【全程复习方略】2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：8.2-直线的交点坐标与距离公式-.docx

温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业(四十四)
直线的交点坐标与距离公式
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2021·泰安模拟)点P(m-n,-m)到直线=1的距离等于(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选A.把直线方程化为nx+my-mn=0,依据点到直线的距离公式得d=
【方法技巧】利用点到直线距离公式的方法
在利用点到直线距离公式时,确定要将直线方程化为一般形式,且尽量不要毁灭系数为分数(或小数)的状况,然后利用公式求解.
2.(2021·莆田模拟)过两直线x-y+1=0和x+y-=0的交点,并与原点的距离等于1的直线有(　　)
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
【解析】选B.由题意得两直线的交点坐标为故该点与原点的距离为1,则符合题意的直线只有1条.
3.不论m为何值时,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点(　　)
A.(1,-) B.(-2,0) C.(2,3) D.(9,-4)
【解题提示】先化成关于参数m的方程,再令其系数及常数均为0求解.
【解析】选D.由(m-1)x+(2m-1)y=m-5,得
(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,所以
得定点坐标为(9,-4).
【加固训练】已知a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点(　　)
A.(-,) B.(,)
C.(,-) D.(,-)
【解析】选C.由a+2b=1,知ax+3y+b=0等价于
(1-2b)x+3y+b=0,即(x+3y)+(1-2x)b=0.
由得
即定点坐标为(,-).
4.已知平面内两点A(1,2),B(3,1)到直线l的距离分别是则满足条件的直线l的条数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.由题知满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条,又由于|AB|=,所以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线,故共3条.
5.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为(　　)
A.(-2,4) B.(-2,-4)
C.(2,4) D.(2,-4)
【解析】选C.点A关于直线y=2x对称的点为(4,-2),且点A关于y=2x对称的点在BC上,于是BC所在的直线方程为3x+y-10=0,由得点C的坐标为(2,4).
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2021·淄博模拟)点P为x轴上的一点,A(1,1),B(3,4),则|PA|+|PB|的最小值是　　　　.
【解析】点A(1,1)关于x轴的对称点A′(1,-1),
则|PA|+|PB|的最小值是线段A′B的长.
答案:
7.若直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离为　　　　.
【解析】由两直线平行的条件得3m=4×6,解得m=8,
此时直线6x+my+14=0的方程可化为3x+4y+7=0,
所以两直线3x+4y-3=0和3x+4y+7=0间的距离为d==2.
答案:2
【误区警示】本题求解时易不将6x+8y+14=0化简,直接求两平行线间的距离,得到d=或的错误,根本缘由是没能把握好两平行线间距离公式的应用条件.
8.若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则m的倾斜角可以是:
①15°;②30°;③45°;④60°;⑤75°.
其中正确答案的序号是　　　　.
【解析】很明显直线l1∥l2,直线l1,l2间的距离为d=,设直线m与直线l1,l2分别相交于点B,A,则|AB|=过点A作直线l垂直于直线l1,垂足为C,则|AC|=d=,则在Rt△ABC中,sin∠ABC=所以∠ABC=30°,又直线l1的倾斜角为45°,所以直线m的倾斜角为45°+30°=75°或45°-30°=15°.
答案:①⑤
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知直线l:3x-y+3=0,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点.
(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.
【解析】设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P′(x′,y′).
由于kPP′·kl=-1,即y'-yx'-x×3=-1.　①
又PP′的中点在直线3x-y+3=0上,
所以3×x'+x2-y'+y2+3=0.　②
由①②得x'=-4x+3y-95,③y'=3x+4y+35.④
(1)把x=4,y=5代入③④得x′=-2,y′=7,
所以P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(-2,7).
(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于l的对称直线方程为-4x+3y-95-3x+4y+35-2=0,化简得7x+y+22=0.
10.已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,在坐标平面内求一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2.
【解析】设点P的坐标为(a,b).
由于A(4,-3),B(2,-1),
所以线段AB的中点M的坐标为(3,-2).
而AB的斜率kAB=-3+14-2=-1,
所以线段AB的垂直平分线的方程为y+2=x-3,
即x-y-5=0.
由于点P(a,b)在直线x-y-5=0上,
所以a-b-5=0.　①
又点P(a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2,
所以|4a+3b-2|5=2,
即4a+3b-2=±10,　②
由①②联立可得a=1,b=-4或a=277,b=-87.
所以所求点P的坐标为(1,-4)或277,-87.
(20分钟　40分)
1.(5分)已知A,B两点分别在两条相互垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上,且线段AB的中点为P(0,),则线段AB的长为(　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
【解析】选C.由已知两直线相互垂直得a=2,所以线段AB中点为P(0,5),且AB为直角三角形AOB的斜边(O为两直线的交点),由直角三角形的性质得|AB|=2|PO|=10.
2.(5分)若m>0,n>0,点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点在直线x-y+2=0上,那么的最小值等于　　　　.
【解题提示】由对称关系求出对称点的坐标,代入直线方程x-y+2=0,然后利用基本不等式求的最小值.
【解析】由题意知(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(1-n,1+m).
则1-n-(1+m)+2=0,即m+n=2.
于是=(m+n)()=×≥×(5+2×2)=,当且仅当n=2m时,等号成立.
答案:
【加固训练】(2021·太原模拟)设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为3,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是(　　)
A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0
C.x-2y+4=0 D. x+y-7=0
【解析】选D.由|PA|=|PB|知点P在AB的垂直平分线上.由点P的横坐标为3,且PA的方程为x-y+1=0,得P(3,4).直线PA,PB关于直线x=3对称,直线PA上的点(0,1)关于直线x=3的对称点(6,1)在直线PB上,所以直线PB的方程为x+y-7=0.
3.(5分)(2021·杭州模拟)已知A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-1,0),F(1,0),一束光线从F点动身射到BC上的D点经BC反射后,再经AC反射,落到线段AE上(不含端点),则直线FD斜率的取值范围为　　　　　　.

【解析】从特殊位置考虑.

由于点A(-2,0)关于直线BC:x+y=2的对称点为
A1(2,4),所以kA1F=4.
由于点E(-1,0)关于直线AC:y=x+2的对称点为
E1(-2,1),点E1(-2,1)关于直线BC:x+y=2的对称点为E2(1,4),此时直线E2F的斜率不存在,
所以kA1F<kFD,即kFD∈(4,+∞).
答案:(4,+∞)
4.(12分)已知△ABC中,A(2,-1),B(4,3),C(3,-2),求:

(1)BC边上的高所在直线方程的一般式.
(2)求△ABC的面积.
【解析】(1)由于kBC=5,所以BC边上的高AD所在直线斜率k=-.
所以AD所在直线方程为y+1=-(x-2).
即x+5y+3=0.
(2)求得BC直线方程为:5x-y-17=0.
点A到直线BC的距离为
|BC|=.S△ABC=3.
【加固训练】将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次,使点A(0,2)与点B(4,0)重合,若此时点C(7,3)与点D(m,n)重合,求m+n的值.
【解析】直线AB的斜率为k=
则线段AB的垂直平分线的斜率为k′=2.
又线段AB的中点坐标为(2,1),
故线段AB的垂直平分线方程为y-1=2(x-2),
即2x-y-3=0.
由已知得点C,D关于线段AB的垂直平分线对称,

5.(13分)(力气挑战题)在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得:
(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大.
(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.
【解析】(1)设B关于l的对称点为B′,AB′的延长线交l于P0,在l上任取一点P(与P0不重合),则|PA|-|PB|=|PA|-|PB′|<|AB′|=|P0A|-|P0B′|=|P0A|-|P0B|,则P0即为所求.易求得直线BB′的方程为x+3y-12=0,

设B′(a,b),则a+3b-12=0, ①
又线段BB′的中点在l上,
故3a-b-6=0. ②
由①②解得a=3,b=3,所以B′(3,3).
所以AB′所在直线的方程为2x+y-9=0.
由可得P0(2,5).
(2)设C关于l的对称点为C′,与(1)同理可得C′
连接AC′交l于P1,在l上任取一点P(异于P1),有|PA|+|PC|=|PA|+|PC′|>
|AC′|=|P1C′|+|P1A|=|P1C|+|P1A|,故P1即为所求.
又AC′:19x+17y-93=0,
联立得P1
【加固训练】在△ABC中,A(0,1),AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y-4=0,AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y-3=0.
(1)求直线AB的方程.
(2)求直线BC的方程.
(3)求△BDE的面积.
【解析】(1)由已知得直线AB的斜率为2,
所以AB边所在的直线方程为y-1=2(x-0),
即2x-y+1=0.
(2)由2x-y+1=0,2x+y-3=0得x=12,y=2.
即直线AB与直线BE的交点为B12,2.
设C(m,n),
则由已知条件得m+2n-4=0,2·m2+n+12-3=0,
解得m=2,n=1,所以C(2,1).
所以BC边所在直线的方程为y-12-1=x-212-2,即2x+3y-7=0.
(3)由于E是线段AC的中点,所以E (1,1).
所以|BE|=12-12+(2-1)2=52,
由2x-y+1=0,x+2y-4=0得x=25,y=95,所以D25,95,
所以D到BE的距离为d=2×25+95-322+12=255,所以S△BDE=12·d·|BE|=110.
关闭Word文档返回原板块