资源描述
一、选择题（每小题4分，共48分，每题只有一项是符合要求的）
1.若p、q是两个简洁命题，“p或q”的否定是真命题，则必有 ( )
A．p真q真 B．p假q假
C．p真q假 D．p假q真
2.已知满足：，，则BC的长 （ ）
A.2 B.1 C.1或2 D.无解
3.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a9＋a11＝30，那么S13的值是 ( )
A．65 B．70 C．130 D．260
4.假如,那么下列不等式成立的是 （ ）
A． B． C． D．
5.设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋1(n∈N*)，则f(n)等于 （ ）
A.(8n－1) B.(8n＋1－1) C.(8n＋3－1) D.(8n＋4－1)
6.目标函数，变量满足，则有 （ ）
A． B． 无最小值
C．无最大值 D．既无最大值，也无最小值
7．若关于的不等式内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2等于 （ ）
A. B．－ C．(－1)n＋1 D．(－1)n
9.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则a6＋a7>0是的 ( )
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10.某校运动会开幕式上进行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最终
A．10 m B．30 m C．10 m D．10 m
11.甲、乙两间工厂的月产值在2010年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值．乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2010年11月份发觉两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂2011年6月份的月产值大小，则有 ( )
A．甲的产值小于乙的产值 B．甲的产值等于乙的产值
C．甲的产值大于乙的产值 D．不能确定
12．已知数列满足：a1＝1，an＋1＝，(n∈N*)，若bn＋1＝(n－λ)，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为 ( ) ( )
A．λ>2 B．λ>3 C．λ<2 D．λ<3
二、填空题 （每小题4分，共16分．将最简答案填在答题纸相应位置）
13．已知命题p：不等式x2＋x＋1≤0的解集为R，命题q：不等式≤0的解集为{x|1<x≤2}，则命题“p∨q”“p∧q”“¬p”“¬q”中真命题的个数有________个．
14.已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．
15.记不等式组所表示的平面区域为,若直线与公共点,则的取值范围是______.
16.如图中,已知点D在BC边上,ADAC,则的长为_______________
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).
17. （本小题10分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a.(1)求；(2)若c2＝b2＋a2，求B.
18. （本小题10分）已知函数=.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ) 若≤的解集包含,求的取值范围.
19. （本小题12分）某渔业公司今年初用万元购进一艘渔船进行捕捞，第一年需要各种费用万元，从其次年开头包括修理费在内，每年所需费用均比上一年增加万元，该船每年捕捞的总收入为万元.
（1）该船捕捞几年开头盈利？（即总收入减去成本及全部费用之差为正值）
（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：
当年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出；
当盈利总额达到最大值时，以万元的价格卖出.问哪一种方案较为合算，请说明理由.
20. （本小题12分）解关于的不等式：.
21. （本小题12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1.数列{bn}满足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an.
(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：数列为等差数列，并求{bn}的通项公式；
(3)设数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在常数λ，使得不等式(－1)nλ＜1＋(n∈N＋)恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
22. (附加题，本小题20分）设数列{bn}满足bn＋2＝－bn＋1－bn(n∈N*)，b2＝2b1.
(1)若b3＝3，求b1的值；
(2)求证数列{bnbn＋1bn＋2＋n}是等差数列；
(3)设数列{Tn}满足：Tn＋1＝Tnbn＋1(n∈N*)，且T1＝b1＝－，若存在实数p，q，对任意n∈N*都有p≤T1＋T2＋T3＋…＋Tn＜q成立，试求q－p的最小值．
参考答案：
三、解答题
17．解：解 (1)由正弦定理，得asin B＝bsin A，
又asin Asin B＋bcos2A＝a，
所以bsin2A＋bcos2A＝a，即b＝a.所以＝.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，
又0°<B<180°，得cos B＝.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.可得cos2B＝.
又cos B>0，故cos B＝，又0°<B<180°，所以B＝45°.
18、【解析】(1)当时,
或或
或
(2)原命题在上恒成立
在上恒成立
在上恒成立
19、
20、解：（1）当a=0时，原不等式可化为-x+1<0，即x>1；
（2）当a≠0时，原不等式可化为a（x-1）<0，
①若a<0，则原不等式可化为（x-1）>0，
由于<0，则有<1，故解得x<或x>1；
②若a>0，则原不等式可化为（x-1）<0，则有
ⅰ.当a>1时，则有<1，故解得<x<1；
ⅱ.当a=1时，则有=1，故此时不等式无解；
ⅲ.当0<a<1时，则有>1，故解得1<x<.
综上分析，得原不等式的解集为：当a<0时，解集为{x|x<或x>1}；
当a=0时，解集为{x|x>1}；
当0<a<1时，解集为{x|1<x<}；
当a=1时，解集为；
当a>1时，解集为{x|<x<1}.
21解析 (1)当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，
由于a1＝1适合通项公式an＝2n－1.
所以an＝2n－1(n∈N＋)．
(2)证明 由于bn＋1－2bn＝8an，
所以bn＋1－2bn＝2n＋2，
即－＝2.
所以是首项为＝1，公差为2的等差数列．
所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以bn＝(2n－1)·2n.
(3)存在常数λ使得不等式(－1)nλ＜1＋(n∈N＋)恒成立．
由于Tn＝1·21＋3·22＋5·23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n①
.
(ⅰ)当n为奇数时，(－1)λ＜1＋，
所以λ＞－1－，即λ＞－＋.
所以当n＝1时，－＋的最大值为－，
所以只需λ＞－.
(ⅱ)当n为偶数时，λ＜1＋，
所以λ＜－，
所以当n＝2时，－的最小值为，
所以只需λ＜.
由(ⅰ)(ⅱ)可知存在－＜λ＜，使得不等式(－1)nλ＜1＋(n∈N＋)恒成立．
22. (1)解 ∵bn＋2＝－bn＋1－bn，
∴b3＝－b2－b1＝－3b1＝3，
∴b1＝－1；(3分)
(2)证明 ∵bn＋2＝－bn＋1－bn①，
∴bn＋3＝－bn＋2－bn＋1②，
②－①得bn＋3＝bn，(5分)
∴(bn＋1bn＋2bn＋3＋n＋1)－(bnbn＋1bn＋2＋n)＝bn＋1bn＋2(bn＋3－bn)＋1＝1为常数，
∴数列{bnbn＋1bn＋2＋n}是等差数列．(7分)
(3)解 ∵Tn＋1＝Tn·bn＋1＝Tn－1bnbn＋1＝Tn－2bn－1bnbn＋1＝…＝b1b2b3…bn＋1
当n≥2时Tn＝b1b2b2…bn(*)，
当n＝1时，T1＝b1适合(*)式
∴Tn＝b1b2b3…bn(n∈N*)． (9分)
∵b1＝－，b2＝2b1＝－1，
b3＝－3b1＝，bn＋3＝bn，
∴T1＝b1＝－，T2＝T1b2＝，
＝(T3n－2＋T3n－1＋T3n)，
∴数列{T3n－2＋T3n－1＋T3n)(n∈N*)是等比数列，
首项T1＋T2＋T3＝且公比q＝，(12分)
记Sn＝T1＋T2＋T3＋…＋Tn，
①当n＝3k(k∈N*)时，
Sn＝(T1＋T2＋T3)＋(T4＋T5＋T6)…＋(T3k－2＋T3k－1＋T3k)
＝＝3，
∴≤Sn＜3；(15分)
②当n＝3k－1(k∈N*)时
Sn＝(T1＋T2＋T3)＋(T4＋T5＋T6)＋…＋(T3k－2＋T3k－1＋T3k)－T3k
＝3－(b1b2b3)k＝3－4·k
∴0≤Sn＜3；(16分)
③当n＝3k－2(k∈N*)时
Sn＝(T1＋T2＋T3)＋(T4＋T5＋T6)＋…＋(T3k－2＋T3k－1＋T3k)－T3k－1－T3k
＝3－(b1b2b3)k－1b1b2－(b1b2b3)k
＝3－k－1－k
＝3－·k，
∴－≤Sn＜3.(18分)
综上得－≤Sn＜3则p≤－且q≥3，
∴q－p的最小值为.(20分)
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