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第八章 8.2 第2课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．下面的几何物体中，哪一个正视图不是三角形( )
A．竖放的圆锥 B．三棱锥
C．三棱柱 D．竖放的正四棱锥
答案 C
2．下列几何体各自的三视图中，有且只有两个视图是相同的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．②④
答案 D
解析 正方体的三视图都是正方形，不合题意．
3．一个圆锥的正视图和侧视图均为正三角形，其面积为S，则圆锥侧面面积为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设正三角形边长为a，则a2＝S，∴a2＝.又圆锥母线长为a，底面半径为，∴S圆锥侧＝π··a＝a2＝×＝.
4．已知几何体的三视图(如图)，则这个几何体自上而下依次为( )
A．四棱台，圆台
B．四棱台，四棱台
C．四棱柱，四棱柱
D．不能推断
答案 B
5．若已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
答案 C
解析
如图是△ABC的平面直观图△A′B′C′.作C′D′∥y′轴交x′轴于D′，则C′D′对应△ABC的高CD，
∴CD＝2C′D′＝2··C′O′＝2·a＝a.
而AB＝A′B′＝a，∴S△ABC＝·a·a＝a2.
6．某简洁几何体的一条对角线长为a，在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中，这条对角线的投影都是长为的线段，则a等于( )
A. B.
C．1 D．2
答案 B
解析 可以把该几何体形象为一长方体AC1，设AC1＝a，则由题意知A1C1＝AB1＝BC1＝，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则x2＋y2＝2，y2＋z2＝2，z2＋x2＝2，三式相加得2(x2＋y2＋z2)＝2a2＝6.∴a＝.故选B.
7．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a＝________.
答案
解析 由已知正视图可以知道这个几何体是倒着的直三棱柱，两个底面是等腰的三角形，且底边为2，等腰三角形的高为a，侧棱长为3，结合面积公式可以得到V＝sh＝×2×a×3＝3，解得a＝.
8．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是( )
答案 C
解析 选项A得到的几何体为正方体，其体积为1，故排解1；而选项B、D所得几何体的体积都与π有关，排解B、D；易知选项C符合．
二、填空题
9．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)，则该几何体的体积为________ m3.
答案 4
解析 这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，体积等于×2×4×3＝4.
10．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3.
答案 144
解析 该空间几何体的上部分是底面长为4，高为2的正四棱柱，体积为16×2＝32；下部分是上底面边长为4，下底面边长为8，高为3的正四棱台，体积为×(16＋4×8＋64)×3＝112.故该空间几何体的体积为144.
11．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起形成三棱锥C－ABD，其主视图与俯视图如图所示，则其左视图的面积为________．
答案
解析 由题意可知，左视图为等腰直角三角形，腰长为，故其面积为×()2＝.
12．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为________．
答案
解析 依据三视图的学问及特点，可画出多面体的外形，如图．这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得，可得所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－×(×2×2)×2＝.
13．如图是某几何体的三视图，其中三个视图的轮廓都是边长为1的正方形，则该几何体的体积为________．
答案
解析 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，由题意可知，该几何体可补成正方体，所以其体积为1－××1＝.
三、解答题
14．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图(或称正视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
解析 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V－ABCD.
(1)V＝×(8×6)×4＝64；
(2)该四棱锥有两个侧面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为．
h1＝＝4.另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2＝＝5，因此S侧＝2(×6×4＋×8×5)＝40＋24.
15．如图是某几何体的三视图(单位：cm)．
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
解析 (1)该几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝ (22＋4)(cm2)，所以几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．
拓展练习·自助餐
1．给出下列命题：
①假如一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；
②假如一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；
③假如一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；
④假如一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．
其中正确命题的个数是( )
A． 0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 ①错，如球．②错，如平放的圆柱．③正确．④错．如正四棱台．
2.
用一些棱长是1cm的小正方体堆放成一个几何体，其正视图和俯视图如图所示，则这个几何体的体积最多是( )
A．6cm3 B．7cm3
C．8cm3 D．9cm4
答案 B
3．如图，几何体的主(正)视图和左(侧)视图都正确的是( )
答案 B
解析 左视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A、D排解，而主视时，应当有一条实对角线，且其对角线位置应为B中所示，故选B.
4.
若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A．2 B．1
C. D.
答案 B
解析 由三视图可知，它表示的是一放倒的底面是始终角边为，另始终角边为1的直角三角形，高为的直三棱柱，所以体积为V＝××1×＝1.故选B.
5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
答案 C
解析 结合正视图和侧视图可知，该空间几何体如图所示，故其俯视图为选项C中的图形．
老师备选题
1．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )
A．280 B．292
C．360 D．372
答案 C
解析 该几何体的直观图如图，则所求表面积为S表＝2×(2×8＋8×10＋2×10)＋2×(8×6＋8×2)＝360，故选C.
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