《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第五章-第1讲-数列的概念与简单表示法.docx

2022高考导航学问点考纲下载数列1.了解数列的概念和几种简洁的表示方法(列表、图象、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数等差数列1.理解等差数列的概念2把握等差数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关学问解决相应的问题4了解等差数列与一次函数的关系等比数列1.理解等比数列的概念2把握等比数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关学问解决相应的问题4了解等比数列与指数函数的关系数列求和把握等差、等比数列的前n项和公式.第1讲数列的概念与简洁表示法1数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：数列：依据确定挨次排列的一列数数列的项：数列中的每一个数(2)数列的分类：分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an(3)数列的通项公式：假如数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式2数列的递推公式假如已知数列an的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an1(n2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式做一做1已知数列an的通项公式为ann28n15，则3()A不是数列an中的项B只是数列an中的第2项C只是数列an中的第6项D是数列an中的第2项或第6项解析：选D.令an3，即n28n153，解得n2或6，故3是数列an中的第2项或第6项2在数列an中，a11，an1(n2)，则a5_答案：1辨明两个易误点(1)数列是按确定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列挨次有关(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号2数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列3an与Sn的关系an.做一做3已知数列an的前n项和Sn2n3，则数列an的通项公式为_解析：当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1(2n3)(2n13)2n2n12n1，a1不适合此等式an.答案：an4若数列an的通项公式为an，那么这个数列是_数列(填“递增”或“递减”或“摇摆”)解析：法一：令f(x)，则f(x)1在(0，)上是增函数，则数列an是递增数列法二：an1an0，an1an，数列an是递增数列答案：递增,同学用书P88P89)_由数列的前几项求数列的通项_写出下面各数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，；(2)，；(3)1，.解(1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，所以an.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(1)n；各项确定值的分母组成数列1，2，3，4，；而各项确定值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为21，偶数项为21，所以an(1)n.也可写为an规律方法用观看法求数列的通项公式的技巧(1)依据数列的前几项求它的一个通项公式，要留意观看每一项的特点，观看出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整(2)依据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想1.依据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4，6，8，10，；(2)，；(3)a，b，a，b，a，b，(其中a，b为实数)；(4)9，99，999，9 999，.解：(1)各数都是偶数，且最小数为4，所以通项公式an2(n1)(nN*)(2)这个数列的前4项的确定值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an(1)n.(3)这是一个摇摆数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式an(4)这个数列的前4项可以写成101，1001，1 0001，10 0001，所以它的一个通项公式an10n1._由an与Sn的关系求通项an(高频考点)_an与Sn关系的应用是高考的常考内容，且多毁灭在选择题或填空题中，有时也毁灭在解答题的已知条件中，难度较小，属简洁题高考对an与Sn关系的考查常有以下两个命题角度：(1)利用an与Sn的关系求通项公式an；(2)利用an与Sn的关系求Sn.(1)已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn()A2n1B.C. D.(2)已知数列an的前n项和为Sn.若Sn2n23n，求an；若Sn3nb，求an.解析(1)由已知Sn2an1，得Sn2(Sn1Sn)，即2Sn13Sn，而S1a11，所以Sn.答案B(2)解：a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5.a1S13b，当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.当b1时，a1适合此等式当b1时，a1不适合此等式当b1时，an23n1；当b1时，an若本例(1)中，结论改为求an，如何求解？解：当n2时，anSnSn12an12an，又由S12a2，得a2，an是从第2项开头的等比数列，an规律方法已知Sn求an的三个步骤：(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1(n2)替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，假如符合，则可以把数列的通项公式合写；假如不符合，则应当分n1与n2两段来写2.(1)数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(n1)，则a6()A344 B3441C45 D451(2)若数列an的前n项和Snn2n1，则它的通项公式an_(3)(2021高考课标全国卷)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.解析：(1) 法一：a11，a23S13，a33S212341，a43S348342，a53S4343，a63S5344.法二：当n1时，an13Sn，则an23Sn1，an2an13Sn13Sn3an1，即an24an1，该数列从第2项开头是以4为公比的等比数列，又a23S13a13，an当n6时，a63462344.(2)a1S112111，当n2时，anSnSn1(n2n1)(n1)2(n1)12n2，an.(3)当n1时，S1a1，a11.当n2时，anSnSn1an(an1)(anan1)，an2an1，即2，an是以1为首项的等比数列，其公比为2，an1(2)n1，即an(2)n1.答案：(1)A(2)(3)(2)n1_由递推公式求数列的通项公式_分别求出满足下列条件的数列的通项公式(1)a10，an1an(2n1)(nN*)；(2)a11，anan1(n2，nN*)解(1)ana1(a2a1)(anan1)013(2n5)(2n3)(n1)2，所以数列的通项公式为an(n1)2.(2)当n2，nN*时，ana11n，当n1时，也符合上式，所以该数列的通项公式为ann.规律方法由数列递推式求通项公式常用方法有：累加法、累积法、构造法形如anpan1m(p、m为常数，p1，m0)时，构造等比数列；形如anan1f(n)(f(n)可求和)时，用累加法求解；形如f(n)(f(n)可求积)时，用累积法求解3.(1)在数列an中，a12，an1an，求an；(2)在数列an中，a11，an12nan，求an.解：(1)an(anan1)(an1an2)(a2a1)a123.(2)由于2n，故21，22，2n1，将这n1个等式叠乘，得212(n1)2，故an2.交汇创新数列与周期函数的交汇(2022高考课标全国卷)数列an满足an1，a82，则a1_解析an1，an1111(1an2)an2，周期T(n1)(n2)3.a8a322a22.而a2，a1.答案名师点评(1)本题是数列与周期函数的交汇，解答此类问题的思路是由递推关系推出数列的周期性，在本题中由an1推出周期为3，由a8a22，即可求出a1.(2)数列是一个特殊的函数，具有函数的一般性质，如单调性、周期性、最值等1下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A1，B1，2，3，4，C1，D1，解析：选C.依据定义，属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C、D，故同时满足要求的是选项C.2(2021海南三亚模拟)在数列1，2，中，2是这个数列的第()A16项B24项C26项 D28项解析：选C.由于a11，a22，a3，a4，a5，所以an.令an2，得n26.故选C.3数列an满足anan1(nN*)，a22，Sn是数列an的前n项和，则S21()A5 B.C. D.解析：选B.anan1，a22，anS2111102.故选B.4(2021吉林一般中学摸底)已知数列an，an2n2n，若该数列是递减数列，则实数的取值范围是()A(，6) B(，4C(，5) D(，3解析：选B.数列an的通项公式是关于n(nN*)的二次函数，若数列是递减数列，则1，即4.5(2021云南昆明一中开学考试)已知数列an满足an1anan1(n2)，a11，a23，记Sna1a2an，则下列结论正确的是()Aa1001，S1005 Ba1003，S1005Ca1003，S1002 Da1001，S1002解析：选A.由于数列an满足an1anan1(n2)，a11，a23，所以a32，a41，a53，a62，a71，a83，由此可知数列中各项满足an6an，且anan1an60.故a100a41，S100a1a2a3a45.6在数列1，0，中，0.08是它的第_项解析：令0.08，得2n225n500，即(2n5)(n10)0.解得n10或n(舍去)a100.08.答案：107已知数列an满足astasat(s，tN*)，且a22，则a8_解析：令st2，则a4a2a24，令s2，t4，则a8a2a48.答案：88在一个数列中，假如nN*，都有anan1an2k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积，已知数列an是等积数列，且a11，a22，公积为8，则a1a2a3a12_解析：依题意得数列an是周期为3的数列，且a11，a22，a34，因此a1a2a3a124(a1a2a3)4(124)28.答案：289已知anan1(n2)，a11.(1)写出这个数列的前5项；(2)由(1)中前5项推想数列的通项公式并证明解：(1)a11，a2a1，a3a2，a4a3，a5a4.(2)猜想an.证明如下：由已知得a2a1，a3a2，anan1，所以ana1.从而an112.10已知数列an的前n项和Sn2n12.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnanan1，求数列bn的通项公式解：(1)当n1时，a1S12222；当n2时，anSnSn12n12(2n2)2n12n2n.由于a1也适合此等式，所以an2n(nN*)(2)由于bnanan1，且an2n，an12n1，所以bn2n2n132n.1跳格玩耍：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为()A8 B13C21 D34解析：选C.设跳到第n个格子的方法种数为an，则到达第n个格子的方法有两类：向前跳1格到达第n个格子，方法种数为an1；向前跳2格到达第n个格子，方法种数为an2，则anan1an2，由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1，1，2，3，5，8，13，21.跳到第8个格子的方法种数是21.故选C.2(2021浙江金丽衢十二校联考)已知函数yf(x)，数列an的通项公式是anf(n)(nN*)，那么“函数yf(x)在1，)上单调递增”是“数列an是递增数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A.若函数yf(x)在1，)上递增，则数列an是递增数列确定成立；反之不成立，现举反例说明：若数列an是递增数列，则函数在1，2上可以先减后增，只要在x1处的函数值比在x2处的函数值小即可故“函数yf(x)在1，)上递增”是“数列an是递增数列”的充分不必要条件3(2021大连双基测试)数列an满足：a13a25a3(2n1)an(n1)3n13(nN*)，则数列an的通项公式an_解析：a13a25a3(2n3)an1(2n1)an(n1)3n13，把n换成n1，得a13a25a3(2n3)an1(n2)3n3，两式相减得an3n.答案：3n4下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是_解析：从题图中可观看星星的构成规律，n1时，有1个，n2时，有3个；n3时，有6个；n4时，有10个；，an1234n.答案：an5已知数列an的前n项和Snn2kn，kN*，且Sn的最大值为8.试确定常数k，并求数列an的通项公式解：由于Snn2kn(nk)2k2，其中k是常数，且kN*，所以当nk时，Sn取最大值k2，故k28，k216，因此k4，从而Snn24n.当n1时，a1S14；当n2时，anSnSn1n.当n1时，1a1，所以ann.6(选做题)已知数列an满足前n项和Snn21，数列bn满足bn，且前n项和为Tn，设cnT2n1Tn.(1)求数列bn的通项公式；(2)推断数列cn的增减性解：(1)a12，anSnSn12n1(n2)bn.(2)cnbn1bn2b2n1，cn1cn0，cn是递减数列