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高中数学常见的知识类比

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专题 高中数学常见的知识类比
一、⑴类比的定义：由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
⑵类比推理的一般步骤：
⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；
⑵用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；
⑶一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；
⑷在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。
⑶类比推理的特点：
①类比是人们已经掌握了事物的属性，推测正在研究的事物的属性，它以已有认识作基础，类比出新的结果；
②类比是从一种事物的特殊属性推测出另一种事物的特殊属性；
③类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．
二、常见的几种类比：
代数方面：加→乘，减→除，乘→乘方，除→开方，实数与向量.数与式（分数对分式、整数对整式、有理数对有理式）.等式→不等式，等差数列→等比数列等等。
几何方面：平面（二维）→立体（三维），线段→面，面积→体积，平面角→二面角.
解析几何方面：圆→椭圆，椭圆→双曲线
【1】 类比实数的加法和乘法，并列出它们类似的性质。
类比角度
实数的加法
实数的乘法
运算结果
若a,b∈R,则a+b∈R
 若a,b∈R,则ab∈R

运算律
(交换律和结合律)
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
 ab=ba
(ab)c=a(bc)

逆运算
加法的逆运算是减法,使得方程a+x=0有唯一解x=-a
 乘法的逆运算是除法,使得ax=1有唯一解x=1/a

单位元
a+0=a
 a·1=a

【2】根据等式的性质猜想不等式的性质
等式的性质： 猜想不等式的性质：
(1) a=bÞa+c=b+c; (1) a＞bÞa+c＞b+c;
(2) a=bÞ ac=bc; (2) a＞bÞ ac＞bc;
(3) a=bÞa2=b2;等等。 (3) a＞bÞa2＞b2;等等
【3】实数系与向量系的类比：
实数系
向量系
实数0、单位1
数a的相反数－a
实数a的绝对值| a |
零向量、单位向量
向量的相反向量－
向量的模||
运算规律：
①交换律：a＋b＝b＋a
②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，
(ab)c＝a(bc)
③分配律：a(b＋c)＝ab＋ac
④消去律：若ab＝ac，a≠0，则b＝c

⑤若ab＝0，则a＝0，或b＝0
⑥公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
⑦ | a·b |＝| a |·| b |
运算规律：
①交换律：＋＝＋
②结合律：(＋)＋＝＋(＋)
(·)≠(·)（乘法不满足）
③分配律：·(＋)＝·＋·
④不满足消去律：若·＝·，那么与不一定相等.
⑤若·＝0，那么不一定＝或＝.
⑥公式：(＋)·(－)＝2－2
(±)2＝2±2·＋2
⑦ |·|≤||·||
|| a |－| b ||≤| a±b |≤| a |＋| b |
|||－|||≤|±|≤||＋||
【4】利用平面向量的性质类比空间向量的性质

【5】平面几何与立体几何的类比：
平面几何
立体几何
角及角平分线
二面角及角平分面
线段的垂直平分线
线段的垂直平分面
三角形的三条边
四面体的四个面
平行四边形对角线相交一点，并且被平分
平行六面体的对角线相交于一点，并且被平分

【6】试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
圆的性质
球的性质
圆的周长C＝pd（d为直径）

球的表面积S＝pd2（d为球直径）
圆的面积S＝pr2（r为半径）

球的体积V＝pr3（r为球半径）（这一点不是很好的类比）
圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两条弦长相等；

与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆的面积相等；
与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
引申：试通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R2 ”，猜测关于球的相应命题为_______________________
【7】三角形与四面体的性质类比：
三角形
四面体
三角形两边之和大于第三边
四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
四面体的中位面（同一顶点发出的三条棱中点确定的截面）平行于第四个面，面积等于第四个面的
三角形三边的中垂线交于一点，且这一点是三角形外接圆的圆心（外心）
四面体的六条棱的中垂面（经过棱的中点且垂直于棱的平面）交于一点，且这一点是四面体外接球的球心，（或经过各个面三角形外心且垂直该面的垂线交于一点，这一点是四面体外接球的球心）
三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心（内心）
四面体的四个面构成的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体的内切球的球心
三角形的三条中线相交于一点（重心），这点把每条中线分成2：1.
四面体的每个顶点与对面三角形的重心的连线相交于一点（重心），且被该点分成3：1
①三角形的面积S＝ah
①四面体的体积V＝Sh
②三角形的面积为
（r为三角形内切圆的半径，a,b,c为三角形三边长）
②则四面体的体积为V=R(S1+S2+S3+S4)
（R为四面体内切球半径，S1,S2,S3,S3
分别为四个面的面积
【8】直角三角形与直角四面体的类比：
直角三角形
直角四面体
（在四面体中，若有一顶点发出的三条棱两两互相垂直，则改四面体成为直角四面体）
如图，Rt△CAB中，∠C＝90°，
O
A
B
c
a
b
h

H

如图，在四面体OABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，O为直角顶点：
O
A
B
C
H
a
b
c

AB2＝OA2＋OB2（c2＝a2＋b2）
S2△ABC＝S2△OAB＋S2△OBC＋S2△OCA
cos2A＋cos2B＝1
cos2a＋cos2b＋cos2g＝1（a、b、g是侧面与底面所成的角）
＝＋
＝＋＋
外接圆半径R＝
外接球半径R＝
内切圆半径r＝＝
内切球半径r＝
【9】等差数列与等比数列的类比：
等差数列{an}（公差为d）
等比数列{bn}（公比为q）
通项：an＝a1＋(n－1)d
通项：bn＝b1·qn－1
am－an＝(m－n)d
＝qm－n
若a1＝0，s，t是互不相等的正整数，则有
(s－1)at＝(t－1)as
若b1＝0，s，t是互不相等的正整数，则有
bts－1＝bst－1
若m＋n＝p＋r，其中m、n、p、r∈N*，
则am＋an＝ap＋ar
若m＋n＝p＋r，其中m、n、p、r∈N*，
则bm·bn＝bp·br
若m＋n＝2p，其中m、n、p∈N*，am＋an＝2ap
若m＋n＝2p，其中m、n、p∈N*，bm·bn＝bp2
Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列
Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列
前n项和：Sn＝a1＋a2＋…＋an＝
前n项积：Tn＝b1·b2·…·bn＝
若ak＝0，2k＞n＋1，k，n∈N*则有
a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a2k－n－1
若bk＝1，2k＞n＋1，k，n∈N*则有
b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b2k－n－1
若cn＝，则数列{cn}也是等差数列
若dn＝，则数列{dn}也是等比数列
若cn＝，则数列{cn}也是等差数列.
若dn＝(b1···…·)，则数列{dn}也是等比数列.
【10】椭圆与双曲线的类比：
椭 圆
双曲线
x
A1
B1
B2
F1
A2
F2
H2
H1
O
y

F1
F2
O
y
x
A1
A2
B2
B1
H2
H1

＋＝1（a＞b＞0）
－＝1（a＞0，b＞0）
焦半径：| PF1 |＝a＋ex0，| PF2 |＝a－ex0
焦半径：左支上| PF1 |＝－(ex0＋a)，| PF2 |＝－(ex0－a)
右支上| PF1 |＝ex0＋a，| PF2 |＝ex0－a
通径：︱H1H2︱＝
通径：︱H1H2︱＝
P是椭圆上一点，∠F1PF2＝q，
则S＝b2tan
P是双曲线上一点，∠F1PF2＝q，
则S＝b2cot
P是椭圆上一点，F是椭圆的一个焦点，则以PF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2内切，如下图：
P
F

P是双曲线上一点，F是双曲线的一个焦点，则以PF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2内切或外切，如下图：
P
F1
F2

过椭圆上一点(x0，y0)的切线方程为：
＋＝1
过双曲线上一点(x0，y0)的切线方程为：
－＝1
若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1（a＞b＞0）外 ，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是＋＝1.
若P0(x0，y0)在双曲线－＝1（a＞0，b＞0）外 ，过P0作双曲线的两条切线的切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是－＝1.
椭圆的焦点△PF1F2的旁切圆圆心M的轨迹是过长轴的端点且垂直于长轴的直线.
P
F1
F2
M

双曲线的焦点△PF1F2的内切圆圆心M的轨迹是过实轴的端点且垂直于实轴的直线.
P
F1
F2

AB是椭圆的长轴，O是椭圆的中心，F1，F2是椭圆的的焦点，直线AC，BD是椭圆过A、B的切线，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，则有PF1·PF2＝PC·PD

AB是双曲线的实轴，O是双曲线的中心，F1，F2是双曲线的的焦点，直线AC，BD是双曲线过A、B的切线，P是双曲线上任意一点，CD是过P的切线，则有PF1·PF2＝PC·PD

三、类比练习题：
（一）选择题：
1.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是 （ ）
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.
A. ① B. ①② C. ①②③ D. ③
试题类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是①②③
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
解答：解：在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：
由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；
由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；
由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；
或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，
故类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，推断：
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
都是恰当的
故答案为：①②③
2.三角形面积公式为S＝(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积公式为 （ ）
A.V＝abc B. V＝Sh
C. V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r（S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球半径）
D. V＝(ab＋bc＋ca)h（h为四面体的高）
3.已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可推知扇形的面积公式为S扇＝ （ ）
A. B. C. D. 不可类比
（二）填空题：
4.由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是 .
解析:等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比.
答案：各侧面与底面所成二面角相等,各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等
5.在平面几何中，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A－BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 ”；
斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面．
解答：解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得：SBCD2=SABC2+SACD2+SADB2．
6.从装有n＋1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m、n∈N*），共有种取法，在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，一类是取出的m个球中有一个1黑球，所以共有＋＝种，即有等式：＋＝成立. 试根据上述思想化简下列式子：＋＋＋…＋＝ .
7.在圆中有结论:如图,“AB是圆O的直径,直线AC,BD是圆O过A、B的切线，P是圆O上任意一点,CD是过P的切线，则有”. 类比到椭圆：“AB是椭圆的长轴，O是椭圆的中心，F1，F2是椭圆的的焦点，直线AC，BD是椭圆过A、B的切线，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，则有 .”
8.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ；【】
（三）解答题：
9.△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2EF·EFcos∠DFE，拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC－A1B1C1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，.
S△A1C1C2=S△BB1A12+S四边形BCC1B12-2S△BB1A1•S四边形BCC1B1•cosθ
10.在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.

四、历年高考的类比题目：
1.（04广东）由图⑴有面积关系：＝，则由⑵有体积关系: ＝ .

2.（02上海）如下图⑴，若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2，与点N1、N2，则＝·；若从O点所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR，分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，如图⑵，则类比的结论为 .
O
M
N
N1
N2
M2
M1
P
Q
R
P1
P2
Q2
R2
Q1
R1
O
图⑴
图⑵

3.（2000上海，第12题）在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n（n＜19，n∈N成立.类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式 成立.
4、在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:

试通过类比,写出在空间中的类似结论.

5、(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-

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