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1.把一副标准的三角板按如图所示进行摆放,则AE∶BE的值为( ).
A.∶ B.∶1
C.∶1 D.2∶1
【解析】∵∠A=30°,∠ABE=45°,∴AE∶BE=sin 45°∶sin 30°=∶1.
【答案】B
2.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°,距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向N处,则这条船航行的速度为( ).
A.海里/小时 B.34海里/小时
C.海里/小时 D.34海里/小时
【解析】如图所示,在△PMN中,PM=68,∠PNM=45°,∠MPN=120°,
由正弦定理可得:=,
∴MN=34,
∴航行速度为海里/小时.
【答案】A
3.据新华社报道,2021年8月,台风“尤特”在我国沿海登陆.台风中心最大风力达到12级以上,大风、降雨给灾区带来严峻的灾难,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20米,则折断点与树干底部的距离是 米.
【解析】如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,
则∠ABO=45°,
∠AOB=75°,∴∠OAB=60°.
由正弦定理知,=,∴AO=(米).
【答案】
4.如图,一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向,30 min后航行到B处,在B处看到灯塔在船的北偏东65°的方向,已知距离此灯塔6.5 n mile以外的区域为航行平安区域,这艘船可以连续向正北方向航行吗?
【解析】在△ABS中,AB=32.2×0.5=16.1 n mile,∠ABS=115°,依据正弦定理,
=,
AS==ABsin ∠ABS×
=16.1×sin 115°×.
S到直线AB的距离是d=AS×sin 20°=16.1×sin 115°××sin 20°≈7.06(n mile),7.06>6.5.
所以这艘船可以连续沿正北方向航行.
5.一艘海轮从A处动身,以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观看灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观看灯塔,其方向是北偏东65°,那么B、C两点间的距离是( ).
A.10海里 B.10海里
C.20海里 D.20海里
【解析】如图所示,由已知条件可得,∠CAB=30°,∠ABC=105°,
∴∠BCA=45°.
又AB=40×=20(海里),
∴由正弦定理可得=,
∴BC==10(海里).
【答案】A
6.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是( ).
A.10米 B.10米
C.10米 D.10米
【解析】在△BCD中,CD=10,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC=30°,由正弦定理可得=,则BC==10.在Rt△ABC中,tan 60°=,则AB=BCtan 60°=10.
【答案】D
7.如图,一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,之后它连续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,且与它相距8 n mile.此船的航速是 n mile/h.
【解析】设航速为v n mile/h,
在△ABS中AB=v,BS=8,∠BSA=45°,
由正弦定理得=,则v=32 (n mile/h).
【答案】32
8.某校在运动会开幕式上进行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最终一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最终一排的距离为10米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒,则升旗手应以多大的速度匀速升旗?
【解析】在△BCD中,∠BDC=45°,∠CBD=30°,CD=10,
由正弦定理,得BC==20.
在Rt△ABC中,AB=BCsin 60°=20×=30(米).
所以升旗速度v===0.6(米/秒).
9.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距 m.
【解析】如图,OM=AOtan 45°=30(m),
ON=AOtan 30°=×30=10(m),
在△MON中,由余弦定理得,
MN=
==10(m).
【答案】10
10.如图,有一位于A处的雷达观测站发觉其北偏东45°,相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶,20分钟后又测得该船只位于A点北偏东45°+θ(其中cos θ=)且与点A相距5海里的位置C处.
(1)求该船的行驶速度.
(2)在A处的正南方20海里E处有一暗礁(不考虑暗礁的面积),假如货船连续前行,它是否有触礁的危急?说明理由.
【解析】(1)由图易知:AB=20,AC=5,cos θ=,
由余弦定理得BC=
==5.
所以货船的行驶速度为v==15(海里/小时).
(2)如图所示,设直线AE与BC的延长线相交于点Q,
在△ABC中,由余弦定理得,
cos B===,
∴sin B=,
sin Q=sin(45°-B)=sin 45°cos B-cos 45°·sin B=,
在△ABQ中,由正弦定理得=,
即=,AQ=20,
故船连续前行有触礁的危急.
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