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双基限时练(十一)
1．在复平面内，复数z＝对应的点位于( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 z＝＝＝－i，∵点(，－)在第四象限．∴复数z对应的点在第四象限．
答案 D
2．复数的值是( )
A.i B．－i
C．i D．－i
解析 ＝＝i.
答案 A
3.等于( )
A．－i B.i
C．－i D．i
解析 ＝＝＝－i.
答案 C
4.等于( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
解析
＝
＝＝－i(1＋2i)
＝2－i.
答案 C
5．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是( )
A．－15 B．－3
C．3 D．15
解析 ＝
＝－1＋3i＝a＋bi，
∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－3.
答案 B
6．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 (m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，由此复数为实数得n2－m2＝0，即n＝±m，故所求的概率为P＝＝.
答案 C
7．复数z满足方程i＝1－i，则z＝________.
解析 ·i＝1－i，∴＝＝＝－i(1－i)＝－1－i，∴z＝－1＋i.
答案 －1＋i
8．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
解析 a＋bi＝＝1＋i，
∴a＋b＝1＋1＝2.
答案 2
9．若z1＝1＋i，z2＝a－i，其中i为虚数单位，且z1·∈R，则实数a＝________.
解析 ∵z1·＝(1＋i)·(a＋i)＝a－1＋(a＋1)i∈R，
∴a＋1＝0，a＝－1.
答案 －1
10．若z＝，则z100＋z50＋1的值是________．
解析 ∵z＝＝＝，
∴z100＋z50＋1＝100＋50＋1
＝50＋25＋1
＝i50＋i25＋1＝－1＋i＋1＝i.
答案 i
11．定义运算＝ad－bc，复数z满足＝1＋i，求z.
解 由题意知，＝i·z－i＝1＋i，∴iz＝1＋2i，∴z＝＝2－i.
12．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A、B、C，若O＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解 由题意知，A，B，C三点在复平面内的坐标分别为(－1,2)，(1，－1)，(3，－4)，
∵O＝λ＋μ，
∴(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)．
∴解得
∴λ＋μ＝1.
13．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)．
由已知条件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
∴2ab＝2.解得a＝b＝1或a＝b＝－1.
∴z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i.
∴A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)．
∴S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i.
z－z2＝－1－3i.
∴A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)．
S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
综上可知△ABC的面积为1.
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设复数z＝cosA＋isinA，且满足|z＋1|＝1.
(1)求复数z；
(2)求的值．
解 (1)∵z＝cosA＋isinA，
∴z＋1＝1＋cosA＋isinA.
∴|z＋1|＝
＝＝1.∴2＋2cosA＝1，
cosA＝－，∴A＝120°.
∴sinA＝，复数z＝－＋i.
(2)由正弦定理，得：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆的半径)．
∴＝.
∵B＝180°－A－C＝60°－C，
∴原式＝＝＝＝＝2.即＝2.
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