湖南省衡阳市八中2021届高三上学期第六次月考试题--数学(文)-Word版含答案.docx

衡阳市八中2021届高三第六次月考试题
文科数学
命题人: 罗欢 、曾令华 审题人: 彭学军

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2．是直线和直线垂直的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．执行下面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是 ( )
A．120 B．720 C．1440 D．5040

a
2a
a
正视图
左视图
俯视图

4．某几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积是（ ）

A． B． C． D．
5．等差数列中，则（ ）
A． B． C． D．
6.下面四个命题中真命题的是（ ）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的确定值越接近于1；
③在回归直线方程＝0.4x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位；
④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大.
A.①④ B.②④ C.①③ D.②③
7.若则=（ ）
A. 1 B. 3 C. D.
8.若函数存在极值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.给出下列命题,其中正确命题的个数为：（ ）
①在区间上，函数，，，中有三个增函数；
②若，则；
③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；
④若函数，则方程有两个实数根.
A.1 B.2 C.3 D.4
10.在△ABC中，a、b、c分别是内角A,B,C所对的边，C=,若且D、E、F三点共线（该直线不过点O），则 △ABC周长的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．
11．设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为________。
12．在边长为2的正△ABC中，则_________。
13.设，其中实数满足，若的最大值为12，则实数_______。
14．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是________。
15．若函数f（x）为定义域D上的单调函数,且存在区间（其中a<b）,使得当x∈[a,b]时,f（x）的取值范围恰为[a,b],则称函数f（x）是D上的“正函数”,若是上的正函数，则实数k的取值范围是 。

三．解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）已知函数sin（ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）将函数图像向右平移个单位得到函数的图像，若 ，且，求的值．

17．（本小题满分12分）某校高三班级文科同学600名，从参与期末考试的同学中随机抽出某班同学（该班共50名同学），并统计了他们的数学成果（成果均为整数且满分为150分），数学成果分组及各组频数如下表：

分组
频数
频率
[45，60）
2
0．04
[60，75）
4
0．08
[75，90）
8
0．16
[90，105）
11
0．22
[105，120）
15
0．30
[120，135）
a
b
[135，150]
4
0．08
合计
50
1
（1）写出a、b的值；
（2）估量该校文科生数学成果在120分以上同学人数；
（3）该班为提高整体数学成果，打算成立“二帮一”小组，即从成果在[135，150]中选两位同学，来挂念成果在[45，60）中的某一位同学．已知甲同学的成果为56分， 乙同学的成果为145分，求甲乙在同一小组的概率．

A
B
C
D
A
B
D
C
图一
图二
18.（本小题满分12分）如图一，是正三角形，是等腰直角三角形，.将沿折起，使得与成直二面角，
如图二，在二面角中
（1）求证：；
（2）求、之间的距离；
（3）求与面所成的角的正弦值。

19．（本小题满分13分）已知圆C的方程为：
（1）求的取值范围；
（2）若圆C与直线交于M、N两点，且，求的值.
（3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分13分）已知等比数列{an}的公比，前n项和为Sn，S3＝7，且，，成等差数列，数列{bn}的前n项和为Tn，，其中N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）设，，，求集合C中全部元素之和．

21．（本小题满分13分）若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，为自然对数的底数）．
（1）求的极值；
（2）函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

衡阳市八中2021届高三第六次月考文科数学参考答案
一选择题：
1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7.D 8.A 9.C 10.B
二填空题：
11. 12. 13. 14. 15.
三解答题：
16.（Ⅰ）由于周期为2π，所以ω＝1，又由于0≤φ≤π，f（x）为偶函数，所以φ＝，则．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）＝cosx．得
g（）= cos（-）=，
== cos（-）=

17.（1）6、0.12 2分
（2）成果在120分以上的有6＋4＝10人，
所以估量该校文科生数学成果在120分以上的同学有： 人. 6分
（3）[45，60）内有2人，记为甲、A．[135，150]内有4人，记为乙、B、C、D．
法一：“二帮一”小组有以下6种分组方法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）、（甲BC，A乙D）、（甲BD，A乙C）、（甲CD，A乙B）．
其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种方法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）．所以甲、乙分到同一组的概率为. 12分
（法二：乙可能和甲或和A分到同一组，且等可能，故甲、乙分到同一组的概率为）

18:⑴面面，面面，面，
面，又面 ………4分

⑵面，面

在中，，
…………8分
⑶取的中点，连结、和
是正三角形
，又面面
面，即是在面内的射影
则为直线与面所成的角 …………10分
，

故直线与面所成的角的正弦值为. …………12分

19解 ：（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5． 3分
（2），即，
所以圆心C（1,2），半径， 4分
圆心C（1,2）到直线的距离 5分
又，，即，． 6分
（3）假设存在实数使得以为直径的圆过原点，则，设，则， 7分
由得， 8分
，即，又由（1）知，
故 9分
10分
11分

12分
故存在实数使得以为直径的圆过原点，． 13分

20.（1）∵，∴ ①
∵，，成等差数列，∴ ② 2分
②－①得，即 ③
又由①得， ④
消去得，，解得或（舍去）
∴ 4分
（2）当N*时，，当时，
∴当时，，即 6分
∴，，， ，
∴，即
∵，∴
故N*） 9分
（3）， 11分
∵A与B的公共元素有1，4，16，64，其和为85，
∴集合C中全部元素之和 13分

21．（1） ，
．
当时，． ------3分
当时，，此时函数递减；
当时，，此时函数递增；
∴当时，取微小值，其微小值为．
（2）解：由（1）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．
设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即．
由，可得当时恒成立．
， 由，得．
下面证明当时恒成立．
令，则
， 当时，．
当时，，此时函数递增；
当时，，此时函数递减；
∴当时，取极大值，其极大值为．
从而，即恒成立
∴函数和存在唯一的隔离直线．