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2021年高中毕业班级其次次质量猜想
文科数学 参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
B
C
B
B
A
D
C
C
D
A
一、选择题
二、填空题 13. 28； 14. 0 ； 15. 10 ； 16. ①②④.
三、解答题
17. 解：(1)由可得， 由于，
所以，当时，， 即：.
数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，（）.……… 6分
（2）.
由对任意恒成立，即实数对恒成立；
设，则当或时，取得最小值为，所以. ……… 12分
18.解解： (Ⅰ) 由题意，所以，
由于，所以则应抽取老师人数应抽取同学人数 …… 5分
（Ⅱ）所抽取的“不赞成改革”的2名老师记为，4名同学记为1,2,3,4，随机选出三人的不同选法有，
，共20种，……… 9分
至少有一名老师的选法有
，
共16种，
至少有一名老师被选出的概率 …… 12分
19.证明（I）取得中点,连接,由于分别为和的中点，
所以又由于,,
所以,, ……… 5分
所以,由于,
所以； ……… 6分
（II）连接,设，则，
由题意知
由于三棱柱侧棱垂直于底面,
所以,
由于,点是的中点，所以,
,……… 9分
要使，
只需即可，
所以,即，
则时，. ……… 12分
20.解:（1）由于椭圆,由题意得
, ，，
解得所以椭圆的方程为 …… 4分
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，
由于，所以有,
设，
当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为。解方程组
得,即, ……… 6分
则△=,即
要使,需,即,
所以,所以又,所以,
所以,即或,由于直线为圆的一条切线,
所以圆的半径为,,,所求的圆为, ……… 10分
此时圆的切线都满足或,
而当切线的斜率不存在时，切线为，与椭圆的两个交点为或满足, 综上, 存在圆心在原点的圆满足条件. …… 12分
21. 解：（Ⅰ）由题意，令解得 由于，所以，
由解得，由解得
从而的单调增区间为，减区间为
所以，， 解得，．……. 5分
（Ⅱ）函数存在零点，即方程有实数根，
由已知,函数的定义域为，当时，，所以，
当时，；当时，，所以，的单调增区间为，减区间为,
所以， 所以，≥1. ……… 9分
令，则. 当时，；当时，
从而在上单调递增，在上单调递减，
所以，， 要使方程有实数根，
只需即可，则. …12分
22. （Ⅰ）证明：连结，由题意知为直角三角形.
由于，，∽，
所以，即.
又，所以. ……… 5分
（Ⅱ）由于是圆的切线，所以，又，所以，
由于，又，所以∽. 所以，得
…… 10分
23. （Ⅰ）由得，
所以曲线可化为，， ……2分
由，得，
所以，所以曲线可化为.……… 4分
（Ⅱ）若曲线，有公共点，则当直线过点时满足要求，此时，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时照旧只有一个公共点，联立，得，
，解得，综上可求得的取值范围是. ……… 10分
24. 解：（I）不等式，即，
当时，即 解得
当时，即 解得
当时，即无解，
综上所述. ……… 5分
（Ⅱ），
令
时，，要使不等式恒成立，
只需即. ……… 10分
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