湖北省鄂州二中届高三12月月考数学(理)试题含答案演示教学.doc

湖北省鄂州二中2015届高三12月月考数学(理)试题含答案

精品资料

鄂州二中2015届高三12月数学试卷（理科）
满分150分 时间120分钟

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 设集合，，则(　　)
A． B． C． D．
2. 若复数z=2i+，其中i是虚数单位，则复数z的模为（　　）

A．

B．

C．

D．
2
3. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
4. 若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是（　　）

A．
k＜6？
B．
k＜7？
C．
k＜8？
D．
k＜9？
5. 函数的零点所在的区间是（　）
A． B． C． D．
6. 若数列满足，，则称数列为“梦想数列”。已知正项数列为“梦想数列”，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
. . . .

8．下列四种说法中，
①命题“存在”的否定是“对于任意”；
②命题“且为真”是“或为真”的必要不充分条件；
③已知幂函数的图象经过点，则的值等于；
④已知向量，，则向量在向量方向上的投影是.
说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9. 设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（　　）

A.[，2]

B.[，2]

C.[，4]

D.[2，4]
10. 定义在上的函数满足：，，是的导函数，
则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为( )
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）
11. 若x，y满足，则z=x+y的最小值为　　．
12.已知函数的图象如右图所示，则 ．
13. 已知实数x、y、z满足x+2y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为　　．
14. 已知点G是的重心， 是它的三个内角，若
，则 .
15.定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，.当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则________．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本小题满分12分）
已知向量，．
(1)当时，求的值；
(2)设函数，已知在中，内角的对边分别为，
若，，，求（）的取值范围.

17.（本小题满分12分）
已知递增等比数列的前项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且的前项和，求证：.

18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，，底面.
（1）证明：；
（2）若，求二面角的正切值．

19.（本小题满分12分）
北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不
低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

20．(本题满分13分)
如图，已知椭圆：，其左右焦点为及，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点，且、、构成等差数列.
（1）求椭圆的方程；
（2）试问：是否存在直线，使得△与△（为原点）全等？说明理由．

21.已知.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间及的最小值；
（3）根据（2）的结论推出当时：与的大小关系，并由此比较与的大小,且证明你的结论.

参考答案
1.C. 2.B 3.A 4.C 5. C
6.【解析】B依题意可得，则数列为等比数列。又，则。，当且仅当即该数列为常数列时取等号.
7. A　[解析] 该几何体是如图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥E­　CC1D1(其中E为BB1的中点)，.

.
8．【答案】A
9. 解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），
动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），
∵动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．
（|PA|+|PB|）2=|PA|2+|PB|2+2|PA| PB|
可得|PA|2+|PB|2≤（|PA|+|PB|）2≤2（|PA|2+|PB|2），
即10≤（|PA|+|PB|）2≤20，可得≤|PA|+|PB|≤2，
故选：B
10.【解析】A解析：由题意可知不等式为，
设所以函数在定义域上单调递增，又因为，所以的解集为
11. 1
12.【解析】依题意知，，又过点，则令，得。故.
13.
14.【解析】解析 ：设为角所对的边，由正弦定理得 ，则
即，又因为不共线，则, ,即所以，.
15．
【答案】
【解析】易知：当时，因为，所以，所以，所以；
当时，因为，所以，所以，所以；
当时，因为，所以，所以，所以；
当时，因为，所以，所以，所以；
当时，因为，所以，所以，所以，
由此类推：，所以，所以，所以

16．【答案】（2）
解析：（1）

（2）+
由正弦定理得或
因为，所以
,,
所以
17.【解析】（1）设公比为q，由题意：q>1, ，则，，
∵，∴
则 解得： 或（舍去），∴
（2）

又∵ 在 上是单调递增的
∴∴

18. 解：（1）证明：因为，，
由余弦定理得. .............（2分）
从而，故. .............（3分）
面面，............（4分）
又
所以平面. .............（5分）
故. .............（6分）
（2）作AM垂直于PB于M点，连DM，
可以证明AD平面PBD
M
所以AD BD，又AM BD
BD平面ADM所以BDDM
所以为其平面角
AD=1，DM=

19.解：(1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意知当x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，
等价于x＞25时，a≥＋x＋有解．
由于＋x≥2 ＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立，所以a≥10.2.
当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.
20. 解：（1）因为、、构成等差数列，
所以，所以. ……（2分）
又因为，所以， ……（3分）
所以椭圆的方程为. ……（4分）
（2）假设存在直线，显然直线不能与轴垂直．
设方程为 …（5分）
将其代入，整理得 …（6分）
设，，所以 ．
故点的横坐标为．所以 ．……（8分）
因为 ，所以 ， 解得 ，
即 ……（10分）
和全等， ……（11分）
所以 ， ……（12分）
整理得 ． ……（13分）
因为此方程无解，所以不存在直线，使得 ． ……（14分）

21、解：（1）当时，，所以在处的切线斜率为，而，所以在点处的切线方程为：，整理得为所求的切线方程.-----4分
(2)，定义域为，
当时，在区间上是递增的.----6分
当时，.在区间上是递减的.---7分
所以的增区间为，减区间为，因此---9分
（3）由（2）可知，当时，有，即，---11分

.
故.------14分

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