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第三章测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．sin105°cos105°的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 原式＝sin210°＝－sin30°＝－.
答案 B
2．若sin2α＝，<α<，则cosα－sinα的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析 (cosα－sinα)2＝1－sin2α＝1－＝.
又<α<，
∴cosα<sinα，cosα－sinα＝－＝－.
答案 B
3．已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝，则tan＝( )
A．3 B．2
C．－2 D．－3
答案 D
4．在△ABC中，∠A＝15°，则 sinA－cos(B＋C)的值为( )
A. B.
C. D. 2
解析 在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝π，
sinA－cos(B＋C)
＝sinA＋cosA
＝2(sinA＋cosA)
＝2cos(60°－A)＝2cos45°＝.
答案 A
5．已知tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析 原式＝＝＝.
答案 D
6．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析 ∵sin2A＝sin2B，∴∠A＝∠B，或∠A＋∠B＝.
答案 D
7．设a＝(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝，则( )
A．c<a<b B．b<c<a
C．a<b<c D．b<a<c
解析 a＝sin17°＋cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，
b＝2cos213°－1＝cos26°，
c＝＝cos30°，
∵y＝cosx在(0,90°)内是减函数，
∴cos26°>cos28°>cos30°，即b>a>c.
答案 A
8．三角形ABC中，若∠C>90°，则tanA·tanB与1的大小关系为( )
A．tanA·tanB>1 B. tanA·tanB<1
C．tanA·tanB＝1 D．不能确定
解析 在三角形ABC中，∵∠C>90°，∴∠A，∠B分别都为锐角．
则有tanA>0，tanB>0，tanC<0.
又∵∠C＝π－(∠A＋∠B)，
∴tanC＝－tan(A＋B)＝－<0，
易知1－tanA·tanB>0，
即tanA·tanB<1.
答案 B
9．函数f(x)＝sin2－sin2是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
解析 f(x)＝sin2－sin2
＝cos2－sin2
＝cos2－sin2
＝cos
＝sin2x.
答案 A
10．y＝cosx(cosx＋sinx)的值域是( )
A．[－2,2] B.
C. D.
解析 y＝cos2x＋cosxsinx＝＋sin2x
＝＋
＝＋sin(2x＋)．∵x∈R，
∴当sin＝1时，y有最大值；
当sin＝－1时，y有最小值.
∴值域为.
答案 C
11.的值是( )
A. B.
C. D.
解析 原式＝
＝
＝＝.
答案 C
12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，则cosα的值为( )
A. B.
C.或 D．以上都不对
解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝>0，
∴0<α＋β<，sin(α＋β)＝.
∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝>0，
∴0<2α＋β<，sin(2α＋β)＝.
∴cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]
＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)
＝×＋×＝.
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.
解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，
∴cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ.
∴cosα(sinβ＋cosβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)．
∵β为锐角，∴sinβ＋cosβ≠0，∴cosα＝sinα，∴tanα＝1.
答案 1
14．已知cos2α＝，则sin4α＋cos4α＝________.
解析 ∵cos2α＝，
∴sin22α＝.
∴sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α
＝1－sin22α＝1－×＝.
答案
15.＝________.
解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sinαcos30°＋cosαsin30°＋cosαcos60°－sinαsin60°＝cosα，
∴原式＝＝.
答案
16．关于函数f(x)＝cos(2x－)＋cos(2x＋)，则下列命题：
①y＝f(x)的最大值为；
②y＝f(x)最小正周期是π；
③y＝f(x)在区间上是减函数；
④将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确命题的序号是________．
解析 f(x)＝cos＋cos
＝cos＋sin
＝cos－sin
＝·
＝cos
＝cos，
∴y＝f(x)的最大值为，最小正周期为π，故①，②正确．
又当x∈时，2x－∈[0，π]，∴y＝f(x)在上是减函数，故③正确．
由④得y＝cos2＝cos，故④正确．
答案 ①②③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知向量m＝，n＝(sinx,1)，m与n为共线向量，且α∈.
(1)求sinα＋cosα的值；
(2)求的值．
解 (1)∵m与n为共线向量，
∴×1－(－1)×sinα＝0，
即sinα＋cosα＝.
(2)∵1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2＝，
∴sin2α＝－.
∴(sinα－cosα)2＝1－sin2α＝.
又∵α∈，∴sinα－cosα<0.
∴sinα－cosα＝－.
∴＝.
18．(12分)求证：＝.
证明 左边＝
＝
＝
＝＝
＝＝.
∴原等式成立．
19．(12分)已知cos＝，x∈.
(1)求sinx的值；
(2)求sin的值．
解 (1)解法1：∵x∈，
∴x－∈，
于是sin＝ ＝.
sinx＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×
＝.
解法2：由题设得
cosx＋sinx＝，
即cosx＋sinx＝.
又sin2x＋cos2x＝1，
从而25sin2x－5sinx－12＝0，
解得sinx＝，或sinx＝－，
由于x∈，所以sinx＝.
(2)∵x∈，故
cosx＝－＝－＝－.
sin2x＝2sinxcosx＝－.
cos2x＝2cos2x－1＝－.
∴sin
＝sin2xcos＋cos2xsin
＝－.
20．(12分)已知向量a＝，b＝，c＝(，－1)，其中x∈R.
(1)当a⊥b时，求x值的集合；
(2)求|a－c|的最大值．
解 (1)由a⊥b得a·b＝0，
即coscos－sinsin＝0，
则cos2x＝0，得x＝＋(k∈Z)，
∴x值的集合是.
(2)|a－c|2＝2＋2
＝cos2－2cos＋3＋sin2＋2sin＋1
＝5＋2sin－2cos＝5＋4sin，
则|a－c|2的最大值为9.
∴|a－c|的最大值为3.
21．(12分)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 cm，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．
解
连接OC，设∠COB＝θ，则0°<θ<45°，OC＝1.
∵AB＝OB－OA＝cosθ－AD＝cosθ－sinθ，
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(cosθ－sinθ)·sinθ
＝－sin2θ＋sinθcosθ＝－(1－cos2θ)＋sin2θ
＝(sin2θ＋cos2θ)－
＝cos－.
当2θ－＝0，即θ＝时，Smax＝(m2)．
∴割出的长方形桌面的最大面积为 m2.
22．(12分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最小值．
解 (1)由于f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx.
所以f(x)＝sinωxcosωx＋
＝sin2ωx＋cos2ωx＋
＝sin＋.
由于ω>0，依题意得＝π.所以ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
所以g(x)＝f(2x)＝sin＋.
当0≤x≤，≤4x＋≤.
所以≤sin≤1.
因此1≤g(x)≤.
故g(x)在区间上的最小值为1.
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