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(教师)九年级相似三角形动点问题

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相似三角形动点问题　
一．选择题（共1小题）
1．如图，小正方形的边长均为1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点三角形和△ABC相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（　　）

A．
0.5，2.5
B．
0.5，5
C．
1，2.5
D．
1，5

解：如图所示，△DEF和△GHI分别是面积最小和面积最大的三角形．

因为△DEF，△GHI和△ABC都相似，AB=，DE=1，GH=，
所以它们的相似比为DE：AB=1：，GH：AB=：，
又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而△ABC的面积为2×1=1，
故△DEF和△GHI面积分别为0.5，5．故选B．

二．填空题（共10小题）
2．如图，P是Rt△ABC斜边AB上的动点（P异于A、B），∠C=90°，∠B=30°，过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，当=　或或　时，截得的三角形面积为△ABC面积的．

解：设P（lx）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2，
①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，
∴，
②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，
∴，
③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=
∴，
④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且 ，
∴=，
∴=，
∴当=或或时，截得的三角形面积为Rt△ABC面积的，
故答案为：或或．

3．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CO上，且，若AB=1，设BM=x，当x=　或　时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．

相似三角形的性质；正方形的性质．7，AB=1∴CN=×1=，
∵BM=x，∴CM=1﹣x，
①当CN与BM是对应边时，=，
即=解得x=，
②当CN与AB是对应边时，=，即=，解得x=．
综上所述，x的值是或．故答案为：或．

　4.在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）．
（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有　1　条；
（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=　或或　时，P（lx）截得的三角形面积为△ABC面积的．

分析：
（1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；
（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．
解：（1）存在另外 1 条相似线．
如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；
故答案为：1；

（2）设P（lx）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．
如图2所示，共有4条相似线：
①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；
②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=；
③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；
④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=．
故答案为：或或．

5．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是　3秒或4.8秒　．

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动点型；
分析：
如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．
解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD=t，CE=2t，AE=AC﹣CE=12﹣2t．
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．
∴AD：AB=AE：AC，∴t：6=（12﹣2t）：12∴t=3；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．
∴AD：AC=AE：AB，∴t：12=（12﹣2t）：6，∴t=4.8．
故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．

三．解答题（共19小题）
1．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

动点型．
分析：
首先设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，可得AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），然后分别从当MN∥BC时，△AMN∽△ABC与当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC去分析，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．
解：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似（无此过程不扣分）
设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，
此时，AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），
（1）当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，（1分）
则，即，（3分）
解得t=3；（5分）

（2）当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，（6分）
则，即，（8分）
解得t=4.8；（10分）
故所求t的值为3秒或4.8秒．

2．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D．
①在图甲中，证明：PC=PD；
②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，求△POD与△PDG的面积之比；
（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长．

分析：
（1）①可通过构建全等三角形来求解；②可根据相似比来求面积比．
（2）分两种情况进行讨论：①当C在OA上上时；②当C在OA延长线上时；
解：（1）①证明：过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，得∠HPN=90°
∴∠HPC+∠CPN=90°
∵∠CPN+∠NPD=90∴∠HPC=∠NPD
∵OM是∠AOB的平分线∴PH=PN
又∵∠PHC=∠PND=90°∴△PCH≌△PDN∴PC=PD
②∵PC=PD∴∠PDG=45°
∵∠POD=45°∴∠PDG=∠POD
∵∠GPD=∠DPO∴△POD∽△PDG∴．

（2）①若PC与边OA相交，
∵∠PDE＞∠CDO
令△PDE∽△OCD∴∠CDO=∠PED∴CE=CD
∵CO⊥ED∴OE=OD∴OP=ED=OD=1
②若PC与边OA的反向延长线相交
过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，
∵∠PED＞∠EDC
令△PDE∽△ODC∴∠PDE=∠ODC
∵∠OEC=∠PED∴∠PDE=∠HCP
∵PH=PN，Rt△PHC≌Rt△PND∴HC=ND，PC=PD∴∠PDC=45°
∴∠PDO=∠PCH=22.5°∴∠OPC=180°﹣∠POC﹣∠OCP=22.5°
∴OP=OC．设OP=x，则OH=ON=∴HC=DN=OD﹣ON=1﹣
∵HC=HO+OC=+x∴1﹣=+x∴x=
即OP=

3．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，动点P从A出发以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q也从点A出发以每秒1cm的速度向终点E运动．设运动的时间为t秒．解答下列问题：
（1）当0＜t≤3时，以A、P、Q为顶点的三角形能与△ADE相似吗？（不必说理由）
（2）连接DQ，试求当t为何值时？△ADQ为等腰三角形．
（3）求t为何值时？直线PQ平分矩形ABCD的面积．

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分析：
（1）不能相似，因为相似时，只能∠AQP=90°，∠QPA=30°，而△ADE中的锐角不能为30°；
（2）分为三种情况：①当AD=AQ=3cm时，②当DA=DQ时，过D作DM⊥AE于M，③当QA=QD时，求出AQ长即可；
（3）连接AC，取AC中点O（即AO=OC），当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，根据△ROC≌△POA，求出CR=AP=2t，得出RE=2t﹣2，EQ=5﹣t，根据△RQE∽△PQA得出=，代入求出即可．
解：（1）不能相似；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=6cm，∠ADC=90°，

分为三种情况：①当AD=AQ=3cm时，此时t=3；
②当DA=DQ时，过D作DM⊥AE于M，
在Rt△ADE中，AD=3，DE=DC﹣CE=6cm﹣2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，
由三角形的面积公式得：S△ADE=×AD×DE=AE×DM，∴DM=cm，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM==（cm），
∵DM⊥AQ，AD=DQ，
∴AQ=2AM=cm（三线合一定理），即t=；
③当QA=QD时，
过Q作QN⊥AD于N，
则AN=ND=，
∵∠ADC=∠ANQ=90°∴QN∥DC，
∵DN=AN，∴EQ=AQ=AE=×5cm=cm，即t=
综合上述，当t为3秒或秒或秒时，△ADQ是等腰三角形．

（3）连接AC，取AC中点O（即AO=OC），当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，
∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∴∠OCR=∠OAP，
∵在△ROC和△POA中，
，
∴△ROC≌△POA（ASA），∴CR=AP=2t，
∵CE=2，∴RE=2t﹣2，EQ=5﹣t，
∵DC∥AB，∴△RQE∽△PQA，∴=，
=，
解得：t1=3，t2=0（舍去）．
即t=3秒时，直线PQ平分矩形ABCD的面积．
4．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分．在图上画出所有线段PC，使分割得到的三角形与Rt△OAB相似，并直接写出点C的坐标．

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分析：
根据平行于三角形一边的直线分成的三角形与原三角形相似，可得PC∥AB，PC∥OA时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似，根据网格结构写出此时点C的坐标即可；
又当PC⊥OB时，分割得到的三角形与Rt△OAB也相似，根据网格结构，利用勾股定理求出OB的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长度，再求出AC的长度，从而得到此时点C的坐标．
解：如图，PC∥AB时，△OCP∽△OAB，此时点C的坐标为（3，0），
PC∥OA时，△PCB∽△OAB，此时点C的坐标为（6，4），
PC⊥OB时，△CPB∽△OAB，根据勾股定理得，OB==10，
∵P（3，4）为OB的中点，∴PB=OB=5，∴=，即=，
解得BC=，
AC=AB﹣BC=8﹣=，
此时点C的坐标为（6，），
综上所述，点C的坐标为（3，0），（6，4），（6，）．

5．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

动点型．
分析：
（1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系；
（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在．
解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，
则有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）
解方程，得x1=1，x2=2，（3分）
经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，
所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（4分）
（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，
由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，
因此有或（5分）
即①，或②（6分）
解①，得t=；解②，得t=（7分）
经检验，t=或t=都符合题意，
所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．
6．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6厘米，BC=8厘米，动点P从点A开始在线段AC上以1厘米/秒的速度向点C移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以2厘米/秒的速度向点A移动，当一个动点先运动到终点时，整个运动过程结束．设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）设△APQ的面积为y（厘米2），请你求出y与t的函数关系式，写出自变量t的取值范围，并求出当t为何值时，△APQ的面积最大；
（2）在整个运动过程中，是否会存在以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请你求出此时t的值；若不存在，请你说明理由．
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分析：
（1）根据已知条件求出AB的长，再过点Q作QH⊥AC，交AC与点H，的长△QHA∽△BCA，求出，即可求出QH的值，最后求S△APQ的值；
（2）存在在以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，此小题要分两种情况进行讨论，①当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，求出t的值；②当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，求出t的值，经检验它们都符合题意即可．
解：（1）∵BC=8，AC=6，得AB=10，
∴AP=t，CP=6﹣t，BQ=2t，AQ=10﹣2t，
过点Q作QH⊥AC，交AC与点H，
∴△QHA∽△BCA，∴，∴，∴QH=8﹣t，
∴S△APQ=AP•QH=t（8﹣t）=4t﹣t2；
当t==时，面积有最大值，是4×﹣×（）2=5﹣=；
（2）①当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，
则，∴，∴t=；
②当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，则，则，解得t=，
当t为或时，经检验，它们都符合题意，此时△AQP和△ABC相似，
故存在以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．

　7．如图，在正方形网格上有若干个三角形，找出与△ABC相似的三角形．

分析：
可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．
解：观察可以发现AC=AB，故该三角形中必须有一条边与邻边的比值为．
△EBF中，BF=，EF=，BF=5，
△DIB中，DI=2，DB=2，BI=2，
△HFE中，HF=，HE=2，EF=，
△ABC中，AB=1，AC=，BC=，
计算对应边比值即可求得
△EBF∽△DIB∽△HFE∽△ABC．

8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=10，对角线AC=4，动点E从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，运动时间为t（s）（0≤t≤5）．那么当t为何值时，以A、E、C为顶点的三角形与△ADC相似．

71．
分析：
由于AD∥BC，得∠DAC=∠BCA；若以A、E、C为顶点的三角形与△ADC相似，可得两种情况：
①△ADC∽△CEA，此时对应边AD=AD，则两三角形全等，AD=EC=2；
②△ADC∽△CAE，此时AD：AC=AC：CE，根据所得的比例式，即可求出CE的长；
根据上述两种情况所得出的CE的值，再除以B点的速度，即可求出时间t的值．
解：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA；
①当△ADC∽△CEA时，，即EC=AD=2，t=2÷2=1s；
②当△ADC∽△CAE时，，即CE=AC2÷AD=8，t=8÷2=4s；
故当t为1s或4s时，以A、E、C为顶点的三角形与△ADC相似．

9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M从点A出发，以每秒1cm的速度沿AC向终点C移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？

分析：
根据勾股定理求出AB，根据相似得出两种情况，根据相似得出比例式，代入比例式求出即可．
解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根据勾股定理，得AB==5cm，
以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△AMP∽△ABC时，=，即=，解得t=；
②当△APM∽△ABC时，=时，即=，解得t=，
综上所述，当t=或t=时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似．

选作题
1．在△ABC中，∠C=90°
（1）如图1，P是AC上的点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似．例如：过点P作PD∥BC交AB于D，则截得的△ADP与△ABC相似．请你在图中画出所有满足条件的直线．
（2）如图2，Q是BC上异于点B，C的动点，过点Q作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，直接写出满足条件的直线的条数．（不要求画出具体的直线）

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分析：
（1）根据平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，可以作DP∥BC，PE∥AB；又由有两个角对应相等的三角形相似，可以过点P作PG⊥AB交AC于点G，过点P作∠PFC=∠A即可；
（2）本题需要根据BQ的取值范围不同，所画的直线条数不同讨论即可．
解：（1）如图所示：
（2）当0＜BQ≤时，满足条件的直线有3条；当＜BQ＜6时，满足条件的直线有4条．

2．已知：如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，点A（6，0），∠BAO=30°．
（1）求点B的坐标；
（2）点P是线段AB上的动点，若使△POA为等腰三角形，求点P的坐标；
（3）在第一象限内是否存在点Q，使得以Q、O、B为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：
（1）在直角三角形AOB中，由OA与tan30°的值求出OB的长，即可确定出B的坐标；
（2）P为线段AB上的动点，若使△POA为等腰三角形，则有OP=PA或PA=AO两种情况，如图1所示，①当OP1=P1A时，连接OP1，作P1C1⊥OA，则C1为AO的中点，P1C1为△AOB的中位线，求出P1C1与OC1的长，确定出此时P1的坐标；
②当P2A=AO时，连接OP2，作P2C2⊥OA，可得出P2A=AO=6，∠P2AO=30°，在Rt△P2AC中，求出P2C与AC2的长，进而确定出OC2的长，确定出此时P2的坐标即可；
（3）分三种情况考虑：当∠OBQ为直角时，如图2所示，再分两种情况考虑：①若△BQO∽△OAB；②若△BQO∽△OAB时，分别求出Q的坐标；当∠CQB为直角时，如图3所示，再分两种情况考虑：③过O作OQ⊥AB，此时△QOB∽△OAB，
④若△QBO∽△OAB时，分别求出Q的坐标；当∠BOQ为直角时，经检验不合题意，综上，得到所有满足题意Q的坐标．
解：（1）在Rt△AOB中，OB=OA•tan30°=6×=2，
则B坐标为（0，2）；

（2）P为线段AB上的动点，若使△POA为等腰三角形，则有OP=PA或PA=AO两种情况，如图1所示，
①当OP1=P1A时，连接OP1，作P1C1⊥OA，则C1为AO的中点，P1C1为△AOB的中位线，
∴P1C1=BO=，OC1=OA=3，此时P1（3，）；
②当P2A=AO时，连接OP2，作P2C2⊥OA，
∵P2A=AO=6，∠P2AO=30°，
∴在Rt△P2AC中，P2C=P2A=3，AC2=P2Acos30°=3，
则OC2=OA﹣C2A=6﹣3，即P2（6﹣3，3）；

（3）当∠OBQ为直角时，如图2所示，
①若△BQO∽△OAB，则∠BOQ=∠OAB=30°，
则BQ=OBtan30°=2，即Q（2，2）；
②若△BQO∽△OAB时，则∠BOQ=∠OAB=30°，
BQ=OBtan60°=2×=6，即Q（6，2）；
当∠CQB为直角时，如图3所示，
③过O作OQ⊥AB，此时△QOB∽△OAB，
∠BOQ=∠BAO=30°，
在Rt△OQB中，BQ=OA=，OQ=OBcos30°=3，
∵在Rt△QMO中，∠OQM=30°，
∴OM=OQ=，QM=OQcos30°=，即Q（，）；
④若△QBO∽△OAB时，则∠OBQ=∠OAB=30°，作QN⊥OA，∠QON=30°，如图4所示，
∴QN=OQ=×OB=，ON=OQcos30°=，即Q（，）；
当∠BOQ为直角时，Q在x轴上，不符合要求，
综上，符合题意的点Q有四个，分别为Q1（2，2），Q2（6，2），Q3（，），Q4（，）．

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