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高考小题分项练(六)
(推举时间：40分钟)
1．在R上定义运算“⊗”：x⊗y＝(1－x)(1＋y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是( )
A．－1<a<1 B．－2<a<0
C．0<a<2 D．－<a<
答案 B
解析 由题意知，(x－a)⊗(x＋a)＝(1－x＋a)(1＋x＋a)＝(1＋a)2－x2<1恒成立，即x2>(1＋a)2－1恒成立，故只要(1＋a)2－1<0恒成立，即a2＋2a<0，解得－2<a<0.
2．已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(ln x)－ln2x的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 当x>1时，ln x>0，sgn(ln x)＝1，
∴f(x)＝1－ln2x，令f(x)＝0，得x＝e满足．
当x＝1时，ln x＝0，sgn(ln x)＝0，
∴f(x)＝－ln2x，令f(x)＝0，得x＝1满足．
当0<x<1时，ln x<0，sgn(ln x)＝－1，
∴f(x)＝－1－ln2x<0，f(x)＝0无解．
∴函数f(x)的零点为x＝1与x＝e.
3．函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使得f(x)在[a，b]上的值域为，则称函数f(x)为“成功函数”．若函数f(x)＝logc(cx＋t) (c>0，c≠1)是“成功函数”，则t的取值范围为( )
A．(0，＋∞) B.
C. D.
答案 D
解析 无论c>1还是0<c<1，f(x)＝logc(cx＋t)都是R上的单调增函数，故应有，则问题可转化为求f(x)＝，即logc(cx＋t)＝，即cx＋t＝在R上有两个不相等的实数根的问题，令＝m (m>0)，则cx＋t＝可化为t＝m－m2，问题进一步可转化为求函数y＝t与y＝m－m2 (m>0)的图象有两个交点的问题，结合图形可得t∈.
4．甲、乙两人玩猜数字玩耍，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个玩耍，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 任意找两人玩这个玩耍，共有6×6＝36种猜字结果，其中满足|a－b|≤1的有如下情形：①若a＝1，则b＝1,2；②若a＝2，则b＝1,2,3；③若a＝3，则b＝2,3,4；④若a＝4，则b＝3,4,5；⑤若a＝5，则b＝4,5,6；⑥若a＝6，则b＝5,6，总共16种，故他们“心有灵犀”的概率为P＝＝.
5．设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是( )
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不行能同时在线段AB的延长线上
答案 D
解析 依题意，若C，D调和分割点A，B，则有＝λ，＝μ，且＋＝2.若C是线段AB的中点，则有＝，此时λ＝.又＋＝2，所以＝0，不行能成立．因此A不对，同理B不对．
当C，D同时在线段AB上时，由＝λ，＝μ知0＜λ＜1,0＜μ＜1，此时＋＞2，与已知条件＋＝2冲突，因此C不对．
若C，D同时在线段AB的延长线上，则＝λ时，λ＞1，＝μ时，μ＞1，此时＋＜2，与已知＋＝2冲突，故C，D不行能同时在线段AB的延长线上．
6．设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y有( )
A．[－x]＝－[x]
B．[2x]＝2[x]
C．[x＋y]≤[x]＋[y]
D．[x－y]≤[x]－[y]
答案 D
解析 特殊值法．令x＝1.5，∵[－1.5]＝－2，－[1.5]＝－1，故A错；[2×1.5]＝3,2[1.5]＝2，故B错；令x＝1.5，y＝0.5，[x＋y]＝2，[x]＋[y]＝1＋0＝1，故C错．
7．函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M(M⊆D)，有x＋l∈D，且f(x＋l)≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数．假如定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝|x－a2|－a2，且f(x)为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是( )
A．－1≤a≤1 B．0<a<1
C．－2<a<2 D．－2≤a≤2
答案 A
解析 x≥0时，函数f(x)＝由于函数f(x)是奇函数，所以函数y＝f(x)的图象大致如下图所示，依据函数图象的平移变换法则可得函数y＝f(x＋4)的图象，大致如下图所示．假如在R上，f(x＋4)≥f(x)恒成立，必需且只需－4＋2a2≤－2a2(横轴上的截距)，即a2≤1，解得－1≤a≤1.特例排解法也可解此题．
8．在平面直角坐标系中，定义d(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|为两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；
②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；
③到M(－1,0)，N(1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x＝0；
④到M(－1,0)，N(1,0)两点的“折线距离”差的确定值为1的点的集合是两条平行线．
其中真命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 C
解析 设到原点的“折线距离”为1的点为(x，y)，则|x|＋|y|＝1，这是以点(1,0)，(0,1)，(－1,0)，(0，－1)为顶点的正方形，故命题①为真命题，命题②为假命题．设到M，N的“折线距离”相等的点为(x，y)，则|x＋1|＋|y|＝|x－1|＋|y|，即|x＋1|＝|x－1|，两边平方即得x＝0，命题③为真命题．设到M，N的“折线距离”差的确定值为1的点为(x，y)，则||x＋1|＋|y|－|x－1|－|y||＝1，即||x＋1|－|x－1||＝1，当x≥1时，不成立，当x≤－1时也不成立，只有当－1<x<1时可能成立，此时||x＋1|－|x－1||＝1，即|2x|＝1，即x＝±，所以命题④为真命题．
9．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产状况下，毁灭乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为( )
A．0.95 B．0.97
C．0.92 D．0.08
答案 C
解析 记抽验的产品是甲级品为大事A，是乙级品为大事B，是丙级品为大事C，这三个大事彼此互斥，因而抽验的产品是正品(甲级)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92，故选C.
10．已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B等于( )
A．16 B．－16
C．a2－2a－16 D．a2＋2a－16
答案 B
解析 ∵f(x)－g(x)＝2x2－4ax＋2a2－8
＝2[x－(a－2)][x－(a＋2)]，
∴H1(x)＝
H2(x)＝
可求得H1(x)的最小值A＝f(a＋2)＝－4a－4，H2(x)的最大值B＝g(a－2)＝－4a＋12，
∴A－B＝－16.故选B.
11．对于平面上的点集Ω，假如连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集．给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：
其中为凸集的是________(写出全部凸集相应图形的序号)．
答案 ②③
解析 图①中连接左顶点和右上顶点的线段不在区域内，故不是凸集，图④中两圆的外公切线不在区域内，也不是凸集，②③符合凸集的定义．
12．设f(x)和g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是________．
答案
解析 f(x)＝x2－3x＋4为开口向上的抛物线，g(x)＝2x＋m是斜率k＝2的直线，可先求出g(x)＝2x＋m与f(x)＝x2－3x＋4相切时的m值．
由f′(x)＝2x－3＝2得切点为，此时m＝－，因此f(x)＝x2－3x＋4的图象与g(x)＝2x＋m的图象有两个交点，只需将g(x)＝2x－向上平移即可．
再考虑区间[0,3]，可得点(3,4)为f(x)＝x2－3x＋4图象上最右边的点，此时m＝－2，所以m∈.
13．在数列{an}中，假如对任意n∈N*都有＝k(k为常数)，则称数列{an}为等差比数列，k称为公差比．现给出下列命题：
①等差比数列的公差比确定不为零；
②等差数列确定是等差比数列；
③若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列；
④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比．
其中正确命题的序号为________．
答案 ①③④
解析 若k＝0，{an}为常数列，分母无意义，①正确；公差为零的等差数列不是等差比数列，②错误；＝3，满足定义，③正确；设an＝a1qn－1(q≠0)，则＝＝q，④正确．
14．已知y＝f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，那么在区间[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠1)有4个根，则k的取值范围为________．
答案 (－，0)
解析 由图象可知，在l1和l2之间的直线都满足与函数图象在区间[－1,3]上有4个交点，且f(x)＝kx＋k＋1过定点(－1,1)，结合图象可知k的取值范围为(－，0)．
15．设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点，在平面α内的全部点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A、B的中位点．现有下列命题：
①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是________．(写出全部真命题的序号)
答案 ①④
解析 ①C到C点距离为0，C在AB上，所以C到AB距离和最小，所以①正确．②斜边上的高的垂足是中位点，所以②错误．③共线的四点的中位点是中间两点连线线段上任何点，所以③错误．④用反证法易证④正确．
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