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高中数学必修1难题好题2

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高中数学必修1难题好题

1．（2013•重庆）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并．

2．（2011•朝阳区二模）对于整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r，0≤r＜|b|．特别地，当r=0时，称b能整除a，记作b|a，已知A={1，2，3，…，23}．
（Ⅰ）存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），试求q，r的值；
（Ⅱ）若B⊆A，card（B）=12（card（B）指集合B 中的元素的个数），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，则称B为“谐和集”．请写出一个含有元素7的“谐和集”B0和一个含有元素8的非“谐和集”C，并求最大的m∈A，使含m的集合A有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由．

3．（2010•北京）已知集合Sn={X|X=（x1，x2，…，xn），x1∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）对于A=（a1，a2，…an，），B=（b1，b2，…bn，）∈Sn，定义A与B的差为A﹣B=（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…|an﹣bn|）；
A与B之间的距离为
（Ⅰ）当n=5时，设A=（0，1，0，0，1），B=（1，1，1，0，0），求d（A，B）；
（Ⅱ）证明：∀A，B，C∈Sn，有A﹣B∈Sn，且d（A﹣C，B﹣C）=d（A，B）；
（Ⅲ）证明：∀A，B，C∈Sn，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．

4．（2008•南京模拟）已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），k（A）表示ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（1）已知集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求k（P）和k（Q）；
（2）若集合A={2，4，8，…，2n}，证明：；
（3）求k（A）的最小值．

5．（2007•北京）已知集合A={a1，a2，…，ak（k≥2）}，其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有﹣a∉A，则称集合A具有性质P．
（Ⅰ）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
（Ⅱ）对任何具有性质P的集合A，证明：；
（Ⅲ）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．

6．（2003•上海）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=ax∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．

7．设a，b是两个实数，
A={（x，y）|x=n，y=na+b，n是整数}，
B={（x，y）|x=m，y=3m2+15，m是整数}，
C={（x，y）|x2+y2≤144}，
是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得
（1）A∩B≠φ（φ表示空集），
（2）（a，b）∈C
同时成立．

8．设集合，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}．
（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数．
（2）若B=∅，求m的取值范围．
（3）若A⊇B，求m的取值范围．

9．已知集合P=，y=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为Q．
（1）若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；
（2）若方程，求实数a的取值的取值范围．

10．（2007•天津）设函数f（x）=﹣x（x﹣a）2（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅲ）当a＞3时，证明存在k∈[﹣1，0]，使得不等式f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）对任意的x∈R恒成立．

11．（2006•上海）已知函数y=x+有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．
（Ⅰ）如果函数y=x+（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（Ⅱ）研究函数y=x2+（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（Ⅲ）对函数y=x+和y=x2+（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=（x2）n+（）n（n是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

12．（2006•上海）已知函数有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
（1）如果函数在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）上是增函数，求b的值．
（2）设常数c∈[1，4]，求函数的最大值和最小值；
（3）当n是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由．

13．（2005•上海）对定义域是Df．Dg的函数y=f（x）．y=g（x），
规定：函数h（x）=．
（1）若函数f（x）=，g（x）=x2，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．

14．（2005•浙江）函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．
（Ⅲ）若h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

15．（2005•湖南）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2+bx，a≠0．
（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x）﹣g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．

16．（2005•广东）设函数f（x）在（﹣∞，+∞）上满足f（2﹣x）=f（2+x），f（7﹣x）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0．
（Ⅰ）试判断函数y=f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程f（x）=0在闭区间[﹣2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．

17．（2004•上海）已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）+g（x）的单调递增区间；
（3）若n为正整数，证明：．

18．（2002•北京）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（ab）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0）及f（1）的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f（2）=2，un=，求证数列{un}是等差数列，并求{un}的通项公式．

19．（2001•广东）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称对任意x1，x2∈[0，]，都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2），且f（1）=a＞0．
（Ⅰ）求f；
（Ⅱ）证明f（x）是周期函数；
（Ⅲ）记an=f（2n+），求．

20．（2013•重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

21．（2011•湖北）设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．
（Ⅰ） 求a、b的值，并写出切线l的方程；
（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．

22．（2009•韶关二模）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．
（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元．写出an，bn的表达式；
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

23．（2009•山东）两城市A和B相距20km，现计划在两城市外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．
（1）将y表示成x的函数；
（2）判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

24．（2008•湖北）水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为
（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期．以i﹣1＜t＜i表示第i月份（i=1，2，…，12），同一年内哪几个月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）．

25．（2007•浙江）已知f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．
（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明．

26．（2007•北京）已知函数y=kx与y=x2+2（x≥0）的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2），l1，l2分别是y=x2+2（x≥0）的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点．
（I）求k的取值范围；
（II）设t为点M的横坐标，当x1＜x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（III）试比较|OM|与|ON|的大小，并说明理由（O是坐标原点）．

27．（2007•江苏）已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根．
（1）求d的值；
（2）若a=0，求c的取值范围；
（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范围．

28．（2006•重庆）已知定义域为R的函数是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．

29．（2006•浙江）设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求证：
（Ⅰ）方程f（x）=0有实根．
（Ⅱ）﹣2＜＜﹣1；设x1，x2是方程f（x）=0的两个实根，则.．

30．（2004•北京）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本）

参考答案与试题解析

1．（2013•重庆）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并．

考点：
集合中元素个数的最值；子集与交集、并集运算的转换．
专题：
压轴题；新定义；函数的性质及应用．
分析：
（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，根据Pn中有3个数与In={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数．
（2）先用反证法证明证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证P14满足要求，从而求得n的最大值．
解答：
解：（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，Pn={|m∈In，k∈In}中有3个数（1，2，3）与
In={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得
集合P7中元素的个数为 7×7﹣3=46．
（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．否则，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In ．
不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，
这与A为稀疏集相矛盾．
再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集．
事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14．
当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列3个稀疏集的并：
A2={，，，}，B2={，，}．
当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，
可以分为下列3个稀疏集的并：
A3={，，，，}，B3={，，，，}．
最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，
它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14．
综上可得，n的最大值为14．
点评：
本题主要考查新定义，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

2．（2011•朝阳区二模）对于整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r，0≤r＜|b|．特别地，当r=0时，称b能整除a，记作b|a，已知A={1，2，3，…，23}．
（Ⅰ）存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），试求q，r的值；
（Ⅱ）若B⊆A，card（B）=12（card（B）指集合B 中的元素的个数），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，则称B为“谐和集”．请写出一个含有元素7的“谐和集”B0和一个含有元素8的非“谐和集”C，
解答：
解：（Ⅰ）因为2011=91q+r，所以2011=91×22+9．（2分）
又因为q∈A，所以q=22，r=9．（4分）
（Ⅱ）含有元素7的一个“和谐集”
B0={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}．（5分）
含有元素8的一个非“和谐集”
C={8，9，10，11，12，13，14，15，17，19，21，23}．（7分）
当m=8时，记M={7+i|i=1，2，…，16}，
N={2（7+i）|i=1，2，3，4}，
记P=CMN，则card（P）=12．
显然对任意1≤i＜j≤16，不存在n≥3，使得7+j=n（7+i）成立．
故P是非“和谐集”，此时P={8，9，10，11，12，13，14，15，17，19，21，23}．
同理，当m=9，10，11，12时，存在含m的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”．
因此m≤7．（10分）
下面证明：含7的任意集合A的有12个元素的子集为“和谐集”．
设B={a1，a2，…，a11，7}，
若1，14，21中之一为集合B的元素，显然为“和谐集”．
现考虑1，14，21都不属于集合B，构造集合B1={2，4，8，16}，
B2={3，6，12}，B3={5，10，20}，B4={9，18}，B5={11，22}，
B′={13，15，17，19，23}．（12分）
以上B1，B2，B3，B4，B5每个集合中的元素都是倍数关系．
考虑B'⊆B的情况，也即B′中5个元素全都是B的元素，
B中剩下6个元素必须从B1，B2，B3，B4，B5这5个集合中选取6个元素，
那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B中至少有两个元素存在倍数关系．
综上，含7的任意集合A的有12个元素的子集B为“和谐集”，即m的最大值为7．
点评：
本题是新定义题，考查了子集与真子集，解答的关键是读懂题意，巧妙运用，有一定的难度．

3．（2010•北京）已知集合Sn={X|X=（x1，x2，…，xn），x1∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）对于A=（a1，a2，…an，），B=（b1，b2，…bn，）∈Sn，定义A与B的差为A﹣B=（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…|an﹣bn|）；
A与B之间的距离为
（Ⅰ）当n=5时，设A=（0，1，0，0，1），B=（1，1，1，0，0），求d（A，B）；
（Ⅱ）证明：∀A，B，C∈Sn，有A﹣B∈Sn，且d（A﹣C，B﹣C）=d（A，B）；
（Ⅲ）证明：∀A，B，C∈Sn，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．

考点：
交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换．菁优网版权所有
专题：
证明题；综合题；压轴题．
分析：
（Ⅰ）由题意中的定义和集合A、B求出A﹣B，再由A与B之间的距离公式，求出d（A，B）；
（Ⅱ）根据题意设出集合A、B、C，则ai，bi，ci∈{0，1}（i=1，2，n），故得A﹣B∈Sn，再分ci=0和ci=1两种情况求出d（A﹣C，B﹣C）和d（A，B）；
（Ⅲ）根据题意设出集合A、B、C，再根据（Ⅱ）的结论，表示出d（A，B），d（A，C），d（B，C），再根据集合的元素为“0，1”，确定所求三个数中至少有一个是偶数．
解答：
解：（Ⅰ）由题意得，A﹣B=（|0﹣1|，|1﹣1|，|0﹣1|，|0﹣0|，|1﹣0|）=（1，0，1，0，1），
d（A，B）=|0﹣1|+|1﹣1|+|0﹣1|+|0﹣0|+|1﹣0|=3
（Ⅱ）证明：设A=（a1，a2，an），B=（b1，b2，bn），C=（c1，c2，cn）∈Sn
因为a1，b1∈{0，1}，所以|a1﹣b1|∈{0，1}（i=1，2，n）
从而A﹣B=（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，|an﹣bn|）∈Sn
由题意知ai，bi，ci∈{0，1}（i=1，2，n）
当ci=0时，||ai﹣ci|﹣|bi﹣ci||=|ai﹣bi|
当ci=1时，||ai﹣ci|﹣|bi﹣ci||=|（1﹣ai）﹣（1﹣bi）|=|ai﹣bi|
所以
（Ⅲ）证明：设A=（a1，a2，an），B=（b1，b2，bn），C=（c1，c2，cn）∈Sn，
d（A，B）=k，d（A，C）=l，d（B，C）=h
记0=（0，0，0）∈Sn，
由（Ⅱ）可知
所以|bi﹣ai|（i=1，2，n）中1的个数为k，|ci﹣ai|（i=1，2，n）中1的个数为l
设t是使|bi﹣ai|=|ci﹣ai|=1成立的i的个数．则h=l+k﹣2t
由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数
即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．
点评：
本题考查了利用新定义和集合的运算性质综合应用的能力，属于高难度题，需要认真审题，抓住新定义的本质．

4．（2008•南京模拟）已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），k（A）表示ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（1）已知集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求k（P）和k（Q）；
（2）若集合A={2，4，8，…，2n}，证明：；
（3）求k（A）的最小值．

考点：
元素与集合关系的判断．菁优网版权所有
专题：
计算题；证明题；压轴题．
分析：
（1）由题意知k（P）=5，k（Q）=6
（2）ai+aj（1≤i＜j≤n）共有个．所以．然后利用题设条件证明所有ai+aj（1≤i＜j≤n）各不相同．
（3）设a1＜a2＜＜an，所以a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+an＜a2+an＜…＜an﹣1+an．由此能够推出k（A）的最小值2n﹣3．
解答：
解：（1）由题意知K（P）中的值有6，8，10，12和14五个值，∴k（P）=5，
K（Q）中的值有6，10，18，12，20，24，∴k（Q）=6
（2）证明：ai+aj（1≤i＜j≤n）共有个
所以
下面证明所有ai+aj（1≤i＜j≤n）各不相同
任取ai+aj和ak+al（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n）
当j=l时，若ai+aj=ak+al，则ai=ak，矛盾
当j≠l时，若ai+aj=ak+al，则ai+aj＜2aj=2j+1≤al＜ak+al
即ai+aj≠ak+al
所以所有ai+aj（1≤i＜j≤n）各不相同，所以
（3）不妨设a1＜a2＜＜an，
所以a1+a2＜a1+a3＜＜a1+an＜a2+an＜＜an﹣1+an
所以ai+aj（1≤i＜j≤n）中至少有2n﹣3个不同的数，即k（A）≥2n﹣3
取A={1，2，3，n}，则ai+aj∈{3，4，5，••，2n﹣1}共2n﹣3个
所以k（A）的最小值2n﹣3
点评：
本题考查集合与元素的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．

5．（2007•北京）已知集合A={a1，a2，…，ak（k≥2）}，其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有﹣a∉A，则称集合A具有性质P．
（Ⅰ）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
（Ⅱ）对任何具有性质P的集合A，证明：；
（Ⅲ）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．

考点：
元素与集合关系的判断；集合的含义．菁优网版权所有
专题：
综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．
分析：
（I）利用性质P的定义判断出具有性质P的集合，利用集合S，T的定义写出S，T．
（II）据具有性质P的集合满足a∈A，总有﹣a∉A，得到0∉A得到（ai，ai）∉T；当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）∉T，求出T中的元素个数．
（III）对应S中的元素据S，T的定义得到也是T中的元素，反之对于T中的元素也是s中的元素，得到两个集合中的元素相同．
解答：
（I）解：集合{0，1，2，3}不具有性质P．
集合{﹣1，2，3}具有性质P，其相应的集合S和T是
S=（﹣1，3），（3，﹣1），T=（2，﹣1），（2，3）．
（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对（ai，aj）共有k2个．
因为0∉A，所以（ai，ai）∉T（i=1，2，k）；
又因为当a∈A时，﹣a∉A时，﹣a∉A，
所以当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）∉T（i，j=1，2，k）．
从而，集合T中元素的个数最多为，
即．
（III）解：m=n，证明如下：
（1）对于（a，b）∈S，根据定义，
a∈A，b∈A，且a+b∈A，从而（a+b，b）∈T．
如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素，
那么a=c与b=d中至少有一个不成立，
从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立．
故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素．
可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，
（2）对于（a，b）∈T，根据定义，a∈A，b∈A，
且a﹣b∈A，从而（a﹣b，b）∈S．
如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素，
那么a=c与b=d中至少有一个不成立，
从而a﹣b=c﹣d与b=d中也至少有一个不成立，
故（a﹣b，b）与（c﹣d，d）也是S的不同元素．
可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，
由（1）（2）可知，m=n．
点评：
本题考查利用题中的新定义解题；新定义题是近几年常考的题型，要重视．

6．（2003•上海）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=ax∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．

考点：
集合的包含关系判断及应用；指数函数综合题；已知三角函数模型的应用问题．菁优网版权所有
专题：
证明题；压轴题；新定义．
分析：
（1）将f（x）=x代入定义（x+T）=T f（x）验证知函数f（x）=x不属于集合M．
（2）由题意存在x∈R使得ax=x，由新定义知存在非零常数T使得aT=T，将函数关系式代入f（x+T）=T f（x）验证知
f（x）=ax∈M．
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，依据定义应该有sin（kx+kT）=Tsinkx∈[﹣1，1]对任意实数都成立，故T=±1．将T=±1代入sin（kx+kT）=Tsinkx求k的范围即可．
解答：
解：（1）对于非零常数T，
f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx．
因为对任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，
所以f（x）=x∉M；
（2）因为函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，
所以方程组：有解，消去y得ax=x，
显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T．
于是对于f（x）=ax有f（x+T）=ax+T=aT•ax=T•ax=Tf（x）故f（x）=ax∈M；
（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M．
当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M，所以存在非零常数T，
对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
即sin（kx+kT）=Tsinkx．
因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈[﹣1，1]，sin（kx+kT）∈[﹣1，1]，
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx．成立，
只有T=±1，当T=1时，sin（kx+k）=sinkx成立，
则k=2mπ，m∈Z．
当T=﹣1时，sin（kx﹣k）=﹣sinkx成立，
即sin（kx﹣k+π）=sinkx成立，
则﹣k+π=2mπ，m∈Z，即k=﹣（2m﹣1）π，m∈Z．
综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ，m∈Z}．
点评：
考查新定义下问题的证明与求解，此类题的特点是探究时只能以新定义的规则为依据，不能引入熟悉的算法，这是做此类题时要注意的．

7．设a，b是两个实数，
A={（x，y）|x=n，y=na+b，n是整数}，
B={（x，y）|x=m，y=3m2+15，m是整数}，
C={（x，y）|x2+y2≤144}，
是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得
（1）A∩B≠φ（φ表示空集），
（2）（a，b）∈C
同时成立．

考点：
集合关系中的参数取值问题；点到直线的距离公式．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
A、B、C是点的集合，由y=na+b和y=3m2+15想到直线和抛物线．
A∩B≠φ表示直线和抛物线有公共点，
故只需联力方程，△≥0得a，b的关系式，
再考虑与集合C中x2+y2≤144表示的以原点为圆心，以12为半径的圆及内部点的关系即可．
解答：
解：据题意，知
A={（x，y）|x=n，y=an+b，n∈Z}
B={（x，y）|x=m，y=3m^2+15，m∈Z}
假设存在实数a，b，使得A∩B≠Ø成立，则方程组
y=ax+b
y=3x2+15 有解，且x∈Z．
消去y，方程组化为 3x2﹣ax+15﹣b=0．①
∵方程①有解，
∴△=a2﹣12（15﹣b）≥0．
∴﹣a2≤12b﹣180．②
又由（2），得 a2+b2≤144．③
由②+③，得 b2≤12b﹣36．
∴（b﹣6）2≤0
∴b=6．
代入②，得 a2≥108．
代入③，得 a2≤108．
∴a2=108．a=±6√3
将a=±6，b=6代入方程①，得
3x2±6x+9=0．
解之得 x=±，与x∈Z矛盾．
∴不存在实数a，b使（1）（2）同时成立．
点评：
此题以集合为背景考查直线和抛物线的位置关系，以及圆等知识，综合性较强．

8．设集合，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}．
（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数．
（2）若B=∅，求m的取值范围．
（3）若A⊇B，求m的取值范围．

考点：
子集与真子集；集合的包含关系判断及应用；空集的定义、性质及运算．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
（1）由条件：“x∈Z”知集合A中的元素是整数，进而求它的子集的个数；
（2）由条件：“B=∅”知集合B中的没有任何元素是，得不等式的解集是空集，进而求m；
（3）由条件：“A⊇B”知集合B是A的子集，结合端点的不等关系列出不等式后解之即得．
解答：
解：化简集合A={x|﹣2≤x≤5}，集合B可写为B={x|（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0}
（1）∵x∈Z，∴A={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，即A中含有8个元素，∴A的非空真子集数为28﹣2=254（个）．
（2）显然只有当m﹣1=2m+1即m=﹣2时，B=∅．
（3）当B=∅即m=﹣2时，B=∅⊆A；
当B≠∅即m≠﹣2时，
（ⅰ）当m＜﹣2时，B=（2m+1，m﹣1），要B⊆A，只要，所以m的值不存在；
（ⅱ）当m＞﹣2时，B=（m﹣1，2m+1），要B⊆A，只要．
点评：
本题考查集合的子集、集合的包含关系判断及应用以及空集的性质及运算．是一道中档题．

9．已知集合P=，y=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为Q．
（1）若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；
（2）若方程，求实数a的取值的取值范围．

考点：
集合的包含关系判断及应用；对数函数图象与性质的综合应用．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
（1）是一个存在性的问题，此类题求参数一般转化为求最值．若是存在大于某式的值成立，一般令其大于其最小值，
（2）也是一个存在性的问题，其与（1）不一样的地方是其为一个等式，故应求出解析式对应函数的值域，让该参数是该值域的一个元素即可保证存在性．
解答：
解：（1）由已知Q={x|ax2﹣2x+2＞0}，若P∩Q≠∅，
则说明在内至少有一个x值，使不等式ax2﹣2x+2＞0，即，
在．
∴a的取值范围是a＞﹣4；
（2）∵方程，
∴
∵∴．
点评：
考查存在性问题求参数范围，本题中两个小题都是存在性，因为其转化的最终形式不一样，所以求其参数方式不一样，一是其最值，一是求值域．答题者应细心体会其不同．此类题一般难度较大，要求有较强的逻辑推理能力进行正确的转化．

10．（2007•天津）设函数f（x）=﹣x（x﹣a）2（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅲ）当a＞3时，证明存在k∈[﹣1，0]，使得不等式f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）对任意的x∈R恒成立．

考点：
函数单调性的性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
（Ⅰ）求出f（2）和f′（2），利用点斜式写切线方程．
（Ⅱ）求导，令f′（x）=0，再考虑f（x）的单调性，求极值即可．
（Ⅲ）有（Ⅱ）可知当a＞3时f（x）为单调函数，利用单调性直接转化为k﹣cosx≤k2﹣cos2x恒成立，分离参数求解即可．
解答：
解：（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=﹣x（x﹣1）2=﹣x3+2x2﹣x，得f（2）=﹣2，且f'（x）=﹣3x2+4x﹣1，f'（2）=﹣5．
所以，曲线y=﹣x（x﹣1）2在点（2，﹣2）处的切线方程是y+2=﹣5（x﹣2），整理得5x+y﹣8=0．

（Ⅱ）解：f（x）=﹣x（x﹣a）2=﹣x3+2ax2﹣a2xf'（x）=﹣3x2+4ax﹣a2=﹣（3x﹣a）（x﹣a）．
令f'（x）=0，解得或x=a．
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
（1）若a＞0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

因此，函数f（x）在处取得极小值，且；
函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．
（2）若a＜0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0；
函数f（x）在处取得极大值，且．

（Ⅲ）证明：由a＞3，得，当k∈[﹣1，0]时，k﹣cosx≤1，k2﹣cos2x≤1．
由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣∞，1]上是减函数，要使f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x），x∈R
只要k﹣cosx≤k2﹣cos2x（x∈R）
即cos2x﹣cosx≤k2﹣k（x∈R）①
设，则函数g（x）在R上的最大值为2．
要使①式恒成立，必须k2﹣k≥2，即k≥2或k≤﹣1．
所以，在区间[﹣1，0]上存在k=﹣1，使得f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）对任意的x∈R恒成立．
点评：
本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．

11．（2006•上海）已知函数y=x+有如