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第八章
8-7 一个半径为的均匀带电半圆环，电荷线密度为,求环心处点的场强．
解: 如8-7图在圆上取
题8-7图
，它在点产生场强大小为
方向沿半径向外
则
积分
∴ ，方向沿轴正向．
8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为，总电量为．(1)求这正方形轴线上离中心为处的场强；(2)证明：在处，它相当于点电荷产生的场强．
解: 如8-8图示，正方形一条边上电荷在点产生物强方向如图，大小为
∵
∴
在垂直于平面上的分量
∴
题8-8图
由于对称性，点场强沿方向，大小为
∵
∴ 方向沿
8-10 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×C·m-3求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强．
解: 高斯定理0
d
e
å
ò
=
×
q
S
E
s
v
v
,
当时，,
时，
∴ ， 方向沿半径向外．
cm时,
∴ 沿半径向外.
8-11 半径为和(＞)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量和-,试求:(1)＜；(2) ＜＜；(3) ＞处各点的场强．
解: 高斯定理
取同轴圆柱形高斯面，侧面积
则
对(1)
(2)
∴ 沿径向向外
(3)
∴
题8-12图
8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为和，试求空间各处场强．
解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为与，
两面间，
面外，
面外，
：垂直于两平面由面指为面．
8-13 半径为的均匀带电球体内的电荷体密度为,若在球内挖去一块半径为＜的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心与点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．
解: 将此带电体看作带正电的均匀球与带电的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．
(1) 球在点产生电场，
球在点产生电场
∴ 点电场；
(2) 在产生电场
球在产生电场
∴ 点电场
题8-13图(a) 题8-13图(b)
(3)设空腔任一点相对的位矢为，相对点位矢为(如题8-13(b)图)
则 ，
,
∴
∴腔内场强是均匀的．
题8-16图
8-16 如题8-16图所示，在，两点处放有电量分别为+,-的点电荷，间距离为2，现将另一正试验点电荷从点经过半圆弧移到点，求移动过程中电场力作的功．
解: 如题8-16图示
∴
8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于．试求环中心点处的场强和电势．
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，和段电荷在点产生的场强互相抵消，取
则产生点如图，由于对称性，点场强沿轴负方向
题8-17图
［］
(2) 电荷在点产生电势，以
同理产生
半圆环产生
∴
8-22 三个平行金属板，和的面积都是200cm2，和相距4.0mm，与相距2.0 mm．，都接地，如题8-22图所示．如果使板带正电3.0×10-7C，略去边缘效应，问板和板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则板的电势是多少?
解: 如题8-22图示，令板左侧面电荷面密度为，右侧面电荷面密度为
题8-22图
(1)∵ ，即
∴
∴
且 +
得
而
(2)
8-23 两个半径分别为和（＜)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+，试计算：
(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；
(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；
解: (1)内球带电；球壳内表面带电则为,外表面带电为，且均匀分布，其电势
题8-23图
(2)外壳接地时，外表面电荷入地，外表面不带电，内表面电荷仍为．所以球壳电势由内球与内表面产生：
8-27 在半径为的金属球之外包有一层外半径为的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为，金属球带电．试求：
(1)电介质内、外的场强；
(2)电介质层内、外的电势；
(3)金属球的电势．
解: 利用有介质时的高斯定理
(1)介质内场强
;
介质外场强
(2)介质外电势
介质内电势
(3)金属球的电势
8-28 如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值．
解: 如题8-28图所示，充满电介质部分场强为，真空部分场强为，自由电荷面密度分别为与
由得
，
而 ,
∴
题8-28图 题8-29图
8-29 两个同轴的圆柱面，长度均为，半径分别为和(＞)，且>>-，两柱面之间充有介电常数的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷和-时，求：
(1)在半径处(＜＜＝，厚度为dr，长为的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；
(2)电介质中的总电场能量；
(3)圆柱形电容器的电容．
解: 取半径为的同轴圆柱面
则
当时，
∴
(1)电场能量密度
薄壳中
(2)电介质中总电场能量
(3)电容：∵
∴
8-34 半径为=2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为=4.0cm和=5.0cm，当内球带电荷=3.0×10-8C时，求：
(1)整个电场储存的能量；
(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量；
(3)此电容器的电容值．
解: 如图，内球带电，外球壳内表面带电，外表面带电
题8-34图
(1)在和区域
在时
时
∴在区域
在区域
∴ 总能量
(2)导体壳接地时，只有时,
∴
(3)电容器电容
习题九
9-6 已知磁感应强度Wb·m-2的均匀磁场，方向沿轴正方向，如题9-6图所示．试求：(1)通过图中面的磁通量；(2)通过图中面的磁通量；(3)通过图中面的磁通量．
解： 如题9-6图所示
题9-6图
(1)通过面积的磁通是
(2)通过面积的磁通量
(3)通过面积的磁通量
(或曰)
题9-7图
9-7 如题9-7图所示，、为长直导线，为圆心在点的一段圆弧形导线，其半径为．若通以电流，求点的磁感应强度．
解：如题9-7图所示，点磁场由、、三部分电流产生．其中
产生
产生，方向垂直向里
段产生 ，方向向里
∴，方向向里．
题9-9图
9-9 如题9-9图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的，两点，并在很远处与电源相连．已知圆环的粗细均匀，求环中心的磁感应强度．
解： 如题9-9图所示，圆心点磁场由直电流和及两段圆弧上电流与所产生，但和在点产生的磁场为零。且
.
产生方向纸面向外
，
产生方向纸面向里
∴
有
题9-14图题9-15图
9-15 题9-15图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为,，导体内载有沿轴线方向的电流，且均匀地分布在管的横截面上．设导体的磁导率，试证明导体内部各点 的磁感应强度的大小由下式给出：
解：取闭合回路
则
∴
9-16 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为)和一同轴的导体圆管(内、外半径分别
为,)构成，如题9-16图所示．使用时，电流从一导体流去，从另一导体流回．设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：(1)导体圆柱内(＜),(2)两导体之间(＜＜)，（3）导体圆筒内(＜＜)以及(4)电缆外(＞)各点处磁感应强度的大小
解：
(1)
(2)
(3)
(4)
题9-16图题9-17图
题9-20图
9-20 如题9-20图所示，在长直导线内通以电流=20A，在矩形线圈中通有电流=10 A，与线圈共面，且，都与平行．已知=9.0cm,=20.0cm,=1.0 cm，求：
(1)导线的磁场对矩形线圈每边所作用的力；
(2)矩形线圈所受合力和合力矩．
解：(1)方向垂直向左，大小
同理方向垂直向右，大小
方向垂直向上，大小为
方向垂直向下，大小为
(2)合力方向向左，大小为
合力矩
∵ 线圈与导线共面
∴
．
图
9-21 边长为=0.1m的正三角形线圈放在磁感应强度=1T 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向平行.如题9-21图所示，使线圈通以电流=10A，求：
(1) 线圈每边所受的安培力；
(2) 对轴的磁力矩大小；
(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功．
解： (1)
方向纸面向外，大小为
方向纸面向里，大小
(2)
沿方向，大小为
(3)磁力功
∵
∴
9-25 电子在=70×10-4T的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径=3.0cm．已知垂直于纸面向外，某时刻电子在点，速度向上，如题9-25图．
(1) 试画出这电子运动的轨道；
(2) 求这电子速度的大小；
(3)求这电子的动能．
题9-25图
解：(1)轨迹如图
(2)∵
∴
(3)
9-26 一电子在=20×10-4T的磁场中沿半径为=2.0cm的螺旋线运动，螺距h=5.0cm，如题9-26图．
(1)求这电子的速度；
(2)磁场的方向如何?
解: (1)∵
题9-26 图
∴
(2)磁场的方向沿螺旋线轴线．或向上或向下，由电子旋转方向确定．
9-30 螺绕环中心周长=10cm，环上线圈匝数=200匝，线圈中通有电流=100 mA．
(1)当管内是真空时，求管中心的磁场强度和磁感应强度；
(2)若环内充满相对磁导率=4200的磁性物质，则管内的和各是多少?
*(3)磁性物质中心处由导线中传导电流产生的和由磁化电流产生的′各是多少?
解: (1)
(2)
(3)由传导电流产生的即(1)中的
∴由磁化电流产生的
习题十
10-1 一半径=10cm的圆形回路放在=0.8T的均匀磁场中．回路平面与垂直．当回路半径以恒定速率=80cm·s-1 收缩时，求回路中感应电动势的大小．
解: 回路磁通
感应电动势大小
题10-4图
10-4 如题10-4图所示，载有电流的长直导线附近，放一导体半圆环与长直导线共面，且端点的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为，环心与导线相距．设半圆环以速度平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及两端的电压 ．
解: 作辅助线，则在回路中，沿方向运动时
∴
即
又∵
所以沿方向，
大小为
点电势高于点电势，即
10-7 如题10-7图所示，长直导线通以电流=5A，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线圈长=0.06m，宽=0.04m，线圈以速度=0.03m·s-1垂直于直线平移远离．求：=0.05m时线圈中感应电动势的大小和方向．
题10-7图
解: 、运动速度方向与磁力线平行，不产生感应电动势．
产生电动势
产生电动势
∴回路中总感应电动势
方向沿顺时针．
10-8 长度为的金属杆以速率v在导电轨道上平行移动．已知导轨处于均匀磁场中，的方向与回路的法线成60°角(如题10-8图所示)，的大小为=(为正常)．设=0时杆位于处，求：任一时刻导线回路中感应电动势的大小和方向．
解:
∴
即沿方向顺时针方向．
题10-8图
题10-10图
10-10 导线长为，绕过点的垂直轴以匀角速转动，=磁感应强度平行于转轴，如图10-10所示．试求：
（1）两端的电势差；
（2）两端哪一点电势高?
解: (1)在上取一小段
则
同理
∴
(2)∵ 即
∴点电势高．
题10-12图
10-12 磁感应强度为的均匀磁场充满一半径为的圆柱形空间，一金属杆放在题10-12图中位置，杆长为2，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当＞0时，求：杆两端的感应电动势的大小和方向．
解： ∵
∴
∵
∴ 即从
题10-13图题10-14图
10-14 如题10-14图所示，在垂直于直螺线管管轴的平面上放置导体于直径位置，另一导体在一弦上，导体均与螺线管绝缘．当螺线管接通电源的一瞬间管内磁场如题10-14图示方向．试求：
（1）两端的电势差；
（2）两点电势高低的情况．
解： 由知，此时以为中心沿逆时针方向．
(1)∵是直径，在上处处与垂直
∴
∴,有
(2)同理，
∴ 即
题10-15图
10-15 一无限长的直导线和一正方形的线圈如题10-15图所示放置(导线与线圈接触处绝缘)．求：线圈与导线间的互感系数．
解： 设长直电流为，其磁场通过正方形线圈的互感磁通为
∴
习题十一
题11-4图
11-4 如题11-4图所示，设平行板电容器内各点的交变电场强度=720sinV·m-1，正方向规定如图．试求：
(1)电容器中的位移电流密度；
(2)电容器内距中心联线=10-2m的一点P，当=0和=s时磁场强度的大小及方向(不考虑传导电流产生的磁场)．
解：(1) ,
∴
(2)∵
取与极板平行且以中心连线为圆心，半径的圆周，则
时
s时，
11-5 半径为=0.10m的两块圆板构成平行板电容器，放在真空中．今对电容器匀速充电，使两极板间电场的变化率为=1.0×1013 V·m-1·s-1．求两极板间的位移电流，并计算电容器内离两圆板中心联线(＜)处的磁感应强度以及=处的磁感应强度．
解: (1)
(2)∵
取平行于极板，以两板中心联线为圆心的圆周，则
∴
当时，
习题十二
12-7 在杨氏双缝实验中，双缝间距=0.20mm，缝屏间距＝1.0m，试求：
(1)若第二级明条纹离屏中心的距离为6.0mm，计算此单色光的波长；
(2)相邻两明条纹间的距离．
解: (1)由知，，
∴
(2)
12-8 在双缝装置中，用一很薄的云母片(n=1.58)覆盖其中的一条缝，结果使屏幕上的第七级明条纹恰好移到屏幕中央原零级明纹的位置．若入射光的波长为5500，求此云母片的厚度．
解: 设云母片厚度为，则由云母片引起的光程差为
按题意
∴
12-9 洛埃镜干涉装置如题12-9图所示，镜长30cm，狭缝光源S在离镜左边20cm的平面内，与镜面的垂直距离为2.0mm，光源波长7.2×10-7m，试求位于镜右边缘的屏幕上第一条明条纹到镜边缘的距离．
题12-9图
解: 镜面反射光有半波损失，且反射光可视为虚光源发出．所以由与发出的两光束到达屏幕上距镜边缘为处的光程差为
第一明纹处，对应
∴
12-11 白光垂直照射到空气中一厚度为3800 的肥皂膜上，设肥皂膜的折射率为1.33，试问该膜的正面呈现什么颜色?背面呈现什么颜色?
解: 由反射干涉相长公式有
得
, (红色)
, (紫色)
所以肥皂膜正面呈现紫红色．
由透射干涉相长公式
所以
当时， =5054 (绿色)
故背面呈现绿色．
12-13 如题12-13图，波长为6800的平行光垂直照射到＝0.12m长的两块玻璃片上，两玻璃片一边相互接触，另一边被直径=0.048mm的细钢丝隔开．求：
(1)两玻璃片间的夹角?
(2)相邻两明条纹间空气膜的厚度差是多少?
(3)相邻两暗条纹的间距是多少?
(4)在这0.12 m内呈现多少条明条纹?
题12-13图
解: (1)由图知，，即
故 (弧度)
(2)相邻两明条纹空气膜厚度差为
(3)相邻两暗纹间距
(4)条
12-14 用5000的平行光垂直入射劈形薄膜的上表面，从反射光中观察，劈尖的
棱边是暗纹．若劈尖上面媒质的折射率大于薄膜的折射率(=1.5)．求：
(1)膜下面媒质的折射率与的大小关系；
(2)第10条暗纹处薄膜的厚度；
(3)使膜的下表面向下平移一微小距离，干涉条纹有什么变化?若=2.0 m，原来的第10条暗纹处将被哪级暗纹占据?
解: (1)．因为劈尖的棱边是暗纹，对应光程差，膜厚处，有，只能是下面媒质的反射光有半波损失才合题意；
(2)
(因个条纹只有个条纹间距)
(3)膜的下表面向下平移，各级条纹向棱边方向移动．若μm，原来第条暗纹处现对应的膜厚为
现被第级暗纹占据．
12-15 (1)若用波长不同的光观察牛顿环，＝6000，＝4500，观察到用时的第k个暗环与用时的第k+1个暗环重合，已知透镜的曲率半径是190cm．求用时第k个暗环的半径．
(2)又如在牛顿环中用波长为5000的第5个明环与用波长为的第6个明环重合，求未知波长．
解: (1)由牛顿环暗环公式
据题意有
∴，代入上式得
(2)用照射，级明环与的级明环重合，则有
∴
12-16 当牛顿环装置中的透镜与玻璃之间的空间充以液体时，第十个亮环的直径由＝1.40×10-2m变为＝1.27×10-2m，求液体的折射率．
解: 由牛顿环明环公式
两式相除得，即
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