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层次分析法在数学建模中的应用

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层次分析法在数学建模中的应用

摘要：人们在生活中处理一些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是
一个共同的特点是它们通常都涉及到经济 、社会、 人文等方面的因素。在作比较、 判断 、
评价、 决策时，这些因素的重要性 影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择会起
着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。这是就有人提出
了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法，这是一种定性和定量相结
合的、系统化、层次化的分析方法。以及在对层次分析法的引入基础之上，建立层次分析模
型，并给出了层次分析的求解过程，以及在现实生活中的应用。

关键词：层次分析法；成对比较矩阵；权向量；一致性指标；一致性比率

一． 问题的提出：人们在日常生活中常常碰到许多决策问题：请朋友吃饭要筹划是办家宴还是去饭店，是吃中餐、西餐还是自助餐；假期旅游和科研成果的评价。诸如此类问题面临抉择，就要慎重考虑，反复比较，尽可能满意的决策。
然而人们在处理上面这些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是一个共同的特点是它们通常都涉及经济社会和人文等方面的因素。在做比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度难以量化，人的主观选择会起着相当重要的作用。T.L.Saaty等人在20世纪70年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法（简称AHP），这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。
二． 层次分析法的基本步骤
1.将决策问题分解为三个层次。最上层为目标层，最下层为方案层，中间层为准则层。
2.通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重，这些权重在人的思想过程中通常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法。
3.将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重。在层次分析法中要给出进行综合的计算方法。
三． 构造成对比较阵、计算权向量并做一致性检验；计算组合权向量并做组合一致性检验。
1.成对比较矩阵和权向量
所有因素两两相互对比，对比时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互对比的困难，提高准确度。
假设要比较某一层n个因素对上层一个因素O的影响，每次取两个因素和。用表示和对O的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵。
A=(),>0, =1/﹙由于此式给出的的特点，A称为正互反矩阵，=1﹚
一般地，如果一个正互反矩阵A满足=。ijk=1,2n;则称A为一致阵，证明n阶一致阵A有下列性质。
① A的秩为1，A的唯一非零特征根为n。
② A的任一列向量都是特征根n的特征向量。
权向量：如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根n的归一化的特征向量。（即分量和为1）表示诸因素对上层因素O的权重。此向量称为权向量。记，作为权向量即满足A=。
通常在层次分析法的应用中都会采用1-9尺度即比较尺度。（如下表1所示）
尺度
含义
1
3
5
7
9
2 4 6 8
1，1/2，1/9
与的影响相同
比的影响稍强
比的影响强
比的影响明显的强
比的影响绝对的强
与的影响之比在上述两个相邻等级之间
与的影响之比为上面的互反数
（表1）
2 一致性检验
n阶正互反矩阵A的最大特征根为n，且（此为一致阵时）n阶正互反矩阵A的最大特征根是≥n，而当=n时是一致阵。
CI=-n/n-1此为一致性指标，（CI=0时A为一致阵）CI越大A不一致程度越严重。
为了确定A的不一致程度的容许范围，需要找出衡量A的不一致性指标CI的标准，则需要引入随机一致性指标RI。（可以参考随机性一直性指标RI的数值）
RI的计算过程为：对于固定的n，随机地构造正互反阵，然后计算的一致性指标CI。
将成对比较阵A（n≥3）的一致性指标CI与同阶的随机一致性指标RI之比称为一致性比率CR。当CR<0.1时认为A的不一致程度在容许范围之内。（即一致性检验通过）
3 组合权向量
计算个方案对目标的权向量，称为组合权向量。相类似于以上的方法做一致性检验。
=∕0.1 (R=34s)；
四 实例分析
1 科研成果评价的层次结构模型
通过对围绕科研成果评价的相关问题作深入分析，我们将影响科研成果评价的主要因素分解为4个层次，各层次的联系用相连的直线表示，它们构成了如图1所示的层次分析结构模型。其中第一层为目标层，第二层为准则层，第三层为子准则层，第四层为方案层。

科研成果综合评价
科学性
创造性
实践性

科研成果

其中各项符号表示如下： （图1）
：选题符合客观实际，理论依据正确；
：研究方案具有科学性；
：论证、推理合乎逻辑；
：对已有理论做出新的解释、论证，使原有理论深化；
：填补某项科学空白，具有国内、国际意义；
：提出新理论、观点、概念，论证成立；
：研究成果为有关部门决策与管理提供参考依据，具有很高的适用价值；
：研究成果形成了可操作方法，实用性强，具有一定的推广价值；
：省内、国内学术界同行放映强烈，具有较高的引用率。
（一）模型的求解
1 计算成对比较矩阵。
为了客观地确定各项指标在评价指标体系中的权重，我们采用问卷调查的方式调查了景德镇高等专科学校的100名老师。问卷调查表设计了15个问题，每个问题为各个子准则对各个准则的影响大小，以及各个准则对目标的影响的大小单独评分。被调查人员就自己认为的权重大小进行打分，以此收集得到原始的评分数据。
根据调查结果，依据层次分析法常用的1-9尺度建立了准则层对目标层的成对比较矩阵如下：
（1）
在式（1）中：表示科学性与创造性对评价科研成果的重要性之比为1；表示科学性与实践性对评价科研成果的重要性之比为3，等等。在这里要注意的是成对比较阵中的元素应为1-9尺度中的数。
用同样的方法，我们构造出了子准则层的每一个准则的成对比较矩阵，它们分别为：

= ， = , = (2)
这里的矩阵中的元素是子准则的比较尺度。
(二)计算权向量
利用和合法计算各成对比较矩阵的A, ,,的特征向量和特征根。其特征向量和特征根分别记为，，，和，，，。计算如下：
=[0.43，0.43，0.14]；=3
=[0.2583，0.637，0.1047]；=3.032
=[0.2，0.6，0.2]；=3
=[0.2，0.6，0.2]；=3
由于各矩阵均为一致性矩阵，不需要进行一致性检验。

（三）计算组合权向量。
上面已经得出了各准则对目标的权向量和各子准则层对每一准则的权向量（k=1，2，3）。令
=；
= ；
= ；
以，，为列向量构成一个123阶矩阵，则子准则对目标层的权向量==
（四）结论
以上分析可知，在子准则层的九个影响因素中，“研究方案具有科学性”的权重排名第一，“填补某项科学空白，具有国内国际意义”的权重名排列第二，这些结论与现实中的情况是比较符合的，如具体评价某项科研成果的价值，可由上级主管部门给出该科研成果相应于子准则层每项的分值，再乘以各指标在综合评价中的权重并求和，即为这项成果的综合绝对评价的分值。
2 电视剧选择的模型
本问题是一个层次分析模型，给出几种方案，并附出影响方案实行的几组因素，协调最有利因素达到最佳的抉择。简言之方案中如何利用数学方法建立起一个最佳方案的抉择。

目标层
准则层
方案层
选择较为喜爱的电视剧
艺术性C1
教育性C2
娱乐性C3
西游记

P1
母亲

P2
清史

P3
雪
山
飞
狐
P4

图2
内容：（过程与求解）
1 建立层次结构模型
2 构造成对比较矩阵
首先做出准则层对目标层的正互反矩阵
A=
利用可以求出其最大特征根和所对应的特征向量。其为=3，= 下面对其进行检验此A是否为一致阵。
易知CI=-n/n-1=0则又知有RI=0.58则一致性比率为CR=0<0.1故知此矩阵A为正互反矩阵。
其次做出方案层对准则层的对应（，，）的权向量。其分别为：
（针对艺术性）利用软件求得： =4.3573 =0.092
（针对教育性）= 利用软件求得： =4.0968 =0.0359
（针对娱乐性）利用软件求得： =4.1241 ；
这里RI均为0.90（参照一致性指标RI的数值）
利用上述所得数据易知，，均为一致阵。并且给出列表2：
R
1
2
3

0.7518
0.1903
0.3768
0.5068
0.6242
0.2685
0.1706
0.7156
0.8162
0.4475
0.3252
0.1714

4.3573

4.0968

4.1241

0.092

0.0359

0.046
表2
根据此表计算各方案的对目标的权向量即组合权向量
组合权向量：
：（西游记）
0.87290.7518+0.43640.6242+0.21820.8162=1.106
：（母亲）
0.87290.1903+0.43640.2685+0.21820.4475=0.3808
：（清史）
0.87290.3768+0.43640.1706+0.21820.3252=0.4742
：（雪山飞狐）
0.87290.5068+0.43640.7156+0.21820.1714=0.7918
由所得出的权重知（西游记）在选择中占的权重最大，应做方案层时选择（西游记）。
最后需坐组合一致性检验。易从表中得其CI都小于0.1故选为最佳方案。
3 中学教学评价模型
课堂教学的评价是一个多因素、多层次、多准则的复杂的问题,其中的因素是人的主观判断,只能用定性表示,很难完全用定量的数学模型解决。而层次分析法是一种定量与定性相结合,将人的主观判断用数量形式表达和处理的方法。所以,利用层次分析法建立模型对这评价进行辅助决策,确定方案的权重,使评价工作变得更科学、合理、公正。
（一）、层次分析法的基本思想
层次分析法 AHP 是美国数学家萨迪 T. L. Saaty 在 70年代提出的。在决策中,困难之处往往在于社会经济系统中的许多因素难以定量地测度,因为测度对象的属性大多数具有相对的性质,很难确定一种绝对标度,也往往缺少必要的测量工具进行测度。层次分析法提供了一种表示决策因素测度的基本方法。这种方法采用相对标度的形式,充分利用了人的经验和判断能力。这种测度统一了有形和无形,可定量和不可定量的众多因素。
萨迪的层次分析法确定方案权重的思想如下:设有被选方案集 图 1
{A ,A …,A },依据某一准则 C,采用 1 - 9标度,用专家咨询法对各方案教学两两比较评分,得到的判断矩阵为

其中 a i, j=1,2, ……, n 表示方案 A 与方案 A 比较的相对重要性程度, a 越大,表示方案 A 比方案 A 越重要。如果判断矩阵具有一致性,则判断矩阵的最大特征根 对应的特征矢量 就是方案的权重矢量。
（二）、层次分析法的应用
运用层次分析法进行决策时,一般可以分成下列 3个步骤进行:
1、建立系统的递阶层次结构
应用 AHP进行中学数学课堂教学的评价,首先把问题条理化、层次化,构造一个层次分析的结构模型,通过参考文献 及征求专家意见,把中学数学教学评价模型分为三层,其层次结构表示如图3所示。

课堂教学质量
教师教学行为B1
组织能力
C1
教学基本功
C2
教学态度
C3
教学机智
C4
参与状态
C5
思维状态
C6
学习达成状态
C7
目标层A
方案层C
学生学习活动B2

准则层B

图3
2、构造两两比较判断矩阵,计算被比较元素对于该准则的相对权重
在构造两两比较判断矩阵的过程中,不是直接呈现出各个元素的权重,而是采用 1 - 9的标度,利用两两比较法导出权重。选择 1 - 9之间的整数作为比例标的主要原因是它符合人们进行判断时的心理习惯。当人们表达一对因素在某种属性下的相对强度时,通常采用相当、较强 弱 、明显强 弱 、很强 弱 、绝对强 弱 、这类语言表达。如果再分得细一些,可以再相邻两级中再插入一级,这正好是 9级,这 9级就刚好和 1 - 9对应。

在这一步中,决策者反复回答问题:针对准则 C,它所支配的下一层次的元素哪一个更加重要,重要多少,并按 1 - 9比例标度对重要性赋值。根据决策者的回答,得到下列判断矩阵:
A-B 准则层指标判断矩阵 表3
A

1

1/2

2

1

B-C 教师教学行为判断矩阵 表4

1

5

5

7

1/5

1

1

2

1/5

1

1

2

1/7

1/2

1/2

1

；
学生学习活动的判断矩阵 表5

1

2

1

1/2

1

1

1

1

1

；
3 计算各方案对总目标的合成权重，进行排序
运用层次分析法构造模型的满足一致性C,R<0.1,因此，每个判断矩阵的一致性是可以接受的。计算得各方案对目标层的权重为，归一化后为；
结论：从这结果中看出,在中学的教学质量评价中,学生的参与状态和学生的学习达成状态的权重比较大,也就说明了在中学教学中突出学生的主体地位,打破了过去以教师为主要评价对象的框框,通过学生的学习情况来反应出教师的课堂教学质量。
运用层次分析法,将教学评估中一些定性分析进行量化,避免了在确定评价指标权重过程中主观因素过大,使评价工作变得更科学、合理、公正。
4. 大学生购买手机中的定量比较评价模型
（一）、大学生手机购买问题的提出
随着科技的不断进步，经济的不断发展，人们生活水平也在不断改善和提高，消费水平也随之提高，其中的手机消费也日益增长。整个社会的手机普及率在不断升高，而且使用者范围也在不断扩张。与前几年相比，手机已渐渐不再是身份的象征，也不再是大人们的专用，年轻人，尤其是大学生已悄悄成为新的消费群体。
（二）、市场调查及资料说明
我们再对手机销售市场进行调查，我们选择大学生常用的八款手机的各种功能和性能指标进行分析，得到表6：

型号 指标
价格
功能
外观即待机时间
诺基亚6300
1580元
智能手机；蓝牙；
直板；336小时；
飞利浦768
1380元
拍照；音乐；红外；
直板；300小时；
摩托罗拉 ROKRE2
1450元
拍照；蓝牙；音乐；
红外；
直板；196小时；
阿尔卡特OT-S860
2000元
蓝牙；红外；GSM;
直板；330小时；
索尼爱立信W600c
1750元
蓝牙；数据线；GSM;
旋盖；395小时；
联想S50
850元
拍照；音乐；
滑盖；290小时；
多普达C750WM6.0
3680元
智能；蓝牙；GSM;GPRS;
滑盖；72小时；
三星SGH-D848
1850元
拍照；蓝牙；数据线；GPRS;
滑盖；280小时；
表6

将手机分4个主要方面进行细化处理，即价格、品牌、功能和性能，每个层次按10分制进行打分，并根据市场调查的数据对各层次评判标准加以限定：
1.价格。调查数据说明大学生对手机价格的接受能力较低，综合考虑以600元价位定为10分，价格每增加200元减1分，2000元以上为3分。
2.品牌。以市场占有率进行评判，每5%为2分，累进计算。
3.功能。包括拍照、蓝牙、数据线、FM、MP3、MP4、JAVA、上网、铃声、红外等10项，有一项计1分。
4.性能。包括外观、通话时间、待机时间、短信功能、号码存储量及其它性能指针，每项2分，根据手机具体性能指标确定。根据表1得到8款手机功能价格性能并依照评判标准我们可以对每个品牌的手机进行分层次打分。其结果见表7。

价格
品牌
功能
性能
诺基亚6300
4.9
7.5
9
8
飞利浦768
6.1
5
8
9
摩托罗拉 ROKRE2
6.8
7
8
7
阿尔卡特OT-S860
3
3
8
6
索尼爱立信W600c
5
6
9
8
联想S50
8.5
5
4
6
多普达C750WM6.0
3
5
6
8
三星SGH-D848
7
6
7
8
表（7）
（三）、建立手机综合评价数学模型

① 目标层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
② 准则层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
③ 方案层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。

递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。下面就以手机购买这个问构造递阶层次结构。依据层次分析法，建立系统的递阶层次结构如下图4：
图4

2.建立了递阶层次模型后，我们要对同一层次诸因素进行两两比较，确定其相对重要程度通过相互比较，确定下一层各因素对上一层目标的影响的权重，将定性的判断定量化，即构造因素判断矩阵。两两比较的标度方法，为了客观地评价价格、功能、品牌、性能在手机购买中的重要性程度，根据大学生手机消费调查结果，影响购买手机的重要因素：价格38%、功能22%、品牌15%、性能21%。，建立各因素成对比较矩阵。
B层的比较排序，具体比较见下表：
B层的比较序列 表8
价格
主要功能
品牌
性能
3
2
1
2
由此得到准则层对目标层的判断矩阵：表9
A-B
B!
B2
B3
B4
W
B1
1
2
3
2
0.4236
B2
1/2
1
2
1
0.2270
B3
1/3
1/2
1
1/2
0.1223
B4
1/2
1
2
1
0.2270

借助Matlab软件进行求取最大模特征根λmax及响应特征向量的计算，再将所求的特征向量单位化后得到的就是因素B对目标A相对重要性的权重，记为W。
3.为了使这种比较具有客观性，需对判断矩阵进行一致性检验，判断矩阵的一致性指标由下式给出：
，为矩阵阶数。
查找相应的平均随机一致性指标RI。对=1，…，9，其数值如表4所示：
随机判断矩阵的一致性指标值 表10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45

计算一致性比例CR
；
当CR<0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。
根据表9构造的判断矩阵，计算相应层次权值
并作一致性检验如下。由数学软件Matlab计算得，
=（0.4236 0.2270 0.1223 0.2270），=0.0035， =0.0039<0.1
一致性比例小于0.1，判断矩阵是可以接受的。这样，我们就得到大学生对手机相关指标权重系数
价格
主要功能
品牌
性能
0.4236
0.2270
0.1223
0.2270
表11
至此我们再根据每款手机的价格、品牌、功能、性能分值及其所占权重系数，运用数学的模糊综合评判方法，即可得出大学生对每款手机总体评价值。计算方式为：价格*权重系数+品牌*权重系数+功能*权重系数+性能*权重系数。

型号
诺基亚6300
飞利浦768
摩托罗拉 ROKRE2
阿尔卡特OT-S860
索尼爱立信W600c
联想S50
多普达C750WM6.0
三星SGH-D848
评价值
6.6948
6.7404
7.0369
4.2922
6.3967
6.5868
5.3225
6.9966
表12
（四）、模型结果计算及分析
表12中的评价值是对每款手机价格，功能，品牌和性能的综合排名，是对手机整体竞争力的比较。得分较高的依次是：摩托罗拉ROKR E2，三星SGH-D848，飞利浦768，诺基亚6300，它们较其它手机更受大学生欢迎。

结束语
如何应用层次分析法解决实际问题，是一个非常必要但却极其复杂的问题，本文主要通过基本理论的阐述以及对几个事例的分析，层次分析法是研究现实生活中有关决策问题的一种重要的、最基本的方法。对于学生而言，则主要是养成科学的数学学习习惯来达到提高自己数学能力的目的。本文主要是希望能够引起大家对数学能力的重视，起到抛砖引玉的作用。实现在日常学习中，提高数学能力的最终目的。
建模感想
经历过这一次建模论文的前前后后，我学到的不仅仅是建模的这种方法，更多的是做人的道理。建模需要选好队友，这是成功的基石，要学会与别人合作，因为团结就是力量。尽管对于一个建模团体来说，并非每个人都是最优秀的，但是每个人都认真负责，互相信任，精心准备，都朝着一个目标去努力，我想这种团结的精神正是一个建模团队生命体内的血液，它会为我们提供源源不断的动力，激励我们克服困难，一直前进。另外，在合作中难免会出现意见分歧、各执己见的情况，这时，我们就应该学会放弃“我执”，相互虚心地、耐心地倾听队友的思路和方案，最终达成一致意见，正如俗话所说“三个臭皮匠就是一个诸葛亮”。
此外，辅导老师在我的这次建模论文中起着举足轻重的作用。这些日子的激烈奋战之所以能够胜利，更重要的还在于老师的正确引导。我相信，在院系领导的深切关怀和老师们的细心指导下，我们的数学建模成绩会越来越好。

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