2020年广东省茂名市高考数学一模试卷及其答案教学内容.docx

2020 年广东省茂名市高考数学一模试卷及其答案 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 2020 年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）1.已知集合 ，则 A.B.C.D.1，2.i 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.记 为等差数列 的前 n项和，已知 ，则 A.10 B.11 C.12 D.13 4.剪纸是我国的传统工艺，要剪出如图“双喜”字，需要将一张长方形纸对折两次进行剪裁，下列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字 A.B.C.D.5.记 为等比数列 的前 n项和，若 ，则 A.64 B.729 C.64或 729 D.64 或 243 6.公元 263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即 12，24，48，192，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，正一百九十二边形，的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候 的近似值是 ，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则 的近似值是 精确到 参考数据 A.B.C.D.7.已知 、为双曲线 C：的左、右焦点，点 P在双曲线 C 上，且线段 的中点坐标为 ，则双曲线 C 的离心率为 A.B.C.D.2 8.前进中学高二学生会体育部共有 5人，现需从体育部派遣 4人，分别担任拔河比赛活动中的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每个人只能担任其中一项工作，其中体育部的张三不能担任裁判工作，则共有 种派遣方法 A.120 B.96 C.48 D.60 9.设函数 的最小正周期为，且过点 ，则下列正确的为 在 单调递减 的一条对称轴为 的周期为 把函数 的图象向左平移 个长度单位得到函数 的解析式为 A.B.C.D.10.下列函数图象中，函数 的图象不可能的是 A.B.C.D.11.已知 ，及抛物线方程为 ，点 P 在抛物线上，则使得 为直角三角形的点 P 个数为 A.1个 B.2 个 C.3个 D.4 个 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 12.已知函数 ，若函数 有四个零点，则 a的取值范围是 A.B.C.D.二、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）13.已知实数 x，y满足 ，则 的最小值为_ 14.在 中，且点 M满足 ，则 _ 15.点 P为曲线 图象上的一个动点，为曲线在点 P处的切线的倾斜角，则当 取最小值时 x 的值为_ 16.如图，网格纸上小正方形的边长为 ，某多面体的正视图、左视图、俯视图为同一图形，粗实线画出如图所示，则该多面体外接球的体积等于_ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分）17.在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 求角 C 的大小；求 的取值范围 18.如图，在三棱柱 中，平面 ABC，D是 AB的中点，求证：平面 ；求平面 与平面 所成锐二面角的平面角的余弦值 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 19.当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施某地区 2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为 50分，其中立定跳远 15分，掷实心球 15 分，1分钟跳绳 20分某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了 100名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如表：每分钟跳?绳个数 得分 16 17 18 19 20 现从样本的 100名学生中，任意选取 2人，求两人得分之和不大于33分的概率；若该校初三年级所有学生的跳绳个数 X服从正态分布 ，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差 结果四舍五入到整数，已知样本方差 各组数据用中点值代替 根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加 10 个，利用现所得正态分布模型：预估全年级恰好有 1000名学生，正式测试时每分钟跳 193 个以上的人数 结果四舍五入到整数 若在该地区 2020年所有初三毕业生中任意选取 3人，记正式测试时每分钟跳 202 个以上的人数为，求随机变量 的分布列和期望 附：若随机变量 X服从正态分布 ，则 ，精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 20.设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 求 m，n的值；当 时，若 k为整数，且 ，求 k的最大值 21.在圆 上任取一点 P，过点 P作 x轴的垂线段 PD，D 为垂足，当点 P在圆上运动时，点 M在线段 PD上，且 ，点 M的轨迹为曲线 求曲线 的方程；过抛物线 ：的焦点 F作直线 l 交抛物线于 A，B两点，过 F且与直线 l 垂直的直线交曲线 于另一点 C，求 面积的最小值，以及取得最小值时直线 l 的方程 22.设 A为椭圆 ：上任意一点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，B为 上任意一点 写出 参数方程和 普通方程；求 最大值和最小值 23.已知函数 ，对 ，满足 求 a的值；精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 若 ，使不等式 ，求实数 m的取值范围 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 答案和解析答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：0，1，2，故选：C 可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算 2.【答案】D 【解析】解：，在复平面内对应的点为 ，故选：D 由题意分子分母同乘以 ，再进行化简求出实部和虚部即可 本题考查了复数的除法运算，关键利用共轭复数对分母实数化 3.【答案】B 【解析】解：设等差数列 的公差为 d，解得 则 故选：B 利用等差数列通项公式求和公式即可得出 本题考查了等差数列通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4.【答案】D 【解析】解：如图“双喜”字，第一次对折后为；第二次对折后为；故选：D 把剪出“双喜”字对折两次即可得出结论 本题考查了轴对称的应用问题，是基础题 5.【答案】C 【解析】解：设等比数列 的公比为 ，解得 ，或 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 则 或 729 故选：C 利用等比数列的通项公式求和公式即可得出 本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6.【答案】B 【解析】解：连接圆心与正二十四边形的各个顶点，正二十四边形被分成了 24个面积相等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长为 1，顶角为 ，所以每个等腰三角形的面积 ，所以正二十四边形的面积为 ，故选：B 连接圆心与正二十四边形的各个顶点，正二十四边形被分成了 24 个面积相等的等腰三角形，可以计算出每个等腰三角形的面积，再算出正二十四边形的面积，即可求出 的近似值 本题主要考查了类比推理，是中档题 7.【答案】C 【解析】解：、为双曲线 C：的左、右焦点，点 P在双曲线 C 上，且线段 的中点坐标为 ，可得：，可得 ，所以双曲线的离心率为：故选：C 利用双曲线的通径的一半为 2b，列出方程，转化求解双曲线的离心率即可 本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，抓住通径与已知条件的转化是解题的关键 8.【答案】B 【解析】解：根据题意，需要先在 5人中选出 4人，分 2种情况讨论：，选出的 4 人中没有张三，此时将选出的 4人全排列，对应 4 项工作即可，此时有 种情况，选出的 4 人中没有张三，需要在其他 4人中选出 3 人，再让选出 4人担任 4项工作，张三不担任裁判工作，有 种情况，则一共有 种安排方法；故选：B 根据题意，分 2种情况讨论：，选出的 4人中没有张三，此时将选出的 4人全排列，对应 4 项工作即可，选出的 4人中没有张三，需要在其他 4人中选出 3人，再让选出 4 人担任 4项工作，张三不担任裁判工作，由加法原理计算可得答案 本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题 9.【答案】A 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 【解析】解：函数 ，由于函数的最小正周期为，所以 ，由于函数的图象经过点 ，所以 ，所以 所以函数 ，对于 在 时，所以函数单调递减故正确 对于 的一条对称轴为 当 时，函数取得最小值，故正确 ，所以函数的周期为 故错误 把函数 的图象向左平移 个长度单位得到函数 ，故错误 故选：A 首先把三角函数的关系式进行变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 10.【答案】C 【解析】解：A图象中函数的定义域为 R，函数是偶函数，则 为正偶数时，满足对应图象，B图象中函数的定义域为 ，函数是偶函数，则 为负偶数时，满足对应图象，C 图象中函数的定义域为 R，函数是奇函数，则 为正奇数，函数为增函数，且递增的速度越来越快，故 C 不满足条件 D图象中函数的定义域为 R，函数是奇函数，则 为正奇数，函数为增函数，且递增的速度越来越快，故 D满足条件 故选：C 结合函数定义域，奇偶性以及幂函数的性质分别进行判断即可 本题主要考查函数图象的识别和判断结合函数的定义域，奇偶性，得到 是奇偶数是解决本题的关键难度中等 11.【答案】D 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 【解析】解：由题意如图所示，当 ，为直角时，即当 ，时有两个点，当 ，即 ，为直角时，设 ，即 ，整理：，可得由两个根，即有两个 P点关于 y 轴对称，综上所述共有 4个点 P满足 为直角三角形，故选：D 讨论分别以 P，A，B为直角顶点的情况，可得 为直角三角形的个数 考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题 12.【答案】C 【解析】解：当 时，显然不符合题意，舍去；当 时，为 上的增函数，在区间 上至多有一个零点，与条件矛盾，不合题意，舍去；当 时，则 在 上有两个零点，在 上有两个零点 当 时，由于对称轴是 ，故只要 ，即 ；当 时，令 ，则 ，当 时，在 上单调递增，与条件矛盾，不符合题意，舍去；当 时，时，单调递减；当 时，单调递增；且根据不同函数的增长率的知识知，必然存在 ，使得 ；故 时 有极小值，要满足条件，只要 ，即 ；综上所述，且 ，故 ；故选：C 当 时，显然不符合题意，舍去；当 时，为 上的增函数，在区间 上至多有一个零点，与条件矛盾，不合题意，舍去；当 时，使 在 上有两个零点，在 上有两个零点即可 本题考查了分段函数的零点问题，要分类讨论，注意数形结合，属于中档精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 题 13.【答案】1 【解析】解：由实数 x，y满足 ，作出可行域如图，联立 ，解得 ，化目标函数 为 ，由图可知，当直线 过 A时，直线在 y轴上的截距最小，z 有最小值为 故答案为：1 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 14.【答案】6 【解析】解：因为在 中，所以 是等边三角形 因为点 M满足 ，所以，点 C 是 BM的中点，所以 ，故答案为：6 根据题意可知 是等边三角形且点 C 是 BM的中点，将 用 ，表示，再进行 运算 本题考查数量积的运算，属于中档题 15.【答案】【解析】解：由 ，得 ，当且仅当 ，即 时，最小，此时 最小，最小 故答案为：求出原函数的导函数，利用基本不等式求得导函数的最小值，再由倾斜角精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 的正切值等于斜率得答案 本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，过曲线上的某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题 16.【答案】【解析】解：根据该几何体的三视图可知该几何体外框架为正方体，棱长为 2，则其外接球的半径 ，所以其体积为 ，故答案为：判断出几何体外框架为正方体即可 本题考查几何体三视图，几何体外接球体积公式，属于中档题 17.【答案】解：由 ，及正弦定理 ，得 ，即 ，由余弦定理得 ，结合 ，得 ，即 ，则 ，则 的取值范围是 【解析】利用正弦定理化简已知等式可得 ，即 ，再利用余弦定理结合 ，得 C 根据 C 的度数求出 的度数，用 A 表示出 B，代入 中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据 A的范围得到这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出所求式子的范围 此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于基础题 18.【答案】解：证明：取 中点 E，连结 BE，在三棱柱 中，D是 AB 的中点，精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 ，平面 平面 ，平面 解：平面 ABC，D是 AB的中点，所以 ，以 C 为原点，CB为 x轴，为 y轴，CA为 z 轴，建立空间直角坐标系，平面 的法向量为 0，4，0，0，0，0，设 0，4，设平面 的法向量 y，则 ，取 ，得 1，设平面 与平面 所成锐二面角的平面角为，则 平面 与平面 所成锐二面角的平面角的余弦值为 【解析】取 中点 E，连结 BE，从而 ，进而平面 平面 ，由此能证明 平面 以 C 为原点，OB为 x轴，为 y轴，CA为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 与平面 所成锐二面角的平面角的余弦值 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19.【答案】解：现从样本的 100名学生中，任意选取 2人，两人得分之和不大于 33分，即两人得分均为 16 分，或两人中 1人 16分，1 人 17分，由题意知：得 16 分的分数为 5 人，得 17分的人数为 9 人，两人得分之和不大于 33 分的概率为：个，正式测试时，正式测试时每分钟跳 193 个以上的人数为 841个 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 由正态分布模型得，在该地区 2020年初三毕业生中任取 1人，每分钟跳绳个数 202 以上的概率为 ，即 ，的分布列为：0 1 2 1 P 【解析】现从样本的 100名学生中，任意选取 2人，两人得分之和不大于 33分，即两人得分均为 16 分，或两人中 1人 16 分，1人 17分，由此能求出两人得分之和不大于 33分的概率 求出 个，从而正式测试时，进而 ，由此能求出正式测试时每分钟跳193个以上的人数 由正态分布模型得，在该地区 2020年初三毕业生中任取 1人，每分钟跳绳个数 202以上的概率为 ，即 ，由此能求出 的分布列和 本题考查概率、频数的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查正态分布、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20.【答案】解：，易知切线方程的斜率为 1，且过点 ，解得 ，；由 知，即为 ，当 时，等价于 ，令 ，则 ，令 ，由 得，函数 在 上递增，而 ，故存在唯一的零点 ，使得 ，即存在唯一的零点 ，使得 ，当 时，递减，当 时，递增，精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 ，又 ，即 ，故 ，整数 k的最大值为 2 【解析】根据题意，列出方程组，解出即可；将原不等式变形为于 ，构造新函数 ，求其最小值即可 本题考查导数的几何意义，以及利用导数解不等式，确定参数的范围，属于较难的题 21.【答案】解 设 ，由题意可知 ，因为 ，所以可得 M是 DP的中点，即 ，而 P在圆 上，所以可得 ，整理得：，所以曲线 的方程：由题意焦点 F 的坐标 ，显然直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为：，设交点 ，联立直线与抛物线的方程：，所以弦长 ，由题意可知 CF的方程为：，与曲线 联立 可得：，代入直线 CF中 ，即 C 的坐标为 ，所以 ，所以 ，令 ，则 ，令 ，令 ，精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 当 ，单调递减 当 ，单调递增，所以 ，最小，且最小值 ，所以 面积的最小值为 ，且这时 ，解得 ，即直线 l 的方程为：【解析】由题意设 P，M的坐标可得 D的坐标，由向量之间的关系求出P，M的坐标的关系，由相关点法，P在圆上得出 M的轨迹方程；设直线 l 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB的长，再求直线 CF的方程与曲线 联立求出 C 的坐标，求出 CF的长，由题意 ，即 CF的长为 C 到 AB边上的高，求出面积，换元，用导数求出函数在单调性，进而求出面积的最小值，及此时的直线 l 的方程 考查直线与圆锥曲线的综合应用，属于中难题 22.【答案】解：椭圆 ：转换为参数方程为 为参数 曲线 的极坐标方程为 ，转换为直角坐标方程为 ，整理得 椭圆上点 到曲线 的圆心 的距离 ，当 时，当 时，所以 ，【解析】先将直线 l 的参数方程利用部分分式法进行转化，再消参数，将曲线 C 的方程先去分母，再将 ，代入，化简即可求解；先将曲线 C 的方程化为参数形式，再利用两点间的距离公式，结合三角函数求最值，即可得解 本题考查参数方程与普通方程、直角坐标和极坐标之间的转化、二次函数性质的应用，两点间的距离公式的应用，考查考生的运算求解能力，考查化归与转化思想 23.【答案】解：函数 ，对 ，满足 ，精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 可得 的图象关于直线 对称，可得 ；由 可得 ，若 ，使不等式 ，可得 的最大值，由 ，当且仅当 时，取得等号，即最大值 2，则 ，解得 【解析】由题意可得 的图象关于直线 对称，再由绝对值函数的对称轴，可得 a 的值；运用绝对值不等式的性质和二次不等式的解法，即可得到所求范围 本题考查函数的对称性的判断和运用，不等式成立问题解法，注意运用绝对值不等式的性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题