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第八章 第5节
一、选择题
1．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线－＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是 ( )
A．x2＝4y B．x2＝－4y
C．y2＝－12x D．x2＝－12y
[解析] 由题意得c＝＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.
[答案] D
2．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．假如直线AF的斜率为－，那么|PF|等于( )
A．4 B．8
C．8 D．16
[解析] 设P，则A(－2，y)，
由kAF＝－，即＝－，
得y＝4，
|PF|＝|PA|＝＋2＝8.
[答案] 8
3．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，过焦点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，若直线l的倾斜角为45°，则弦AB的中点坐标为( )
A．(1,0) B．(2,2)
C．(3,2) D．(2,4)
[解析] 依题意得，抛物线C的方程是y2＝4x，直线l的方程是y＝x－1.由消去y得x2－6x＋1＝0，因此线段AB的中点的横坐标是＝3，纵坐标是y＝3－1＝2，所以线段AB的中点坐标是(3,2)，因此选C.
[答案] C
4．(2021·北京东城区期末)已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
[解析] 由题可知抛物线焦点坐标为F(4,0)．过点A作直线AA′垂直于抛物线的准线，垂足为A′，依据抛物线定义知，|AA′|＝|AF|，在△AA′K中，|AK|＝|AA′|，故∠KAA′＝45°，所以直线AK的倾斜角为45°，直线AK的方程为y＝x＋4，代入抛物线方程y2＝16x得y2＝16(y－4)，即y2－16y＋64＝0，解得y＝8.所以△AFK为直角三角形，故△AFK的面积为×8×8＝32.
[答案] D
5．(2021·株洲模拟) 已知直线y＝x－2与圆x2＋y2－4x＋3＝0及抛物线y2＝8x依次交于A，B，C，D四点，则|AB|＋|CD|等于( )
A．10 B．12
C．14 D．16
[解析] 由题可知直线y＝x－2过圆心(2,0)，
抛物线的焦点为(2,0)．
由得x2－12x＋4＝0.
设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝12，x1x2＝4，
所以|AD|＝
＝
＝＝16，
故|AB|＋|CD|＝|AD|－2＝14.故选C.
[答案] C
6．已知抛物线C∶y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为 ( )
A．(2,2) B．(2，－2)
C．(2，±) D．(2，±2)
[解析] 如图所示，由题意，可得|OF|＝1，由抛物线的定义，得|AF|＝|AM|，∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴＝
＝3，∴|AF|＝3|OF|＝3，
∴|AM|＝|AF|＝3，设A
∴＋1＝3，解得y0＝±2.
∴＝2，∴点A的坐标是(2，±2)．
[答案] D
二、填空题
7．设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点B(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
[解析] ∵抛物线的顶点为O(0,0)，
p＝2，∴准线方程为x＝－1，焦点F坐标为(1,0)，∴点P到点B(－1,1)的距离与点P到准线x＝－1的距离之和等于|PB|＋|PF|.
如图，|PB|＋|PF|≥|BF|，当B、P、F三点共线时取得最小值，
此时|BF|＝＝.
[答案]
8．(2021·武汉调研)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点的坐标为(2,2)，则直线l的方程为________．
[解析] 由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以抛物线的方程为y2＝4x.明显当直线的斜率不存在或为零时不满足题意，故设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，其中k≠0，联立方程得消去y得k2x2＋[4k(1－k)－4]x＋4(1－k)2＝0，明显＝2，解得k＝1.故直线l的方程为y＝x.
[答案] y＝x
9．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px (p＞0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则||＝________.
[解析] 过A作AD垂直于x轴于点D，令|FD|＝m，
则|FA|＝2m，p＋m＝2m，m＝p.
∴||＝ ＝p.
[答案] p
三、解答题
10．(2021·厦门模拟)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
[解] (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．
∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则
kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y＝4x1， ①
y＝4x2， ②
∴＝，∴y1＋2＝－(y2＋2)．
∴y1＋y2＝－4.
由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，
∴kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．
11．(2021·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．
(1)假如直线l过抛物线的焦点，求·的值；
(2)假如·＝－4，证明直线l必过肯定点，并求出该定点．
[解] (1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，
消去x得y2－4ty－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)证明：设l：x＝ty＋b代入抛物线y2＝4x，消去x得
y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.
令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2.
∴直线l过定点(2,0)．
∴若·＝－4，则直线l必过肯定点(2,0)．
12．(2021·福建宁德质检)已知点P(1，m)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，F为焦点，且|PF|＝3.
(1)求抛物线C的方程．
(2)过点T(4,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点．
①求·的值；
②若以A为圆心，|AT|为半径的圆与y轴交于M，N两点，求△MNF的面积．
[解] (1)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F.由抛物线的定义得|PF|＝1＋＝3，解得p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)①依题意可设过点T(4,0)的直线l的方程为x＝ty＋4，由可得y2－8ty－32＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝8t，y1y2＝－32，∴x1·x2＝(ty1＋4)(ty2＋4)＝t2y1y2＋4t(y1＋y2)＋16＝16，∴·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝16－32＝－16.②设圆A的半径为r，则r＝|AT|＝＝.又点A到MN的距离为d＝x1，∴|MN|＝2＝2＝8，∴S△MNF＝|MN|·|OF|＝×8×2＝8.
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