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双基限时练(二十九)
一、选择题
1．点P到原点O的距离是( )
A. B．1
C. D.
解析 |OP|＝＝1.
答案 B
2．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)的坐标满足方程(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1，则点P的轨迹是( )
A．圆 B．直线
C．球面 D．线段
解析 (x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1表示(x，y，z)到点(2，－1，3)的距离的平方为1，它表示以(2，－1,3)为球心，以1为半径的球面．
答案 C
3．已知点P到三个坐标平面的距离相等，且皆为3，则点P到原点的距离是( )
A．3 B．3
C．3 D．3
解析 |OP|＝＝3.
答案 C
4．已知三角形的三个顶点A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，则△ABC为( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析 ∵|AB|＝＝3，|BC|＝＝，|AC|＝＝3.
∵|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，故选B.
答案 B
5．已知A(1,2，－1)，B(1，t，t)(t∈R)，则|AB|的最小值为( )
A. B．5
C. D.
解析 ∵|AB|＝＝，
∴当t＝时，|AB|min＝.
答案 D
6．到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足( )
A．x＋y＋z＝－1 B．x＋y＋z＝0
C．x＋y＋z＝1 D．x＋y＋z＝4
解析 由题意得(x＋1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2，即：x＋y＋z＝0.
答案 B
二、填空题
7．若点P(x，y，z)到A(2,3,0)，B(5,1,0)的距离相等，则点P的坐标(x，y，z)满足________．
解析 由(x－2)2＋(y－3)2＋z2＝(x－5)2＋(y－1)2＋z2，得6x－4y－13＝0.
答案 6x－4y－13＝0
8．若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，则|AB|的最小值为________，此时A点的坐标为________．
解析 |AB|
＝
＝＝ ，
∴当x＝时，|AB|min＝.
此时A.
答案
9．在xOy平面上的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点(6,5,1)的距离最小，则M点的坐标为________．
解析 设M(t,1－t,0)，则M到(6,5,1)的距离
d＝＝，
∴当t＝1时d取得最小值，
此时M点的坐标为(1,0,0)．
答案 (1,0,0)
三、解答题
10．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使点M到点N(6,5,1)的距离最小．
解 ∵M是xOy平面内的直线x＋y＝1上的点，则设M的坐标为(x,1－x,0)，由两点间的距离公式|MN|＝＝.
∴当x＝1时，|MN|最小，∴M的坐标为(1,0,0)．
11．已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)，
(1)在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；
(2)在xOz平面内的点M到A点与到B点的距离相等，求M点的轨迹．
解 (1)设P(a,0,0)，由|PA|＝|PB|，可知＝，即a2－2a＋6＝a2－4a＋8
得a＝1，∴P点的坐标为(1,0,0)．
(2)设M(x,0，z)，由题意，得
＝，
整理得2x＋6z－2＝0，即x＋3z－1＝0.
∴M点的轨迹是xOz平面内的一条直线．
12．如图所示，已知四棱锥P—ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥面ABCD，设PD＝4，M为PB的中点，N在线段AB上，求当|MN|最短时，N点所处的位置．
解 建立如图所示的直角坐标系，
则A(4,0,0)，B(4,4,0)，
P(0,0,4)．
∵M点为PB的中点，
∴M(2,2,2)．
又N在线段AB上，∴N(4，b,0)(0≤b≤4)．
∴|MN|＝.
∴当b＝2时|MN|min＝＝4.
此时N为AB的中点，
∴当N为AB的中点时|MN|最短．
思 维 探 究
13．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问：
(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?
(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．
解 (1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|，因M在y轴上，可设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得 ＝ ，
明显，此式对任意y∈R恒成立．这就是说y轴上全部点都满足关系|MA|＝|MB|.
(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．
由于|MA|＝＝，
|AB|＝＝，
于是＝，解得y＝±.
故y轴上存在点M使△MAB等边，M坐标为(0，，0)，或(0，－，0)．
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