B.由a·b=a·c得a·(b-c)=0,但不愿定得到b=c;反之,当b=c时,
b-c=0,可得a·(b-c)=0,即a·b=a·c.故甲是乙的必要不充分条件.
3.【解析】选C.设P(x1,),则Q(,x1),
·=(x1,)·(,x1)
=x1·+·x1=2.
4. 【解析】选D. 因a,b,c均为非零向量，且a•b=b•c，得b•(a-c)=0b⊥(a-c)，
又a+b+c=0b=-(a+c)，
∴［-(a+c)］•(a-c)=0a2=c2，得|a|=|c|，
同理|b|=|a|，∴|a|=|b|=|c|，
故△ABC为等边三角形.
5.【解析】选D.如图,由条件知△AFE∽△CFB,
故==.
∴AF=AC.
∴=-=-=(+)-=-,
∴m=,n=-.
∴=-2.
6.【思路点拨】利用|+|<|-|⇔(+)2<(-)2进行转化.
【解析】选D.由|+|<|-|两边平方化简得·<0,∴∠AOB是钝角,
所以O(0,0)到kx-y+2=0的距离小于,
∴<,∴k<-或k>,故选D.
【方法技巧】向量与解析几何综合题的解答技巧
平面对量与解析几何相结合主要从以下两个方面进行考查:一是考查向量,需要把用向量语言描述的题目条件转化成几何条件,涉及向量的线性运算,共线、垂直的条件应用等;二是利用向量解决几何问题,涉及推断直线的位置关系,求角的大小及线段长度等.
7.【解析】选C.·=(+)·(+)
=(+)·(-)
=·-||2+·(-)
=||2=×(62+32)=10.
8.【解析】选B.依题意P1,P2,P3,P4四点共线,与同向,且P1与P3,P2与P4的横坐标都相差一个周期,所以||=2,||=2,·=||||=4.
【误区警示】解答本题时简洁忽视与共线导致无法解题.
9.【思路点拨】利用m,n的夹角求得角B的某一三角函数值后再求角B的值.
【解析】选B.由题意得cos=
=,
即=,
∴2sin2B=1-cosB,
∴2cos2B-cosB-1=0,
∴cosB=-或cosB=1(舍去).
∵0<B<π,∴B=π.
10.【思路点拨】引入挂念量,利用向量数量积的定义求得·,再利用基本不等式求最值.
【解析】选D.设||=||=x,∠APB=θ,
则tan=,cosθ=,则·=x2·===x2+1+-3≥2-3,当且仅当x2+1=,即x2=-1时,取“=”,故·的最小值为-3+2,故选D.
11.【解析】a=(3,3),2b-a=(-1,1),∴b=(1,2),
则cosθ===.
答案:
12.【解析】设M(x,y),由=2得点B为MA的中点,所以A(-x,0).
所以=(2x,y),=(-x,1).
由·=0得y=2x2.
所以轨迹C的方程为y=2x2.
答案:y=2x2
13.【思路点拨】由条件求得a·b,利用单调性将问题转化为解不等式的问题.
【解析】由题意知f(x)在[2,+∞)上是增函数,
∵a·b=|x+2|+|2x-1|+2>2,
∴f(a·b)<f(5)⇒a·b<5⇒|x+2|+|2x-1|<3(*),
①当x≤-2时,不等式(*)可化为-(x+2)-(2x-1)<3,
∴x>-,
此时x无解;
②当-2<x<时,不等式(*)可化为
x+2-(2x-1)<3,∴x>0,
此时0<x<;
③当x≥时,不等式(*)可化为
x+2+2x-1<3,∴x<,
此时≤x<.
综上可知不等式f(a·b)<f(5)的解集为(0,).
答案:(0,)
14.【解析】如图所示,渡船速度为,水流速度为,
船实际垂直过江的速度为,依题意知||=,||=25.
∵=+,
∴·=·+,
∵⊥,
∴·=0,
∴25×cos(∠BOD+90°)+()2=0,
∴cos(∠BOD+90°)=-,
∴sin∠BOD=,
∴∠BOD=30°,∴航向为北偏西30°.
答案:北偏西30°
15.【解析】(1)∵=(cosα-3,sinα),
=(cosα,sinα-3),
∴||==,
||=.
由||=||得sinα=cosα,
又α∈(,),∴α=π.
(2)由·=-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1,
∴sinα+cosα=,∴sin(α+)=>0.
又由<α<,
∴<α+<π,
∴cos(α+)=-.
故tan(α+)=-.
【变式备选】已知M(1+cos 2x,1),N(1,sin2x+a)(x∈R,a∈R,a是常数),且y=·(O为坐标原点).
(1)求y关于x的函数关系式y=f(x).
(2)若x∈[0,]时,f(x)的最大值为2021,求a的值.
【解析】(1)y=·=1+cos2x+sin 2x+a,
所以f(x)=cos2x+sin2x+1+a,
即f(x)=2sin(2x+)+1+a.
(2)f(x)=2sin(2x+)+1+a,
由于0≤x≤.
所以≤2x+≤,
当2x+=即x=时f(x)取最大值3+a,
所以3+a=2021,所以a=2010.
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