河南省郑州市届高中毕业年级第二次质量预测(理数)教程文件.doc

河南省郑州市2017届高中毕业年级第二次质量预测(理数)

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河南省郑州市2017届高中毕业年级第二次质量预测
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试时间120分钟，满分150分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数，则集合中元素的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．无数
2．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．要计算的结果，下面程序框图中的判断框内可以填（ ）

A． B． C． D．
4．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．，函数都不是偶函数
B．，，使
C．向量，，则在方向上的投影为2
D．“”是“”的既不充分又不必要条件
6．在区间上任取实数，在区间上任取实数，使函数有两个相异零点的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列满足（），，，为数列的前 项和，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数，满足则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知空间四边形，满足，，，，则 的值（ ）
A． B． C． D．
10．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）
A．72 B．120 C．192 D．240
11．已知为双曲线上任一点，过点向双曲线的两条渐进线分别作垂线，垂足分别为，，则的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．与点的位置有关
12．已知函数，如果当时，若函数的图象恒在直线的下方，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．正方体的八个顶点中，有四个恰好为一个正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为 ．
14．已知幂函数的图象过点，则的展开式中的系数为 ．
15．过点作直线与抛物线相交于，两点，且，则点到该抛物线焦点的距离为 ．
16．等腰中，，为边上的中线，且，则的面积最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分12分）
已知数列前项和为，，且满足（）．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，设数列前项和为，求证：．

18．（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，各棱长均相等，，，分别为棱，，的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若三棱柱为直棱柱，求直线
与平面所成角的正弦值．

19．（本小题满分12分）
某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图：

（Ⅰ）求直方图中的值；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，试计算数据落在上的概率．
参考数据
若，则，．
（Ⅲ）设生产成本为，质量指标为，生产成本与质量指标之间满足函数关系假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆（），以椭圆内一点为中点作弦，设线段的中垂线与椭圆相交于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得，，，在同一个圆上，并说明理由．

21．（本小题满分12分）
已知函数， .
（Ⅰ）若和在有相同的单调区间，求的取值范围；
（Ⅱ）令（），若在定义域内有两个不同的极值点．
（i）求的取值范围；
（ii）设两个极值点分别为，，证明：．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数）．
（Ⅰ）求直线被曲线截得的弦长；
（Ⅱ）从极点作曲线的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，．
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若存在，使成立，求实数的取值范围．
数学（理科）参考答案
一、选择题
1. A．2.C 3.B 4.D 5.B 6.A 7.C 8.C 9.B 10.D 11.C 12.B
二、填空题
13.14．112；15.5；16．6.
三、解答题
17.（Ⅰ），由，得，
两式相减得，………………3分
由得到，又
所以为以-3为首项以3为公比的等比数列
故………………6分
（Ⅱ），…………9分
………………12分

18．(Ⅰ)证明：在三棱柱中，，且
连结，在中，因为D, E分别为棱AB, BC的中点. 所以.
又为的中点，可得，所以，………………2分
因此四边形为平行四边形，所以,
又，
所以.………………4分
(Ⅱ)证明：由于底面ABC是正三角形，为的中点，所以,
又，又，所以……………6分
在平面内，过点作，交直线于，连结,
，由此得，为直线与所成的角.
设三棱柱的棱长为，可得，由∽，所以,
在中，.
所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.………………12分

19.解析：（I）………………4分
（II）由（I）知，，从而
………………6分
由题设条件及食品的质量指标的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下：
组号
1
2
3
4
5
6
7
分组

频率
0.02
0.09
0.22
0.33
0.24
0.08
0.02
………………9分
根据题意，生产该食品的平均成本为

………………12分

20.解析：（Ⅰ）将椭圆化成标准方程，………………3分
（Ⅱ）由题意，设，直线的斜率存在，设为，联立
得：
，此时由得，………………6分
则为，则为………………8分
则得故的中点为
由弦长公式可得到
，若存在圆，则圆心在上，
的中点到直线的距离为………………10分

又
存在这样的，使的在同一个圆上. ………………12分

21．解：（Ⅰ）函数的定义域为，
当时，；当时，.
所以，在上单调递减；在上单调递增. ………………2分若在上单调递减；在上单调递增，
则………………4分
(Ⅱ) （ⅰ）依题意，函数的定义域为，
所以方程在有两个不同根.
x
y
o
1
y=lnx
y=ax
A
即，方程在有两个不同根. ………………5分
转化为，函数与函数
的图像在上有两个不同交点，如图.
可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，
只须. ………………6分
令切点，所以，又，
所以，
解得，，于是，所以. ………………8分
（ⅱ）由（i）可知分别是方程的两个根，
即，，不妨设，作差得，，即.
原不等式等价于
令，则， ……10分
设，，
∴函数在上单调递增，∴，即不等式成立，故所证不等式成立．……12分

22．解：（Ⅰ）直线的直角坐标方程是，曲线C的普通方程是
易得圆心到直线l的距离d=1，所以所求的弦长为………………5分
（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，各弦中点得轨迹的极坐标方程为.…………10分

23.解(Ⅰ)当时，由得，两边平方整理得，
解得或∴原不等式的解集为 ………………5分
（Ⅱ）由得，令，则
故，从而所求实数的范围为………………10分

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