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第一章练习题及答案

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第一章 量子力学基础
习 题
1.1. 给出黑体辐射频率分布函数的单位。
1.2. 分别计算红光=600 nm和X射线=100 pm的1个光子的能量、动量和质量。
1.3. 计算波长=400nm的光照射到金属铯上所产生的光电子的初速度。已知铯的临阈波长为600nm。
1.4. 氢原子光谱中巴尔麦系中波长最长的一条谱线的波数、波长和频率各是多少？波长最短的一条呢？
1.5. 求氢原子光谱中赖曼系第3条谱线的波数、波长和频率。
1.6. 氢原子光谱中赖曼系、巴尔麦系和帕邢系的谱线能否互相穿插，为什么？
1.7. 在氢原子光谱的各线系中，相邻两谱线间的距离是等间隔、还是朝着短波的方向递减或递增？
1.8. 求波长为0.1 nm的电子和中子的动量和动能。
1.9. 求下列粒子的德布罗意波长：
(1) 能量为100 eV的自由电子;
(2) 能量为0.1 eV的自由中子;
(3) 能量为0.1 eV，质量为1g的粒子。
1.10. 用速度的电子进行衍射试验，若所用晶体粉末的面间距离为242 pm，晶体粉末离底板距离为2.5 cm，求第2条和第3条衍射环纹的半径。
1.11. 一个运动速度为v的自由粒子，有人作了如下推导：

得出1=的错误结论，试问其推导过程中哪些过程是错误的。
1.12. 测不准关系限制我们同时测定粒子的动量和坐标，但为什么经典的物体不受限制呢？计算一个在一球拍上10-6 m范围内的质量为500 g的球的速度的最小不确定程度是多少？一个质量为5 g，速度在35.00001至35.00000 ms-1的物体，其位置的不确定程度是多少？由此可知为什么经典物理不受测不准原理的限制。
1.13. 一个静止质量为1000g的物体，以速度运动，其质量增加多少克？若速度为3´105 ms-1，3´107 ms-1，1´108 ms-1，1.5´108 ms-1其质量分别增加多少克？
1.14. 1000 kg水由0℃升到100℃，其质量有何变化？是否需要考虑其质量的变化？
1.15. 证明如果和是线性算符，则a+b和也是线性算符。式中a，b为常数。
1.16. 证明若和是厄米算符，则+和也是厄米算符。
1.17. 已知=，[,]=1，证明若是算符属于本征值的本征函数，则是算符属于本征值-1的本征函数，是算符属于本征值+1的本征函数。
1.18. 若是线性算符的本征函数，则a（a为常数）是算符属于同一本征值的本征函数。
1.19. 证明线性算符属于同一本征值的本征函数的任意线性组合仍然是属于这一本征值的本征函数。
1.20. 函数和是否算符的本征函数？若是，其本征值是多少？
1.21. 求下列对易关系
(1) [x, y]； (2) ；(3) [x, ] ；(4) [x, ]
1.22. 证明是算符 的本征函数，并求其本征值。
1.23. 证明是算符的本征函数，并求其本征值。
1.24. 函数， 和中哪些是的本征函数，本征值是多少？哪些是的本征函数，本征值是多少？
1.25. 下列哪些函数是算符的本征函数，本征值是多少？
（1）； （2）；（3）k； （4）kx
1.26. 下列哪些函数是算符的本征函数，本征值是多少？
（1）; （2）㏑x; （3）; （4）
1.27. 归一化的波函数和未归一化的波函数的物理意义有何区别？
1.28. 某一体系，其状态函数要用三个量子数J, K, M标记，，三个量子数之间的关系是

能级是

式中A, B是常数，讨论其简并度。
1.29. 如果函数是正交归一化的，则其线性组合归一化的充要条件是。
1.30. 一质量为m的自由粒子，在区间[a,b]（a≠0, b≠0）内运动，处于波函数所描述的状态，将归一化，并求坐标x的平均值。
1.31. 一质量为m的自由粒子，在区间[a,b]（a≠0, b≠0）内运动，求其处于状态时能量的平均值。
1.32. 求处于下列波函数所描述的状态的自由粒子的动量平均值。运动区间为。
(1) (2) (3)
1.33. 设有一个质量为m的自由粒子（势能V=0），给出下列3种情况的薛定谔方程，并指出描述其状态的波函数各是哪些变量的函数。
(1) 在三维空间中运动；
(2) 被束缚在半径为a的球面上运动（球面上势能为零，球内外势能为无穷大）；
(3) 被束缚在半径为a的圆周上运动（圆周上势能为零，圆周内外势能为无穷大）。
1.34. 写出平面刚性转子，即被束缚在一圆周上的粒子的薛定谔方程，并求其解。
1.35. 求被束缚在半径为a的圆周上运动的粒子处于状态时角度的平均值。（状态未归一化）
1.36. 将一维箱中粒子的波函数归一化时，得，取 可不可以，为何只取，而不取？
1.37. 在讨论一维箱中粒子的边界条件时，由，得满足上式的n可取0，，，……,为何只取正值而不取负值和零？
1.38. 处于状态为的一维箱中的粒子，出现在处的几率是，这种说法对吗？
1.39. 求处于基态的一维箱中的粒子出现在内的几率。a是一维箱的长。
1.40. 一质量为m的粒子，在长为a的一维箱中运动，若将箱长平均分为3段，求该粒子处于第一激发态时出现在各段的几率。
1.41. 一电子在长为0.6 nm的一维箱中运动，由能级n=5跃迁到n=4所发出的光子的波长是多少？
1.42. 一维箱中的电子的最低跃迁频率为，求箱长。
1.43. 求处于状态的一维箱中的粒子的能量。若无确定值，求其平均值。
1.44. 函数是否一维箱中粒子的一个可能状态？如果是，其能量有没有确定值？如果有，其值是多少？如果没有，其平均值是多少？
1.45. 验证一维箱中粒子的波函数和正交。
1.46. 一粒子在长为a的一维箱中运动，若将a分为相等的4段。粒子出现在各段的几率依次记为，，，，试比较当粒子处于时，出现在各段的大小。
1.47. 求一维箱中粒子坐标x的平均值。（积分公式）。
1.48. 求一维箱中粒子坐标的平方的平均值。
（积分公式）
1.49. 一维箱中粒子的动量有无确定值？若有，求其确定值；若没有，求其平均值。
1.50. 一维箱中粒子动量的平方有无确定值，若有，求其确定值；若没有，求其平均值。
1.51. 求一维箱中粒子的动量的大小，即其绝对值。
1.52. 正方体箱中的粒子处于状态和时，其几率密度最大处的坐标是什么？若不考虑边界，各有几个节面，表示这些节面的方程是什么，这些节面将整个正方体箱分成几个部分？你能不能不用计算而直接得出这些答案。
1.53. 写出在边长为a的正方体箱中运动的质量为m的粒子的第3个能级的能量、波函数和简并度。
1.54. 写出在边长为a的正方体箱中运动的质量为m的粒子的的能级和状态数。
1.55. 正方体箱中的粒子的能级的简并度是多少？
1.56. 一质量为m的粒子，在长为a的立方箱中运动，求其第4和第6个能级的能量和简并度。
1.57. 一质量为m的粒子，在a=b=2c的长方体箱中运动，求其第二和第三能级的简并度。
1.58. 一质量为m的粒子，在a=b=2c的长方体箱中运动，求能级的简并度。
1.59. 试求函数在等于什么值时是线性谐振子的本征函数，本征值是多少？
1.60. 一个质量为45 g的弹簧振子，以频率为2.4 s-1，振幅为4.0 cm在振动。求(a)此振子的力常数；(b) 如果这一振子可以用量子力学处理，其量子数是多少？
1.61. 处于状态（，）的谐振子，其动量有无确定值？若有，求其确定值；若没有，求其平均值。
1.62. 下列方程组是否有解？是否有非零解？若有非零解，给出其任意两组非零解
(1) (2)
1.63. 取变分函数，式中为变分参数，试用变分法求一维谐振子的基态能量和波函数。(积分公式:)

题 解
1.1. 给出黑体辐射频率分布函数的单位。
解: 黑体辐射的频率分布函数表示黑体辐射的频率分布，表示在温度T单位时间内由单位黑体表面积上所发射的频率在间的辐射能量。

式中w是功率.
1.2. 分别计算红光=600 nm和X射线=100 pm的1个光子的能量、动量和质量。
解： ，，，
(1) 波长=600 nm的红光，

（2）X射线=100 pm

1.3. 计算波长=400nm的光照射到金属铯上所产生的光电子的初速度。已知铯的临阈波长为600nm
解：根据
其中，

1.4. 氢原子光谱中巴尔麦系中波长最长的一条谱线的波数、波长和频率各是多少？波长最短的一条呢？
解：氢原子光谱中巴尔麦系谱线的波数可表达为

其中称为Rydberg常数。
n=3对应波长最长的一条谱线,

n=对应波长最长的一条谱线,

1.5. 求氢原子光谱中赖曼系第3条谱线的波数、波长和频率。
解：
n=4为第三条谱线

1.6. 氢原子光谱中赖曼系、巴尔麦系和帕邢系的谱线能否互相穿插，为什么
答：不能。
赖曼系:
波数最长的一条谱线()是，波数最短的一条谱线()是，所以赖曼系的波数范围在区间，即。
同理，巴尔麦系（）的波数范围在区间，即；帕邢系（）的波数范围在区间，即。
由此可知，氢原子光谱中三个谱系的谱线出现在不同的波数范围，不能相互穿插。
1.7. 在氢原子光谱的各线系中，相邻两谱线间的距离是等间隔、还是朝着短波的方向递减或递增？
答：，随之增加而减小。
以赖曼系为例予以说明

我们看到，随着n的增大，相邻两谱线间的间距朝着增加（短波）的方向在减小。这是由于随着n的增大，能级间隔在减小的原因。
1.8. 求波长为0.1 nm的电子和中子的动量和动能。
解：电子：
电子质量

中子：
中子质量

1.9. 求下列粒子的德布罗意波长：
(4) 能量为100 eV的自由电子;
(5) 能量为0.1 eV的自由中子;
(6) 能量为0.1 eV，质量为1g的粒子。
解：（1）

（2）

（3）

1.10. 用速度的电子进行衍射试验，若所用晶体粉末的面间距离为242 pm，晶体粉末离底板距离为2.5 cm，求第2条和第3条衍射环纹的半径。
解：根据公式 和进行计算
其中d为晶体粉末的面间距；为电子的波长；为衍射角；n为衍射级次，；r为衍射环纹的半径，l为晶体粉末离底板的距离。
n=2时：

n=3时：

1.11. 一个运动速度为的自由粒子，有人作了如下推导：

得出1=的错误结论，试问其推导过程中哪些过程是错误的。
答：过程c和e有误。
c中引入是错误的，这里的是振动的传播速度，而非粒子的运动速度，而开始的中的为粒子运动速度。
e中引入是错误的，这里E不是动能，因此，。
1.12. 测不准关系限制我们同时测定粒子的动量和坐标，但为什么经典的物体不受限制呢？计算一个在一球拍上10-6 m范围内的质量为500 g的球的速度的最小不确定程度是多少？一个质量为5 g，速度在35.00001至35.00000 ms-1的物体，其位置的不确定程度是多少？由此可知为什么经典物理不受测不准原理的限制。
解：
因，

由此看到，是如此之小，可以忽略不计。

由此看到，也是如此之小，也可以忽略不计。
1.13. 一个静止质量为1000g的物体，以速度运动，其质量增加多少克？若速度为3´105 ms-1，3´107 ms-1，1´108 ms-1，1.5´108 ms-1其质量分别增加多少克？
解：，
（1）当时，

（2）3´105 ms-1时，
（3）3´107 ms-1时，
（4）1´108 ms-1时，
(5) 1.5´108 ms-1时,
我们看到，随着的增加，迅速增大。
1.14. 1000 kg水由0℃升到100℃，其质量有何变化？是否需要考虑其质量的变化？
解: 1000 kg水由0℃升高到100℃吸收热量：

1 cal=4.184 J

由此可见，质量变化非常小，因此不需要考虑质量的变化。
1.15. 证明如果和是线性算符，则a+b和也是线性算符。式中a，b为常数。
证明：(1) 如果和是线性算符，则有：
（1）
（2）
（3）
（4）
（2）+（4）得：

所以a+b是线性算符。
(2)
所以也是线性算符。
1.16. 证明若和是厄米算符，则+和也是厄米算符。
证明：若和是厄米算符，则有：

所以，+是厄米算符。

=

所以，是厄米算符。
1.17. 已知=，[,]=1，证明是算符属于本征值的本征函数，则是算符属于本征值-1的本征函数，是算符属于本征值+1的本征函数。
证明： 即，
，即

即是算符属于本征值-1的本征函数。

即是算符属于本征值+1的本征函数。
1.18. 若是线性算符的本征函数，则a（a为常数）是算符属于同一本征值的本征函数。
证明：若是线性算符属于本征值为的本征函数，即

由于a为一常数
则有：
即a也是算符属于同一本征值的本征函数。
1.19. 证明线性算符属于同一本征值的本征函数的任意线性组合仍然是属于这一本征值的本征函数。
证明：设、为线性算符属于同一本证值的本征函数，即：
，
设c1、c2为任意常数

即：线性算符属于同一本征值的本征函数的任意线性组合仍然是属于这一本征值的本征函数。
1.20. 函数和是否算符的本征函数？若是，其本征值是多少？
证明：
=

即：函数是算符的本征函数，其本征值为1.

即：函数是算符的本征函数，其本征值为3.
1.21求下列对易关系
(1) [x, y]； (2) ；(3) [x, ] ；(4) [x, ]
解：(1)
所以：
(2)

即：
（3）

即：
（4）

即：
1.22证明是算符的本征函数，并求其本征值。
证明：()

所以，函数是算符的本征函数，其本征值为.
1.23证明是算符的本征函数，并求其本征值。证明：()

所以，函数是算符的本征函数，其本征值为.
1.24函数， 和中哪些是的本征函数，本征值是多少？哪些是的本征函数，本征值是多少？
解：

所以，只有是的本征函数，本征值是-4.
1.25下列哪些函数是算符的本征函数，本征值是多少？
（1）； （2）；（3）k； （4）kx
解： （1）
（2）
（3）
（4）
是，本征值为；是，本征值为0；函数和 kx不是.
1.26下列哪些函数是算符的本征函数，本征值是多少？
（1）; （2）㏑x; （3）; （4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）

所以，是，本征值为-k2; ㏑x不是；是，本征值为-k2；不是.
1.27 归一化的波函数和未归一化的波函数的物理意义有何区别？
答：归一化的波函数表示粒子出现在整个空间的几率等于1；未归一化的波函数表示粒子出现在整个空间的几率等于一个常数。
1.28某一体系，其状态函数要用三个量子数J, K, M标记，，三个量子数之间的关系是

能级是

式中A, B是常数，讨论其简并度。
解：这要讨论同一J，同一K2有多少状态，即有多少个（J, M, K）之集合。对于同一J，M有2J＋1个取值，对于同一K2，当K2＝0，K有一个取值，当，K有两个取值，所以

1.29如果函数是正交归一化的，则其线性组合归一化的充要条件是.
证明： (1) 必要条件：
由于函数是正交归一化的，
所以，

要使归一化，使即可
所以是归一化的必要条件。
(2) 充分条件：
如果，则必有
即是归一化的充分条件。
1.30一质量为m的自由粒子，在区间[a,b]（a≠0, b≠0）内运动，处于波函数所描述的状态，将归一化，并求坐标x的平均值。
解：

归一化常数
归一化波函数

1.31 一质量为m的自由粒子，在区间[a,b]（a≠0, b≠0）内运动，求其处于状态时能量的平均值。
解：

1.32求处于下列波函数所描述的状态的自由粒子的动量平均值。运动区间为.
(1) (2) (3)
解：(1)

（注：为自由粒子波函数，其本征值为连续谱，归一化为狄拉克函数）
(2)

=0
(3)

=0
1.33设有一个质量为m的自由粒子（势能V=0），给出下列3种情况的薛定谔方程，并指出描述其状态的波函数各是哪些变量的函数。
(1) 在三维空间中运动；
(2) 被束缚在半径为a的球面上运动（球面上势能为零，球内外势能为无穷大）；
(3) 被束缚在半径为a的圆周上运动（圆周上势能为零，圆周内外势能为无穷大）。
解： （1）

（2）， 为常数

（3） ， ，为一常数，
1.34写出平面刚性转子，即被束缚在一圆周上的粒子的薛定谔方程，并求其解。解： 薛定谔方程
整理得：
该方程的两个特解为：
边界条件要求
即：
将上式写成复数的三角函数表达式：
使该方程成立，需要复数的实部与虚部分别相等

为满足上述两式，
即：

波函数可以写作： ()
将波函数归一化： ()
1.35求被束缚在半径为a的圆周上运动的粒子处于状态时角度的平均值。（状态未归一化）
解：
积分公式

1.36将一维箱中粒子的波函数归一化时，得，取 可不可以，为何只取，而不取？
答：取 也可以，但通常为简便只取. 这是因为波函数是几率波，粒子在空间某点出现的几率密度与成正比，将波函数乘以一个常数因子，不改变粒子的运动状态。
1.37在讨论一维箱中粒子的边界条件时，由，得满足上式的n可取0，，，……,为何只取正值而不取负值和零？
答：若n＝0，得到的是零解，即，我们所要求的是非零解；若n取负值，只是波函数改变符号，其所描述的粒子的运动状态不变。
1.38处于状态为的一维箱中的粒子，出现在处的几率是，这种说法对吗？
答：不对。正确的说法是表示粒子在处出现的几率密度是.
1.39求处于基态的一维箱中的粒子出现在内的几率。a是一维箱的长。
解：基态波函数为：
几率：

1.40一质量为m的粒子，在长为a的一维箱中运动，若将箱长平均分为3段，求该粒子处于第一激发态时出现在各段的几率。
解：

1.41一电子在长为0.6 nm的一维箱中运动，由能级n=5跃迁到n=4所发出的光子的波长是多少？
解：

1.42一维箱中的电子的最低跃迁频率为，求箱长。
解：

1.43求处于状态的一维箱中的粒子的能量。若无确定值，求其平均值。
解： =

（波函数是归一化的）
是粒子的一个可能状态。具有不同的能量本征值，所以处于状态的粒子其能量无确定值。
能量平均值为：
1.44函数是否一维箱中粒子的一个可能状态？如果是，其能量有没有确定值？如果有，其值是多少？如果没有，其平均值是多少？
解：

根据状态叠加原理，是粒子的一个可能状态，但处于该状态的电子其能量没有确定值。
能量平均值：

1.45验证一维箱中粒子的波函数和正交。
解： ，

=0
即和正交。
1.46一粒子在长为a的一维箱中运动，若将a分为相等的4段。粒子出现在各段的几率依次记为，，，，试比较当粒子处于时，出现在各段的大小。
解：的波函数图像为

从波函数图像可以看出.
1.47求一维箱中粒子坐标x的平均值。（积分公式）。解：

积分公式

令 ，当x=0时，y=0;当x=a，

， ， ，

所以，
此结果也可由图形看出得到。
1.48求一维箱中粒子坐标的平方的平均值。
（积分公式）
解：

，

令

∴

1.49一维箱中粒子的动量有无确定值？若有，求其确定值；若没有，求其平均值。
解：

不具有确定值。

=0
1.50一维箱中粒子动量的平方有无确定值，若有，求其确定值；若没有，求其平均值。
解：

有确定值，其值为：
1.51求一维箱中粒子的动量的大小，即其绝对值。
解：根据1.50题的结果=，所以.
1.52正方体箱中的粒子处于状态和时，其几率密度最大处的坐标是什么？若不考虑边界，各有几个节面，表示这些节面的方程是什么，这些节面将整个正方体箱分成几个部分？你能不能不用计算而直接得出这些答案。
答：
根据波函数图像可知几率密度最大处的坐标：；
1个节面，节面方程：，该节面将立方箱分成2部分。

根据波函数图像可知几率密度最大处的坐标：
；；；；；
3个节面，节面方程：，，
该节面将立方箱分成6部分。
1.53写出在边长为a的正方体箱中运动的质量为m的粒子的第3个能级的能量、波函数和简并度。
答：

简并度为3.
1.54写出在边长为a的正方体箱中运动的质量为m的粒子的的能级和状态数。
答： ， ，，
，， ，
，，
能级数为9，状态数为26.
1.55正方体箱中的粒子的能级的简并度是多少？
答： ，简并度为4.
1.56一质量为m的粒子，在长为a的立方箱中运动，求其第4和第6个能级的能量和简并度。
解： 能级编号 状态数
1 1 1 1 3 1
2 1 1 2 6 3
3 1 2 2 9 3
4 1 1 3 11 3
5 2 2 2 12 1
6 1 2 3 14 6
第四个能级： ， 简并度 3
第六个能级： ， 简并度 6
1.57一质量为m的粒子，在a=b=2c的长方体箱中运动，求其第二和第三能级的简并度。
解：

能级编号
1 1 1 1 1＋1+4=6
2 2 1 1 4+1+4=9
1 2 1 1+4+4=9
3 2 2 1 4+4+4=12
第二能级简并度是2，第三能级简并度是1。
1.58一质量为m的粒子，在a=b=2c的长方体箱中运动，求能级的简并度。
解：

4 1 1 16+1+4=21
1 4 1 1+16+4=21
1 2 2 1+4+16=21
2 1 2 4+1+16=21
简并度为4.
1.59: 试求函数在等于什么值时是线性谐振子的本征函数，本征值是多少？
解：线性谐振子：

本征值为:
1.60一个质量为45 g的弹簧振子，以频率为2.4 s-1，振幅为4.0 cm在振动。求(a)此振子的力常数；(b) 如果这一振子可以用量子力学处理，其量子数是多少？解： (a)

(b) 此振子的能量为：
若利用量子力学处理

1.61处于状态（，）的谐振子，其动量有无确定值？若有，求其确定值；若没有，求其平均值。
解：

故有无确定值.

因被积函数是奇函数，积分上下限是，因此其积分为零。
故：
1.62下列方程组是否有解？是否有非零解？若有非零解，给出其任意两组非零解
1) 2)
解：方程组1)：
由(2)得 y=3x (3)
将(3)代入(1)， 2x+12x=0，即14x=0
x=0 ，y=0 方程组只有零解，无非零解。
方程组2)：
由上述两式解得
令x=0，则y=0
x=1，则y=
x=2，则y=
即该方程组有无穷多组解。
1.63 取变分函数，式中为变分参数，试用变分法求一维谐振子的基态能量和波函数。(积分公式:)
解：

因为：
所以：
根据积分公式：
得：
又按积分公式：
得：
所以：

令，得到：
导致发散，故舍去负值。
所以
其中
基态能量：

基态波函数:
答案
1.1.
1.2. ,,;
,.
1.3.
1.4. ，

1.5. .
1.6. 不能。
1.7. 随之增加而减小.
1.8. 电子： .
中子： .
1.9. (1) ; (2) 90.45 pm; (3) .
1.10. ;
1.11. 过程c和e有误.
1.12. .
1.13. ; ; ; ; .
1.14. 质量增加, 质量变化非常小，不需要考虑质量。
1.15. 略
1.16. 略
1.17. 略
1.18. 略
1.19. 略
1.20. 是; 3.
1.21 ; ; ;
1.22 .
1.23 .
1.24 均不是的本征函数；是的本征函数，本征值为-4.
1.25 (1)是，；(2) 不是；（3）是，0；（4）不是.
1.26 （1）是，-k2; （2）不是；（3）是，-k2；（4）不是.
1.27 略
1.28
1.29 略.
1.30 ; .
1.31
1.32 ; 0; 0.
1.33 (1) , ;
(2) , ;
(3 ) ,
1.34
()

1.35 p.
1.36略
1.37 略
1.38不正确.
1.39 0.818.
1.40 0.4022; 0.1955; 0.4022.
1.41
1.42 1.168 nm.
1.43 无确定值, 平均值为.
1.44 是; 无确定值; 平均值.
1.45 略
1.46 .
1.47
1.48
1.49 无; 平均值为0.
1.50有，其值为.
1.51 .
1.52 : ,; 1; ; 2.
:,, , , , ; 3; ，，; 6.
1.53

简并度为3.
1.54 9, 26.
1.55 4.
1.56 , 3; , 6.
1.57 2, 1.
1.58 4.
1.59: , .
1.60 ; .
1.61 无, 0.
1.62 1) 只有零解，无非零解; 2) 有解; 有无穷多组解非零解.
1.63 ;
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