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第11练 函数与方程
1. 【解析】由于f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上有零点,且f(x)为一次函数,所以f(-1)·f(1)<0,即(1-5a)(1+a)<0,所以a>或a<-1.
2. 【解析】由于f(x)=,所以f(4x)-x=-x=-.令f(4x)-x=0,得4x2-4x+1=0,解得x=,这是方程g(x)=0的根,即是函数g(x)的零点.
3. 1 【解析】由于f(x)=ex+x-4,所以f'(x)=ex+1>0,所以函数f(x)在R上单调递增.由于f(1)=e+1-4=e-3<0,f(2)=e2+2-4=e2-2>0,f(1)·f(2)<0,所以k=1.
4. {a|0<a<3} 【解析】由条件可知f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a<3.
5. -和- 【解析】由于函数f(x)=x2-ax-b的两个零点为2和3,所以即a=5,b=-6.所以g(x)=bx2-ax-1=-6x2-5x-1,令g(x)=0,得x=-或-.
6. -6 【解析】由于f(x)是R上的奇函数,图象关于原点对称,所以f(x)的三个零点中,一个是原点,另两个关于原点对称,不妨设为-x0,x0,即f(-x0)=f(x0)=f(0)=0.由于g(x)=f(x+2),设g(x)的零点为x1,所以g(x1)=f(x1+2)=0.所以x1+2=-x0或x1+2=x0或x1+2=0.所以g(x)的全部零点之和为-x0-2-2+x0-2=-6.
7. (0,1) 【解析】作出函数y=f(x)的图象如图.
则当0<k<1时,关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根.
(第7题)
8. 6 【解析】由于f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),所以f(-x)=f(2-x),所以f(x)的最小正周期为2.如图,画出f(x)与g(x)的图象,它们共有6个交点,故h(x)在上的零点个数为6.
(第8题)
9. (1) 由于函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点,所以方程x2-2x+c=0有两个不等的实数根,即Δ=(-2)2-4c>0,解得c<1,故实数c的取值范围是(-∞,1).
(2) 由于函数f(x)=x2-2x+c=(x-1)2+c-1图象的对称轴方程为x=1,
所以函数y=f(x)在区间(-∞,1)上是减函数,
即不论c取何实数,函数y=f(x)在区间(-∞,1)上都是减函数.
(3) 由于函数y=f(x)的图象开口向上,所以要使函数y=f(x)的两个零点异号,只需函数图象在y轴上的截距小于零即可,即f(0)=c<0,所以当c<0时,函数y=f(x)的两个零点异号.
10. 由于Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9a2-16a+8=9+>0,所以若实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可.
f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,
所以a≤-或a≥1.
检验:① 当f(-1)=0时,a=1.
所以f(x)=x2+x.
令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.
方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.
② 当f(3)=0时,a=-,
此时f(x)=x2-x-.
令f(x)=0,即x2-x-=0,
解得x=-或x=3.
方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-.
综上所述,实数a的取值范围是.
11. (1) 方法一:由于g(x)=x+≥2=2e,
当且仅当x=e时等号成立.
故g(x)的值域是[2e,+∞),
因而只需m≥2e,g(x)=m就有零点.即实数m的取值范围为{m|m≥2e}.
方法二:作出g(x)=x+的图象如图(1)所示,
(第11题(1))
可知若使g(x)=m有零点,则只需m≥2e.即实数m的取值范围为{m|m≥2e}.
方法三:由g(x)=m,
得x2-mx+e2=0.
此方程有大于零的根,
故
等价于
故m≥2e.即实数m的取值范围为{m|m≥2e}.
(第11题(2))
(2) 若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)=f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+(x>0)的图象.
由于f(x)=-x2+2ex+t-1=-(x-e)2+t-1+e2.
其对称轴方程为x=e,开口向下,最大值为t-1+e2.
故当t-1+e2>2e,即t>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.所以t的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).
第12练 用导数争辩函数的性质
1. [2,+∞) 【解析】由y'=e-(x>0)知函数在上单调递减,在上单调递增,且函数连续、无上界,从而y=ex-lnx的值域为[2,+∞).
2. (-∞,0) 【解析】依题意得f'(x)=3ax2+=0(x>0)有实根,所以a=-<0.
3. 9 【解析】函数的导数为f '(x)=12x2-2ax-2b,由函数f(x)在x=1处有极值,可知函数f(x)在x=1处的导数值为零,12-2a-2b=0,所以a+b=6,由题意知a,b都是正实数,所以ab≤()2=()2=9,当且仅当a=b=3时取等号.
4. -1 【解析】函数的导数为f'(x)=(n+1)xn,所以在x=1处的切线斜率k=f'(1)=n+1,所以切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得xn=,所以x1x2…x2 012=××…×=,所以log2 013x1+log2 013x2+…+log2 013x2 012=log2 013=-1.
5. [0,1] 【解析】由f(x)=+ln x,得f'(x)=-+=,由f'(x)<0,得0<x<3,所以f(x)的减区间是(0,3].由(m,m+2)⊆(0,3],得实数m的取值范围是[0,1].
6. [-1,1] 【解析】由已知可得f'(x)=a+cosx-sinx=a+cos∈.存在不同的两点A,B,使得曲线y=f(x)在点A,B处的切线相互垂直,即f'(xA)·f'(xB)=-1有解,所以至少有0∈,即-≤a≤.此时只需满足(a-)·(a+)≤-1,解得-1≤a≤1.
7. 2 【解析】f'(x)=1-,由已知,得1-≥0,即a≤2在区间[1,4]上恒成立,所以a≤(2)min=2,
所以amax=2.
8. 【解析】明显x=1时,有|a|≥1,解得a≤-1或a≥1.令g(x)=ax3-ln x,g'(x)=3ax2-=.
①当a≤-1时,对任意x∈(0,1],g'(x)=<0,g(x)在(0,1]上递减,g(x)min=g(1)=a≤-1,此时g(x)∈[a,+∞),|g(x)|的最小值为0,不符合题意.②当a≥1时,对任意x∈(0,1],g'(x)==0时,x=.|g(x)|的最小值为g()=+ln(3a)≥1,解得a≥.所以实数a的取值范围是.
9. (1) 函数f(x)的定义域为(0,+∞).
当a=-2e时,f'(x)=2x-=,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化状况如下表:
x
(0,)
(,+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
微小值
单调递增
所以f(x)的单调减区间是(0,);单调增区间是(,+∞),微小值是f()=0.
(2) 由g(x)=x2+aln x+,得g'(x)=2x+-,
又函数g(x)=x2+aln x+为区间[1,4]上的单调减函数,则g'(x)≤0在[1,4]上恒成立,
即不等式2x+-≤0在[1,4]上恒成立,即a≤-2x2在[1,4]上恒成立.
设φ(x)=-2x2,明显φ(x)在[1,4]上为减函数,
所以φ(x)的最小值为φ(4)=-.所以实数a的取值范围是.
10. (1) f(x)=ax3-4ax2+4ax,f'(x)=3ax2-8ax+4a.令f'(x)=0,得3ax2-8ax+4a=0.
由于a≠0,所以3x2-8x+4=0,所以x=或x=2.
由于a>0,所以当x∈(-∞,)或x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.所以函数f(x)的单调增区间为(-∞,)或(2,+∞);
当x∈(,2)时,f'(x)<0,所以函数f(x)的单调减区间为(,2).
(2) 由于当x∈(-∞,)时,f'(x)>0;
当x∈(,2)时,f'(x)<0;
当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,
所以函数f(x)在x=时取得极大值,即a·(-2)2=32,解得a=27.
11. (1) 由奇函数的对称性可知,我们只要争辩f(x)在区间(-∞,0)上的单调性即可.
f'(x)=2+,令f'(x)=0,得x=-a.
①当a≤0时,f'(x)>0,故f(x)在区间(-∞,0)上单调递增.
②当a>0时,x∈(-∞,-a),f'(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,-a)上单调递增.x∈(-a,0),f'(x)<0,所以f(x)在区间(-a,0)上单调递减.
综上所述,当a≤0时,f(x)的单调增区间为(-∞,0),(0,+∞);当a>0时,f(x)的单调增区间为(-∞,-a),(a,+∞),单调减区间为(-a,0),(0,a).
(2) 由于f(x)为奇函数,所以当x>0时,
f(x)=-f(-x)=-=2x+-1.
①当a<0时,要使f(x)≥a-1对一切x>0成立,即2x+≥a对一切x>0成立.而当x=->0时,有-a+4a≥a,所以a≥0,则与a<0冲突.所以a<0不成立.
②当a=0时,f(x)=2x-1>-1=a-1对一切x>0成立,故a=0满足题设要求.
③当a>0时,由(1)可知f(x)在(0,a)是上单调减函数,在(a,+∞)上是单调增函数.所以f(x)min=f(a)=3a-1>a-1,所以当a>0时也满足题设要求.综上所述,实数a的取值范围是[0,+∞).
第13练 等差数列、等比数列
1. 2 【解析】由题意得2q2-2q=4,解得q=2或q=-1.又数列{an}是单调递增的,得q>1,所以q=2.
2. (8,+∞) 【解析】由题意知得所以ab=8,由于0<logmab<1,所以实数m的取值范围是{m|m>8}.
3. 6 【解析】由于an==1-,所以Sn=n-=n-1+=,所以n=6.
4. 2 【解析】设等比数列{an}的公比为q,由于对任意正整数n,有an+2an+1+an+2=0,即an+2anq+anq2=0,由于an≠0,所以1+2q+q2=0,q=-1,S101==2.
5. 15 【解析】a1+a2+…+a10=-1+4-7+10+…+(-1)10·(3×10-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9·(3×9-2)+(-1)10·(3×10-2)]=3×5=15.
6. 【解析】设数列{an}的公比为q,由于-2S2,S3,4S4成等差数列,所以2S3=-2S2+4S4,即S3=-S2+2S4,S4-S3=S2-S4,所以a4=-a3-a4,即2a4=-a3,所以q==-,又a1=,所以an=×,所以a5=.
7. 【解析】由题意可知第一列首项为,公差d=-=,其次列的首项为,公差d=-=,所以a51=+4×=,
a52=+3×=,所以第5行的公比为q==,所以a53=a52q=×=.由题意知am1=+(m-1)×=,am2=+(m-2)×=,所以第m行的公比为q==,所以amn=am1qn-1=×()n-1=,m≥3.
8. ①②④
9. (1) 设等差数列{an}的公差为d,
由题意可知=·,
即(a1+d)2=a1(a1+3d),从而a1d=d2.
由于d≠0,所以d=a1=a.
故数列{an}的通项公式an=na.
(2) 记Tn=+++…+,由于=2na,
所以Tn==·=.
从而当a>0时,Tn<;当a<0时,Tn>.
10. (1) 由题可知2(a3+2)=a2+a4.由于a2+a4=28-a3,所以2(a3+2)=28-a3,所以a3=8,所以a2+a4=20=+a3q=8=20,解得q=2或q=(舍去),所以an=a3qn-3=8×2n-3=2n.
(2) 由(1)知an=2n,所以an+5=2n+5,bn=log22n+5=n+5,所以b1=6,所以数列{bn}是以6为首项,1为公差的等差数列,所以Sn==,
所以==n+,
所以数列是以6为首项,为公差的等差数列,所以Tn==.
11. (1) 由an+1=4an-3n+1,
得an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N*.
又a1-1=1,所以数列是首项为1,公比为4的等比数列.
(2) 由(1)可知an-n=4n-1,于是数列的通项公式为an=4n-1+n.
所以数列的前n项和Sn=+.
(3) 对任意的n∈N*,
Sn+1-4Sn=+-4=-(3n2+n-4)≤0.
所以不等式Sn+1≤4Sn对任意n∈N*都成立.
第14练 数列的通项、求和
1. an=n(n+1) 【解析】a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n,累加得an=1+2+3+…+n=n(n+1).
2. an= 【解析】=,=,…,=,累(迭)乘得=,所以an=.
3. an=2n+3 【解析】由于an+1-3=2(an-3),所以{an-3}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an-3=2n,所以an=2n+3.
4. -+1 【解析】an-an-1==-,用叠加法得an=-+1.
5. an=4- 【解析】an-an-1==-,所以由叠加法得an=4-.
6. 【解析】由于a3=a1q2,解得q=9,所以an=a1qn-1=3×9n-1=32n-1,所以bn=log3an=log332n-1=2n-1,所以==,所以数列的前n项和Sn=+…+=(1-+-+…+-)==×=.
7. 4n-1 【解析】由于q=an-an-1=-4,b1=a2=-3,所以bn=b1qn-1=-3×(-4)n-1,所以|bn|=|-3×(-4)n-1|=3×4n-1,即{|bn|}是公比为4的等比数列,所以|b1|+|b2|+…+|bn|==4n-1.
8. 【解析】当x=0时,y=.当y=0时,x=,所以三角形的面积Sn=··==-,所以S1+S2+…+S2021=+++…+=1-=.
9. (1) 由-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.由于{an}是正项数列,则an=2n.
(2) 由(1)知an=2n,故
bn===,
所以Tn=
==.
10. (1) 由Sn=,得S1==0,即a1=0.
当n>2时,有an=Sn-Sn-1=an-an-1,
所以an=an-1.
(2) 由(1)知当n>2时,an=××…×××a2=2(n-1).
又a1=0,a2=2也适合上式,
所以an=2(n-1)(n∈N*),
所以Sn==n(n-1),
所以++…+=++…+=1-<1.
11. (1) 由于S1=a1,所以当n=1时,2a1-a1=S1·S1⇒a1=1.
当n>1时,an=Sn-Sn-1=-=2an-2an-1,所以an=2an-1.
所以{an}是首项a1=1,公比q=2的等比数列,所以an=2n-1,n∈N*.
(2) 设Tn=1·a1+2·a2+3·a3+…+n·an ①,
则qTn=1·qa1+2·qa2+3·qa3+…+n·qan,
即qTn=1·a2+2·a3+3·a4+…+n·an+1 ②,
由①-②,得
(1-q)Tn=a1+a2+a3+…+an-nan+1
=a1-nan+1=2n-1-n·2n,
所以Tn=(n-1)·2n+1,n∈N*.
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