初一数轴难题集合教学提纲.doc

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数轴难题集合
1．已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…

（1）求出5秒钟后动点Q所处的位置；
（2）如果在数轴l上还有一个定点A，且A与原点O相距20个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．
【解析】解：（1）∵2×5=10，
∴点Q走过的路程是1+2+3+4=10，
Q处于：1﹣2+3﹣4=4﹣6=﹣2；
（2）①当点A在原点左边时，设需要第n次到达点A，则
=20，
解得n=39，
∴动点Q走过的路程是
1+|﹣2|+3+|﹣4|+5+…+|﹣38|+39，
=1+2+3+…+39，
==780，
∴时间=780÷2=390秒（6.5分钟）；
②当点A原点左边时，设需要第n次到达点A，则=20，
解得n=40，
∴动点Q走过的路程是
1+|﹣2|+3+|﹣4|+5+…+39+|﹣40|，
=1+2+3+…+40，
==820，
∴时间=820÷2=410秒 （6分钟）．
【点评】本题考查了数轴的知识，（2）题注意要分情况讨论求解，弄清楚跳到点A处的次数的计算方法是解题的关键，可以动手操作一下便不难得解．
2．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a－b|．

利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和10两点之间的距离是_________，数轴上表示2和－10的两点之间的距离是______．
（2）数轴上表示x和－2的两点之间的距离表示为____________．
（3）若x表示一个有理数， |x－1|+|x+2|有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有，写出理由．
（4）若x表示一个有理数，求|x－1|+|x－2|+|x－3|+|x－4|+……+|x－2014|+|x－2015|的最小值．
【解析】
试题分析：（1）（2）依据在数轴上A、B两点之间的距离AB= 求解即可；
（3）|x－1|+|x+2|表示数轴上x和1的两点之间与x和-2的两点之间距离和；
（4）依据绝对值的几何意义回答即可．
试题解析：
（1）；；故答案为：8；12；
（2）；故答案为：|x+2|；
（3）|x-1|+|x+2|表示数轴上x和1的两点之间与x和－2的两点之间距离和，利用数轴可以发现当－2≤x≤1时有最小值，这个最小值就是1到－2的距离．故|x-1|+|x+2|最小值是3．
（4）当x=1008时有最小值，此时，原式=1007+1006+1005+…+2+1+0+1+2+…1006+1007
=1015056
考点：（1）绝对值；（2）数轴．
3．阅读理解：如图，A．B．C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．例如，如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示数0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点．

知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为－2，点N所表示的数为4．

（1）数 所表示的点是【M，N】的好点；
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t．当t为何值时，P、M、N中恰有一个点为其余两点的好点？
【解析】
试题分析：（1）设所求数为x，由好点的定义列出方程x﹣（﹣2）=2（4﹣x），解方程即可；
（2）由好点的定义可知分四种情况：①P为【M，N】的好点；②P为【N，M】的好点；③M为【N，P】的好点；④M为【P，N】的好点．设点P表示的数为y，由好点的定义列出方程，进而得出t的值．
试题解析：解：（1）设所求数为x，由题意得
x﹣（﹣2）=2（4﹣x），解得x=2，故答案为：2；
（2）设点P表示的数为4﹣2t，分四种情况讨论：
①当P为【M，N】的好点时．PM=2PN，即6﹣2t=2×2t，t=1；
②当P为【N，M】的好点时．PN=2PM，即2t=2（6﹣2t），t=2；
③当M为【N，P】的好点时．MN=2PM，即6=2（2t﹣6），t=4.5；
④当M为【P，N】的好点时．MP=2MN，即2t﹣6=12，t=9；
综上可知，当t=1，2，4.5，9时，P、M、N中恰有一个点为其余两点的好点．
考点：1．一元一次方程的应用；2．数轴；3．几何动点问题；4．分类讨论．

4．如图，数轴的单位长度为1．

（1）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中点A、点D表示的数分别是 、 ；
（2）当点B为原点时，在数轴上是否存在点M，使得点M到点A的距离是点M到点D的距离的2倍，若存在，请求出此时点M所表示的数；若不存在，说明理由；
（3） 在（2）的条件下，点A、点C分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度同时向右运动，同时点P从原点出发以3个单位长度/秒的速度向左运动，当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？
【解析】
试题分析：（1）由点B，D表示的数互为相反数，所以点B为﹣2，D为2，则点A为﹣4；
（2）存在，分两种情况讨论解答；
（3）设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，运动时间为t，A点运动到：﹣2+2t，C点运动到：3+0.5t，由AC=3，分类讨论，即可解答．
试题解析：解：（1）∵点B，D表示的数互为相反数，∴点B为﹣2，D为2，∴点A为﹣4，故答案为：﹣4，2；
（2）存在，如图：

当点M在A，D之间时，设M表示的数为x，则x﹣（﹣2）=2（4﹣x）
解得：x=2，当点M在A，D右侧时，则x﹣（﹣2）=2（x﹣4），解得：x=10，所以点M所表示的数为2或10；
（3）设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，运动时间为t，A点运动到：﹣2+2t，C点运动到：3+0.5t，①﹣2+2t﹣（3+0.5t）=3，解得：t=6，所以P点对应运动的单位长度为：3×6=18，所以点P表示的数为﹣18．
②3+0.5t﹣（﹣2+2t）=3，解得：t=，所以P点对应运动的单位长度为：3×=4，所以点P表示的数为﹣4．
答：点P表示的数为﹣18或﹣4．
考点：1．数轴；2．相反数．
5．（本题9分）数轴上的点M对应的数是-4，一只甲虫从M点出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度爬行，当它到达数轴上的N点后，立即返回到原点，共用11秒．
（1）甲虫爬行的路程是多少？
（2）点N对应的数是多少？
（3）点M和点N之间的距离是多少？
【解析】
试题分析：（1）利用公式：路程=速度×时间，直接得出答案；
（2）先设点N表示的数为a，分两种情况：点M在点N左侧或右侧，求出从M点到N点单位长度的个数，再由M点表示的数是-4，从点N返回到原点即可得出N点表示的数．
（3）根据点N表示的数即可得出点M和点N之间的距离．
试题解析：（1）2×11=22（个单位长度）．
故蚂蚁爬行的路程是22个单位长度．
（2）①当点M在点N左侧时：
a+4+a=22，
a=9；
②当点M在点N右侧时：
-a-4-a=22，
a=-13；
（3）点M和点N之间的距离是13或9．
考点：数轴．

6．（11分）已知：如图，O为数轴的原点，A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-30，B点对应的数为100.
A
B
-30
100
O

（1）A、B间的距离是 ；（2分）
（2）若点C也是数轴上的点，C到B的距离是C到原点O的距离的3倍，求C对应的数；
（3）若当电子P从B点出发，以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位长度/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，那么D点对应的数是多少？（3分）
（4）若电子蚂蚁P从B点出发，以8个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出，以4个单位长度/秒向右运动.设数轴上的点N到原点O的距离等于P点到O的距离的一半，有两个结论①ON+AQ的值不变；②ON-AQ的值不变.请判断那个结论正确，并求出结论的值. （3分）
【解析】
试题分析：1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）设C对应的数为x，根据C到B的距离是C到原点O的距离的3倍列出方程，解方程即可；（3）设从出发到相遇时经历时间为t秒，根据相遇时两只电子蚂蚁运动的路程之差=A、B间的距离列出方程，解方程即可；（4）设运动时间为t秒，则PO=100+8t，AQ=4t．由数轴上的点N到原点O的距离等于P点到O的距离的一半可知ON= PO=50+4t，所以ON-AQ=50+4t-4t=50，从而判断结论②正确．
试题解析：（1）由题意知：AB=130；
（2）如果C在原点右边，则C点：100÷（3+1）＝25；如果C在原点左边，则C点：-100÷（3-1）=-50.故C对应的数为-50或25；
（3）设从出发到相遇时经历时间为 t,则：6t-4t=130,求得：t=65,65×4=260，则260+30=290,所以D点对应的数为-290；
（4）ON-AQ的值不变.设运动时间为t秒，则PO=100+8t,AQ=4t.由N为PO的中点，得ON=PO=50+4t,所以ON-AQ=50+4t-4t=50. 从而判断结论②正确．
考点：1.一元一次方程的应用；2.数轴.
7．点在数轴上表示的数满足，且多项式是五次四项式．
（1）的值为____ ____，的值为___ ____，的值为____ ____；
（2）已知点、点是数轴上的两个动点，点从点出发，以个单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒的速度向左运动:
① 若点和点经过秒后在数轴上的点处相遇，求出的值和点所表示的数；
② 若点运动到点处，动点再出发，则运动几秒后这两点之间的距离为5个单位？
【解析】
试题分析：（1）由非负数的性质可得b+3=0，c-24=0，由多项式为五次四项式得，解得a、b和c的值；
（2）①利用点P、Q所走的路程=AC列出方程；
②此题需要分类讨论：相遇前和相遇后两种情况下PQ=5所需要的时间．
试题解析：（1） 由题意得，b+3=0，c-24=0，，-a≠0，
解得b=-3，c=24，a=-6，
故答案是：-6；-2；24；
（2）①依题意得 3t+7t=|-6-24|=30，
解得 t=3，
则3t=9，
所以-6+9=3，
所以出t的值是3和点D所表示的数是3；
②设点P运动x秒后，P、Q两点间的距离是5．
当点P在点Q的左边时，3x+5+7（x-1）=30，
解得 x=3．2．
当点P在点Q的右边时，3x-5+7（x-1）=30，
解得 x=4．2．
综上所述，当点P运动3．2秒或4．2秒后，这两点之间的距离为5个单位．
考点：数轴；非负数的性质；动点问题．
8.已知直线l上有一点O，点A、B同时从O出发，在直线l上分别向左、向右作匀速运动，且A、B的速度比为1：2，设运动时间为ts．
（1）当t=2s时，AB=12cm．此时，
①在直线l上画出A、B两点运动2秒时的位置，并回答点A运动的速度是 cm/s； 点B运动的速度是 cm/s．
②若点P为直线l上一点，且PA﹣PB=OP，求的值；
（2）在（1）的条件下，若A、B同时按原速向左运动，再经过几秒，OA=2OB．

【解析】
试题分析：（1）①设A的速度为xcm/s，B的速度为2xcm/s，根据2s相距的距离为12建立方程求出其解即可；
②分情况讨论如图2，如图3，建立方程求出OP的值就可以求出结论；
（2）设A、B同时按原速向左运动，再经过几a秒OA=2OB，根据追击问题的数量关系建立方程求出其解即可．
解：（1）①设A的速度为xcm/s，B的速度为2xcm/s，由题意，得
2x+4x=12，
解得：x=2，
∴B的速度为4cm/s；
故答案为：2，4
②如图2，当P在AB之间时，
∵PA﹣OA=OP，PA﹣PB=OP，
∴PA﹣OA=PA﹣PB，
∴OA=PB=4，
∴OP=4．
∴．
如图3，当P在AB的右侧时，
∵PA﹣OA=OP，PA﹣PB=OP，
∴PA﹣OA=PA﹣PB，
∴OA=PB=4，
∴OP=12．
∴
答：=或1；
（2）设A、B同时按原速向左运动，再经过几a秒OA=2OB，由题意，得
2a+4=2（8﹣4a）或2a+4=2（4a﹣8）
解得：a=或
答：再经过或秒时OA=2OB．

考点：一元一次方程的应用；两点间的距离．
9.如图所示，点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．

（1）求线段MN的长．
（2）若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB=acm，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？并说明理由．
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣CB=bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【解析】
试题分析：（1）根据线段中点的定义得到MC=AC=4cm，NC=BC=3cm，然后利用MN=MC+NC进行计算；
（2）根据线段中点的定义得到MC=AC，NC=BC，然后利用MN=MC+NC得到MN=acm；
（3）先画图，再根据线段中点的定义得MC=AC，NC=BC，然后利用MN=MC﹣NC得到MN=bcm．
解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC=×8cm=4cm，NC=BC=×6cm=3cm，
∴MN=MC+NC=4cm+3cm=7cm；
（2）MN=acm．理由如下：
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC，NC=BC，
∴MN=MC+NC=AC+BC=AB=acm；
（3）解：如图，
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC，NC=BC，
∴MN=MC﹣NC=AC﹣BC=（AC﹣BC）=bcm．

考点：两点间的距离．
10．已知数轴上的点A，B对应的数分别是x，y，且|x+100|+（y﹣200）2=0，点P为数轴上从原点出发的一个动点，速度为30单位长度/秒．
（1）求点A，B两点之间的距离；
（2）若点A向右运动，速度为10单位长度/秒，点B向左运动，速度为20单位长度/秒，点A，B和P三点同时开始运动，点P先向右运动，遇到点B后立即掉后向左运动，遇到点A再立即掉头向右运动，如此往返，当A，B两点相距30个单位长度时，点P立即停止运动，求此时点P移动的路程为多少个单位长度？
（3）若点A，B，P三个点都向右运动，点A，B的速度分别为10单位长度/秒，20单位长度/秒，点M、N分别是AP、OB的中点，设运动的时间为t（0＜t＜10），在运动过程中①的值不变；②的值不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
【解析】
试题分析：（1）根据非负数的性质求出x，y的值，利用两点间的距离公式即可求出点A，B两点之间的距离；
（2）设点P运动时间为x秒时，A，B两点相距30个单位长度．分A，B两点相遇前相距30个单位长度与A，B两点相遇后相距30个单位长度两种情况分别列出方程，解方程求出x的值，再根据路程=速度×时间即可求解；
（3）先求出运动t秒后A、P、B三点所表示的数为﹣100+10t，30t，200+20t，再利用利用中点的定义得出N表示的数为100+10t，M表示的数为20t﹣50，进而求解即可．
解：（1）A、﹣100 B、200 AB=300
（2）设点P运动时间为x秒时，A，B两点相距30个单位长度．
由题意得10x+20x=300﹣30，10x+20x=300+30，
解得x=9，或x=11，
则此时点P移动的路程为30×9=270，或30×11=330．
答：P走的路程为270或330；
（3）运动t秒后A、P、B三点所表示的数为﹣100+10t，30t，200+20t，
∵0＜t＜10，
∴PB=200﹣10t，OA=100﹣10t，
PA=30t+100﹣10t=20t+100，OB=200+20t，
∵N为OB中点，M为AP中点，
∴N表示的数为100+10t，M表示的数为20t﹣50，
∴MN=150﹣10t，
∵OA+PB=300﹣20t，
∴=2，故②正确．
考点：一元一次方程的应用；数轴．

11．（9分）已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数－24，－10，10．两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒．
（1）若甲、乙在数轴上的点D相遇，则点D表示的数 ；
（2）问多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位？若此时甲调头往回走，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．
（3）若甲、乙两只电子蚂蚁（用P表示甲蚂蚁、Q表示乙蚂蚁）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出它们爬行多少秒后，在原点O、甲蚂蚁P与乙蚂蚁Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．
A
0
10
－24
－10
B
C
O

解得 x=3.4，
4×3.4=13.6，-24+13.6=-10.4．
故甲、乙在数轴上的-10.4相遇，故答案为：-10.4；
（2）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位，
B点距A，C两点的距离为14+20=34＜40，A点距B、C两点的距离为14+34=48＞40，C点距A、B的距离为34+20=54＞40，故甲应位于AB或BC之间．
AB之间时：4y+（14-4y）+（14-4y+20）=40
解得y=2；
BC之间时：4y+（4y-14）+（34-4y）=40，
解得y=5．
甲从A向右运动2秒时返回，设y秒后与乙相遇．此时甲、乙表示在数轴上为同一点，所表示的数相同．
甲表示的数为：-24+4×2-4y；乙表示的数为：10-6×2-6y，
依据题意得：-24+4×2-4y=10-6×2-6y，
解得：y=7，
相遇点表示的数为：-24+4×2-4y=-44（或：10-6×2-6y=-44），
②甲从A向右运动5秒时返回，设y秒后与乙相遇．
甲表示的数为：-24+4×5-4y；乙表示的数为：10-6×5-6y，
依据题意得：-24+4×5-4y=10-6×5-6y，
解得：y=-8（不合题意舍去），
即甲从A向右运动2秒时返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为-44．
（3）①设x秒后原点O是甲蚂蚁P与乙蚂蚁Q两点的中点，则
24-12x=10-6x，解得x= ；
设x秒后乙蚂蚁Q是甲蚂蚁P与原点O两点的中点，则
24-12x=2（6x-10），解得x= ；
设x秒后甲蚂蚁P是乙蚂蚁Q与原点O两点的中点，则
2（24-12x）=6x-10，解得x= ；
综上所述，秒或秒或秒后，原点O、甲蚂蚁P与乙蚂蚁Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．
【解析】
试题分析：（1）可设x秒后甲与乙相遇，根据甲与乙的路程差为34，可列出方程求解即可；（2）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位，分甲应位于AB或BC之间两种情况讨论，即可求解．（3）分①原点O是甲蚂蚁P与乙蚂蚁Q两点的中点；②乙蚂蚁Q是甲蚂蚁P与原点O两点的中点；③甲蚂蚁P是乙蚂蚁Q与原点O两点的中点，三种情况讨论即可求解．
考点：一元一次方程的应用；数轴.

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